1、2018 届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考文数试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，因为集合 ，故选 C.2. 命题“存在实数 ，使 ”的否定是（ ）A. 对于任意实数 ，都有 B. 不存在实数 ，使C. 对于任意实数 ，都有 D. 存在实数 ，使【答案】D【解析】试题分析：命题的否定是把命题的结论进行否定，同时全称量词与存在量词互换，因此命题“存在实数 ,使 ”的否定是“ 对任意实数 , 都有 ”故选 C考点
2、：命题的否定3. 设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】满足约束条件 的可行域如图，由图象可知：目标函数 过点 时取得最大值，故选 D.4. 若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，即 ，即 ，则，故选 A.5. 等差数列 中，已知 ，且公差 ，则其前 项和取最小值时 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】等差数列的公差为正数，则 ，据此可得： ，则其前 项和取最小值时的 的值为 8.本题选择 C 选项.6. 定义在 上的函数 满足 ， ，且当 时， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B
3、【解析】 ，又 定义域在 上的函数 满足， ， 时， ，故 ，故选 B.7. 设函数 的导函数为 ，若 为偶函数，且在 上存在极大值，则 的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】若 为偶函数，则 为奇函数，故排除 B、D.又 在 上存在极大值，故排除 A 选项，本题选择 C 选项.8. 为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）A. 向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位【答案】A9. 已知是自然对数的底数，函数 的零点为，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
4、析】试题分析：画出 ， ， 和 的图像， 与 关于 对称，那么设 与 ， ，和 的图像的交点依次设为 ,这三点依次向 轴做垂直得到 , , ,得到 ,而 ， ，所以 ，故选 A.考点：函数的零点10. 在矩形 中， ， ， ，点 在边 上，若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】建立如图所示的坐标系，则 ， ，设 ，解得 ， ，则，故选 C.11. 已知函数 的定义域为 ， ，对任意 有 成立，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令函数 ，则 ，则函数是单调递减函数，且满足，故不等式 可化为 ，即原不等式 的解集为，应选答案 C。点睛：本题
5、求解时，充分运用题设条件中的有效信息，巧妙构造函数 ，借助导数与函数的单调性之间的关系先断定函数的单调 性，再将原不等式进行等价转化，依据函数的单调性建立不等式，通过解不等式使得问题巧妙获解。12. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数的零点个数为（ ）个A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 的零点个数就是 图象交点个数 ， 函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，在同一坐标系画出函数的图象如图所示：由图可得：函数的图象与直线 有 个交点，函数 的零点个数为 ，故选 B.【方法点睛】函数零点个数的三种判断方法：(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
6、；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点 ；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.二、非选择题（第 13 题 5 分，第 14 题 5 分，第 15 题 5 分，第 16 题 5 分，第 17 题 10 分，第 18 题 12 分，第 19 题 12 分，第 20 题 12 分，第 21 题 12 分，第 22 题 12 分，共 10 小题90 分）13. 已知点 ， ， ，则 在 方向上的投影为_【答案】【解
7、析】由已知得到 向量 在 方向上的投影为 ，故答案为 .14. 若对 ， ， ，有 恒成立，则 的最大值是_【答案】【解析】 , ，当且仅当 时取等号，的最小值为 ， 对 ，有 恒成立， 的最大值为 ，故答案为 .【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.15. 设数列 满足 ， （ ） ，则 _
8、【答案】【解析】 ，可得 ， 数列 是等差数列，首项与公差都为 ， ， ， ，故答案为 .16. 将边长为 的等边 沿 轴正方向滚动，某时刻 与坐标原点重合（如图） ，设顶点 的轨迹方程是 ，关于函数 有下列说法：（1） 的值域为 ；（2） 是周期函数且周期为 ；（3） ；（4）滚动后，当顶点 第一次落在 轴上时， 的图象与 轴所围成的面积为其中正确命题的序号是_【答案】【解析】根据题意画出顶点 的轨迹，如图所示，轨迹是一段一段的圆弧组成的图形，从图形中可以看出，关于函数 的有下列说法： 的值域为 ，故故正确； 是周期函数，周期为 ，故正确；由于 ，故不正确； 滚动后， 当顶点 第一次落在 轴
9、上时，的图象与 轴所围成的面积为的图象在区间 上与 轴所围成的图形面积，其大小为一个正三角形和二个扇形的面积和，其值为，故 正确， 故答案为 .17. 已知 ，且 ，设命题 函数 在 上单调递减，命题 曲线 与轴交于不同的两点，如果 是假命题， 是真命题，求的取值范围 .【答案】 【解析】试题分析：根据对数函数的单调性我们易判断出命题 为真命题时参数的取值范围,及命题 为假命题时参数的取值范围；根据二次函数零点个数的确定方法，我们易判断出命题 为真命题时参数的取值范围，及命题 为假命题时参数的取值范围；由 且 为假命题， 或 为真命题，我们易得到 与 一真一假，分类讨论，分别构造关于的不等式组
10、 ，解不等式组即可得到答案. 试题解析：因为函数 在 上单调递减，所以， 又因为曲线 与轴交于不同的两点，所以， 解得 或 ，因为 是假命题， 是真命题，所以命题，一真一假若 真 假，则 ，所以 ；若 假 真，则 ，所以 故实数的取值范围是 .18. 已知平面上三个向量， ，其中 .（1）若 ，且 ，求的坐标；（2）若 ，且 ，求与 的夹角的余弦值.【答案】 （1） 或 ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据 ，设 ，利用 列方程求出的值即可；（ 2）由 可求出 ，结合 ，根据 数量积为 ，求出 的值 ,再求与 夹角的余弦值.试题解析：（1）因为 ，所以设 ， ， ，所以=(3,6)或（-3
11、，-6）（2）因为 ，所以，所以 ，所以 .19. 已知函数 .（1）求函数 的单调递减区间 ；（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 在 上的值域.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）先由正余弦的二倍角公式与辅助角公式化简 ，然后应用正弦函数 的单调减区间求出函数 的减区间；（ 2）用 代换 得 ，然后用 代换 得，再由 求出 的范围 ，最后由正弦函数的性质得出函数 的值域.试题解析：（1） 4 分由 ，解出所以 的减区间为 6 分(2)因为将 左移 得到横坐标缩短为原来的 ，得到 8 分，所以所
12、求值域为 12 分.考点：1.三角函数的图像与性质；2.二倍角公式、辅助角公式；3.三角函数的图像变换.20. 在 中，角 所对的边分别为 ；（1）若 成等比数列， ，求 的值.（2）若 ， ，且 ，求 周长的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 成等比数列，可得 ，根据正弦定理可得 ，再由求出角 d 的最小值，将 通分，利用两角和的正弦公式化简为 ，从而可得结果；（2）利用二倍角的正弦公式及二倍角的余弦公式将 化为，可得 ，再利用正弦定理将 周长表示为 ，利用三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1） ，由 成等比数列，得 又由正弦定理，得 ，.（2）原等式可化
13、为 ，即 ， ； ， ，又 ， ， ，又 ， .又 ，由正弦定理 ，设 ，得 ， 周长 ，. ，且 ，且 ，所以 .21. 数列 中， ， .（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式；（2）设 ，求 ，并证明： ， .【答案】 （1）证明见解析， ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由条件推导得 ，则 是首项为 ，公比为 的等比数列，求得 的通项公式，进而得到 的通项公式；（2）求得 的通项公式，进而得到 ，利用 的结构和单调性可证得结论.试题解析：（1） , ， ，所以 是首项为 5,公比为 2 的等比数列，（2） ， -，又 单调递增, ,所以考点：构造数列；等比数列的通项公式；
14、错位相减求和.22. 设 ， .（1）令 ，求 的单调区间；（2）当 时，证明 .【答案】 （1）当 时，函数 单调递增区间为 ；当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）证明见解析 .【解析】试题分析：（1）求出 的导数， ，分 讨论，分别由 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）只要证明 即可，由（1）知， ，证明 在 即可.试题解析：（1）由 , . 可得 .当 时, 时， ，函数 单调递增；当 时， 时， ，函数 单调递增； 时， ，函数 单调递减； 所以，当 时，函数 单调递增区间为 ；当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2）只要证明对任意 ， .
