1、2018 届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 复数 （是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 ， 对应的点为（ 1，1） ，选 A.2. 已知集合 ，集合 ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得 , ,所以 = ,选 C.3. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题三数和为 ，最大数必
2、大于 ，最小值必小于 ，其他数待定可知 ，又则 故本题答案选 4. 中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公子仔细算相还”.其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48 里 B. 24 里 C. 12 里 D. 6 里【答案】C【解析】设第一天走的路程为 里，则 ， ，所以 ，故选 C5. 平面向量 的夹角为 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 ，所以
3、，选A.6. 设变量 满足约束条件： ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，如下图，目标函数变形为 ，由图可知直线过 A(-2,2)时，截距最大， ，选 D.7. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 函数图像关于点 对称B. 函数图像关于直线 对称C. 将它的图像向左平移 个单位，得到 的图像D. 将它的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到 的图像【答案】B【解析】 ，所以点 不是对称中心，对称中心需要满足整体角等于 , ,A 错。，所以直线 是对称轴，对称轴需要满足整体角等于 ， ，B 对。将函数向左平移 个单位，得到 的图像，C 错。将
4、它的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到 的图像， D 错，选 B.【点睛】（1）对于 和 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程 解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与 轴的交点，可由 ，解得 ，即其对称中心为（2）三角函数图像平移：路径：先向左( 0)或向右( 0)或向右( 0)平移 个单位长度，得到函数 ysin( x )的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是 y Asin(x )的图象8. 设 是定义在 上的周期为 3 的函数，当 时，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得
5、 ， ，选 B.【点睛】分段函数求函数值，最重要的是分清楚用 x 属于哪个区间，从而决定使用哪个函数。9. 在 中， ， 边上的高为 ， 为垂足，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可设 ,那么 ,又 ,可得 .由勾股定理 ;10. 函数 （ 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】f( x)= = =f(x)，函数 y= 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 BD，又 f(0)=3，排除 C，故选：A.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(
6、2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题11. 已知 为等差数列， 为其前 n 项和若 ， ，则必有（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设 的公差为 ，则由 ，即 ，由等差数列的性质，可得考点：等差数列的性质12. 已知函数 有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在直线上，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为函数 有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在直线 的图象上，而直线 关于直线 的对称图象为 ，所以函数 的图象与 的图象有且仅有四个不同
7、的交点.易知直线 恒过点 ，设直线 与 相切于点 ，则 ，所以 ，解得 ，故 ,设直线 与 相切与点 ，则 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，故 ，故选 A.卷（非选择题 共 90 分）本试卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在机读卡上相应的位置13. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则 的面积为 _【答案】【解析】 , 由余弦定理可得 ， ，故答案为 .14. 若等比数列 的各项均为正数，且 ，则 等于_【答案】50【解析】
8、由题意可得 ， =，填 50.15. 若 ，则 的最小值为_【答案】【解析】试题分析：由 得 ，即 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 考点：1对数的性质；2基本不等式【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件， “一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆” 、 “拼”、 “凑”16. 数列 满足： ， ， ，则 _【答案】【解析】由题意可得 ，所以累加可得 ，再累加得 ， 均满足，所以 ，填 。 【点睛】对于 结构的数列递推关系，我们常使用累加的方法，求出 ,注意 n 的范围。难点是构造出
9、形式结构一样的 。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 在 中，角 所对的边分别为 ，满足 ，且 （1）求角 的大小；（2）求 的最大值，并求取得最大值时角 的值【答案】 （1） （2）最大值为【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理将 转化为 ，利用诱导公式将 转化为，再利用两角和的正弦公式化简，利用正弦定理解出 的值；（2）由余弦定理得到 边的关系，再利用均值不等式求 的取值范围，从而得到最大值试题解析：（1）由 可得 ，即为 ，即有 ， ， ，即 ， （2 ） ， 代入可得： ， 当且仅当 时取到等号，即取到最大值 时，
10、考点：1、正余弦定理；2、两角和与差的正弦；3、基本不等式18. 已知数列 的前 项和（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 的通项 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由 求得 .(2) ,所以用错位相减法求得 。试题解析：（1）由 ，则 ，两式相减得 ，代入 n=1, ，符合，所以（2）由（2）得 ，两式相减得，化简得 。【点睛】对于知道一个数列的和数列，求这个数列时，我们常用 ，要注意检验第一项是否满足。对于一个由等差乘以等比构成的数列，我们常用错位相减法求和。19. 已知各项均不相等的等差数列 的前四项和 成等比.（1）求数列 的通项公式；（2）设
11、，若 恒成立，求实数 的最大值.【答案】 （1） （2）16【解析】试题分析：（1）己知数列 为等差数列，所以设数列的首项为 ，公差为 d，由 和，组方程组，解得 。 （2）由（1） ，所以 ，由裂项求和，求得 ，对不等式 ，分离参数 可求得最大值。试题解析：（1）设公差为 d,由已知得： ，联立解得 d=1 或 d=0（舍去）,所以 所以 又因为 ，所以 ，而 ，当 n=2 时等号成立。所以，所以 的最大值为 16.20. 如图所示，四棱锥 的底面是梯形，且 , 平面 ， 是 中点， （1）求证： 平面 ；（2）若 ， ，求直线 与平面 所成角的大小【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分
12、析：（I ）取 的中点 ，连结 ，证得 ，从而证得 平面 ，根据平行四边形的性质，得 ，即可证明 平面 ；（ II）分别以 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，求解出平面 和向量 ，即可利用向量所成的角，得到直线 与平面所成角的大小试题解析：（）证明：取 的中点 ，连结 ，如图所示因为 ，所以 因为 平面 ， 平面 ，所以 又因为 ，所以 平面 因为点 是 中点，所以 ，且 又因为 ，且 ，所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 平面 （）解：设点 O，G 分别为 AD，BC 的中点，连结 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 因为 ，由（）知， 又因为 ，所以
13、，所以所以 为正三角形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 又因为 ，所以 平面 故 两两垂直，可以点 O 为原点，分别以 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量 ，则 所以 取 ，则 ，设 与平面 所成的角为 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 与平面 所成角的大小为 考点：直线与平面垂直的判定与证明；直线与平面所成角的求解21. 已知函数 .（1）求函数 的零点及单调区间；（2）求证：曲线 存在斜率为 6 的切线，且切点的纵坐标 .【答案】 （1）零点为 e,减区间为 ，增区间为 （2）见解析【解析】试题分析：（）运用导数与函数的单调性的关系求解；（）借助题设条件构造函数运用导数进行推证.试题解析:（）函数 的定义域为 令 ，得 ，故 的零点为 （ ） 令 ，解得 当 变化时， ， 的变化情况如下表：
