1、辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学 2018 届高三上学期第一次联考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 230Ax, ln(2)Bxyx,则 AB（ ）A 1 B 1 C 32x D 12x2. “a”是“复数 2()()zaiaR为纯虚数”的（ ）A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件3. 已知 是第二象限角，且 3sin5，则 tan2的值为（ ）A 45 B 247 C 8 D 374. 函数 91()3xf的图象（ ）A关于
2、轴对称 B关于 y轴对称C. 关于原点对称 D关于直线 x对称5. 某校高二（1）班每周都会选出两位“迟到之星” ，期中考试之前一周“迟到之星”任选揭晓之前，小马说：“两个人应该是在小赵、小宋和小谭之中产生” ，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋” ，小宋说：“小马、小谭二人有且仅有一人是迟到之星” ，小谭说：“小赵说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是（ ）A小赵、小谭 B小马、小宋 C. 小马、小谭 D小赵、小宋6. 已知函数 ()sincofxax（ a为常数， xR）的图像关于直线 6x对称，则函数g()sincox的图象（ ）A关于点 (,0)3对称 B关于
3、点 2(,0)3对称C. 关于直线 x对称 D关于直线 6x对称7. 设 ()f是定义在 R上的奇函数，且其图象关于 1对称，当 0,2x时， 2()fx，则01.(2017)f的值为（ ）A-1, B0 C. 1 D不能确定8. 不等式 20axb的解集为 12x，则不等式 20xba的解集为（ ）A 1或 B C. 1 D 2x或 19. 在锐角 C中，角 ,A的对边分别为 ,abc，若 osc23sinBCA， cos3in2B，则ac的取值范围（ ）A 3(,2 B 3(,2 C. 3,2 D ,3210. 已知 0ab，则 41ab的最小值为（ ）A 312 B4 C. 3 D 31
4、1. 直线 ,P分别为与半径为 1 的圆 O相切于点 ,AB， 2,(1)POMPAB，若点 M在圆O的内部（不包括边界） ，则实数 的取值范围是（ ）A (1,) B 2(0,)3 C. (,)3 D (0,1)12. 函数 fx的导函数为 fx，满足 ln2(xfxf，且 e2f，则 ()fx的极值情况为（ ）A有极大值无极小值 B有极小值无极大值C.既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设 ,xy满足不等式组2401xy，则 1yx的最小值为 14.在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，
5、且 2sinco2sinCBAB， 3cab，则 的最小值为 15.已知三个向量 ,abc共面，且均为单位向量， 0，则 abc的取值范围为 16.函数 ()xfe， ()ln2)4axgx，若 0使得 00()3fxg，则 a 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知命题 p：指数函数 ()xfxa在 R上单调递减，命题 q：关于 x的方程22310xa的两个实根均大于 3.若 p或 q为真， p且 为假，求实数 a的取值范围.18. 已知函数 ()()xfa将 ()yfx的图象向右平移两个单位，得到函数 ()ygx的图象.（1
6、）求函数 ()ygx的解析式；（2）若方程 fa在 0,1上有且仅有一个实根，求 a的取值范围.19. 在 ABC中，内角 ,BC的对边分别为 ,abc，已知 2，且 sini2siniAaBCbB.（1）若 sin()sin2A，求 B的面积；（2）记边 的中点为 M，求 的最大值.20. 已知函数 ()sin(0)fx在区间 ,3上单调递减，在区间 2,3上单调递增；凸四边形OACB中， ,abc为 ABC的内角 ,的对边，且满足 sinta4cosBAC.（）证明： 2；（）若 bc，设 AOB.(0),2OAB，求四边形 OAB面积的最大值.21. 已知函数 32()logefxxa且
7、 1).（）若 f为定义域上增函数，求实数的取值范围；（）令 ae，设函数 32()4ln6gxfxx，且 12()g0x，求证： 126x.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为 2sincos(0)a，过点 (2,4)P的直线 l的参数方程为24xty（ 为参数） ，直线 l与曲线 C相交于 ,AB两点.（1）写出曲线 C的直角坐标方程和直线 l的普通方程；（2）若 2PAB，求 a的值.23.选修 4-5：不等式选
8、讲23.已知函数 ()21fxx.（1）求不等式 ()3fx的解集；（2）若 ,0)fmn对任意 R恒成立，求 mn的最小值.试卷答案一、选择题1-5: BABBA 6-10: CCBBD 11、12：BD二、填空题13. 32 14. 13 15. 21, 16. 1ln2三、解答题17. 53a或 72.解：若 p为真，则 ()6)xfxa在 R上单调递减， 0261a， 732a.若 q为真，令 2231f，则应该满足22(3)41)0,()9,af,25,a或或 2a，又由题意应有 p真 q假或 假 真，若 真 假，73,25,a则无解，若 p假 q真，则73,25,a或 3a或 72
9、.18.（1） 2()xg（2） 143a解：（1） 2x（2）设 xt，则 1,2，原方程可化为 20ta，于是只须20ta在 1,t上有且仅有一个实根.法 1：设 2()ktat，对称轴 2at，则 (1)20k.或012a由得 ()430，即 ()34， 43a.由得2a无解，则 12a.法 2：由 0t， ,t，得 21()t， 1,2t，设 1ut，则 ,12， 2ua.记 2()gu，则 2()gu在 ,上是单调函数，因为故要使题设成立，只须 ()(1)g.即413a.从而 43a.19.（1） 2或 （2）解： sinisiniABCbB 22sinisiniaABcCbBabc
10、a由余弦定理可得：由（1）可得， cosinsi90ABA且 B当 90A且 3， 23tabc， C的面积 123sinSbcA，当 B时， C为等边三角形， 1sin603S；（2）由于 边的中点为 M，故21()CMAB214()ACBA214()ab因为 2c且 60，故由余弦定理知， 2ab，于是 21CMab，而故，最大值为 3（当且仅当 ab时取等）.20.解：（）由题意知： 243，解得： 32. sinisntacocoABC ii2isincosiBABCA snsn2 i()i(C)siA，所以 abc，所以 B为等边三角形，213in24OCBABSSOAB535sin
11、si()4， (0,)， ,3，当且仅当 32，即 56时取最大值， OACBS的最大值为 5324.21.解：（） 21()lnfxxa，由 ()fx为增函数可得， ()0f恒成立，则由2 321130lnlnxaa，设 2()3mx，则2()6mx，若由 ()6)0m和 61)可知在 0,1上单调递减，在 1,上单调递增.所以 min()()x，所以 lna，当 1时，易知 ae，当 01a时，则 0lna，这与1la矛盾，从而不能使 ()0fx恒成立，所以 .（） 32223()l4l63gxxxln6x因为 12()g0=x，所以2211 233ln6(ln6)0xxx，所以2121(
12、)l)， 2111212()ln(0)xxx.1 2ln(0)xxx，所以 2 1l，令 2t， )lht， ht在 ,1上增，在 (1,)上减.()1，所以 2112()()xx，整理得 2112()4(0)xx，解得 126x或 26（舍） ，所以 126得证.22.（1）直角坐标方程为 (0)yax，普通方程为 yx；（2） 1a.解：（1）由 2sincos得 2sincos(0)a，曲线 C的直角坐标方程为 2(0)yax直线 l的普通方程为 2yx.（2）将直线 l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程 2(0)a中，得 (4)8()0tat设,AB两点对应的参数分别为 12,t，则有 12(4)ta， 128(4)ta 2P， 2t，即 211()5tt， 2(4)0(4)aa，即 340a，解之得： 1或者 （舍去） ， 的值为 1.23.（1） 2x或 （2） 83（1）13()()2()xfxx， ()fx，123x或 23x或 3x解得02x或， ()3f的解集为 02x或 .（2）由图知 minfx， 13n， 3mn，即 23()n，当且仅当 时等号成立， ,0，解得 83n，当且仅当 时等号成立，故 mn的最小值为 83.
