1、熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 1精品家教个性化教学辅导教案学员姓名：_ 任课教师：_ 所授科目：_ 数学_学员年级：高三_ 上课时间： 2011 年 月 2 日 1 点半 至 三点半 共 2_ 课时教学标题 函数的基本性质 教学目标 梳理知识点 介绍典型解题技巧教学重难点 抽象函数的合理赋值上次作业检查要点八 段函数和抽象函数【例 8】2010 天津理（8）已知函数 若 则实数 的取24,0()xf2()(,fafa值范围是 A B C D (,1)(2,)(1,2)(,1)(,2)(1,)【命题立意】分段函数是一类非常重要的函数形式，因为其覆盖面较大，而备受命题人的青睐. 本小题
2、考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查分类讨论的数学思想。【标准解析】由已知，函数在整个定义遇上单调递增的。故 ，等价于)(2(aff，解得02a12a【误区警示】常见的错误是计算中不能根据自变量的范围挑选出适合的函数段，或计算错误.解决这类问题的有效方法是由内到外逐层计算，解题时要层次分明，思路清晰.【变式训练】2010 年天津文（8）若函数 = ,若 ,则实数 a 的取值范()fx21log,0()x()fa)f围是（A） （-1，0）（0，1） （B） （-，-1）（1,+）（C） （-1，0）（1,+） （D） （-，-1）（0,1）【标准解析】当 时，由 f(a)
3、f(-a)得： ，即 ，即 ，a212logla221loglaa解得 ；当 时，由 得： ，即 ，10()fa12l()2()l2l()2()l即 ，解得 ，故选 C。a【技巧点拨】分段函数问题的解题方法是“分段解决” ，各段解决完后，再综合.熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 2【例 9】2010 年重庆理(15) 已知函数 满足： ， ()fx1()4f()()fxyfx(),fxy，则 _(,)xyR(201)f【命题立意】抽象函数和分段函数一样也是当前高考考查的热点，由于抽象函数只给一些函数的性质，而不知函数的具体解析式，因而是函数的一个难点.选择本题旨在抛砖引玉，寻找一般的解
4、题思路.【标准解析】取 x=1 y=0 得 21)0(f法一：通过计算 ，寻得周期为 6 故 =f(0)= .4,3)2(f 201f2法二：取 x=n y=1,有 = + ,同理 = + 联立得 = n(1)f()fn()n()(fn(2)f所以 T=6 故 =f(0)= .(1)fn02【误区警示】找不到已知函数值和未知函数值的联系，不会利用所给函数性质进行合理地赋值，是思路受阻的主要原因.【变式训练】2009 年四川文 12、已知函数 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实)(xf数 都有 ，则 的值是x)(1)(fxxf25A. 0 B. C. 1 D. 25【标准解析】
5、若 0，则有 ，取 ，则有：x)()(xfxf （ 是偶函数，则112()()2fff1()()2ff)(xf）由此得 于是，)(ff0)21(f 315532()()()2ffff51()()532fff【技巧点拨】解决抽象函数问题，要全面地应用其所具有的性质展开解题思路.通常的方法是赋值法.要善于根据题目条件寻找符合条件的函数原型，帮助探求结论，找到解决问题的思路和方法.练习归纳了常见的函数原型，最好记住.第 3 讲函数的性质【知识精讲】熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 31.根据函数的单调性的定义，证明（判定）函数 在其区间上的单调性，其步骤是（1）设 x1、x 2是()fx该区
6、间上的任意两个值，且 x1x 2； （2）作差 f（x 1）-f（x 2） ，然后变形； （3）判定 f（x 1）-f（x 2）的符号；（4）根据定义作出结论. 2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质.3.复合函数的单调性对于复合函数 y=fg(x),若 t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且 y=f(t)在区间(g(a),g(b)或者(g(b), g(a)上是单调函数,若 t=g(x)与 y=f(t)的单调性相同 (同时为增或减
7、),则 y=fg(x)为增函数;若 t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则 y=fg(x)为减函数. 简称为:同增异减.4.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.5.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: = =0 =1( 0). ()fx()f()fx(f()fx()f6.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴 对称,反之也真.利用这一
8、性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.【基础梳理】1.函数的单调性（1）单调函数的定义 增函数 减函数一般地，设函数 的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量()fxx1，x 2 定义 当 x1f(x2) ，那么就说函数 在区间 D 上是减函数 ()f熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 4图象描述自左向右看图象是_上升的_ 自左向右看图象是_下降的 _ (2)单调区间的定义若函数 fx在区间 D 上是_增函数_或_减函数 _，则称函数 fx在这一区间上具有（严格的）单调性，_区间 D_叫做 fx的单调区间. 2.奇函数、偶函数的概念一
9、般地,如果对于函数 的定义域内任意一个 x，都有_ f（-x）=f（x）_，那么函数 就叫()fx ()fx做偶函数. 一般地,如果对于函数 的定义域内任意一个 x，都有_ f（-x）=-f（x）_，那么函数ffx就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴 对称.3.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: （1）考查定义域是否关于_原点 _对称；（2）考查表达式 是否等于 或- fx：()fx()f若 =_- _，则 为奇函数；()fx若 =_ f_，则 为偶函数；()fx若 =_- x_且 =_ fx_,则 既是奇函数又是偶函数；()f
10、()fx若 ）- f且 f，则 既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. ()f()4.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_相同_, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_相反_(填“相同” 、 “相反” ）.(2)在公共定义域内两个奇函数的和是_奇函数_,两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积是_偶函数_；熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 5一个奇函数，一个偶函数的积是_奇函数_. 要点十函数的单调性【例 10】定义在 R 上的函数 fx满足：对任意实数 ，总有 fmnfn，且,n当 时， （1）试求 的值；（2）判断 x的单调性并证明你的结论；0xfx
11、0f（3）设 ，若 ，2, ,21,AyfyBxyfaaRAB试确定 a的取值范围【命题立意】函数单调性是函数的重要性质，是每年必考内容.判断方法主要有定义法、导数法、图象法.解答题常用导数法，本题就用到这种方法.【标准解析】判断函数的单调性可以用导数法和定义法.【误区警示】利用定义法判断，变形不到位，不能判断出差的正负；利用导数判断，求错导数的不再少熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 6数.【变式训练】已知 在其定义域 R 上为增函数， =1, = )+ .解不等式 +()fx(2)f()fxyf()fy()fx3(2)fx【标准解析】 ()()4()(8)4(2)3fxyfyffff
12、22()()()(fxffxf又 由 题 意 有 20)R8xx为 上 的 增 函 数24解 得 ，【技巧点拨】单调性的应用：比较大小；解抽象不等式；求值域等 要点十一函数的奇偶性【例 11】判断下列函数的奇偶性（1） =x (nN, x0)（2） =log2(x+ ), xR()fx12n ()fx1x（3） =lgx2+lg (x0) （4） =( )tanx（5） =()fxxcosin1【命题立意】函数的奇偶性是函数的重要性质，是高考的热点.【标准解析】判断函数的奇偶性，首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.然后利用定义判断，寻找 和 的关系. fxf（1） nN, 2n
13、是偶函数，2n+1 是奇数， =(-x) =x = 是偶函数。fx12n2nfx()f（2） =log2(-x+ )=log2 =-log2(x+ )=- ， 是奇函数。fx12xx1（3） =lgx2+lg =0，则 = 且 =- ， 既是奇函数，又是偶函数。()f f()ffx()f()fx（4） 的定义域是x|xR 且 x kZ关于原点对称，又 =( )tan(-x)x2k12x=-( )tanx=( )tanx= 为偶函数12x 12x()fxf（5）对于三角形 1+sinx+cosx，当 x= 时，其值为 2，当 x=- 时，其值为零，由此 1 可知原函数= 的定义域中包含 x= ，
14、但是不包含 x=- ，所以定义域不关于原点对称，所以()fxxcosin是非奇偶的函数。熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 7【误区警示】判断函数奇偶性是时，学生往往忽略求函数的定义域，导致错误；再者，不会合理变形，导致判断错误.【变式训练】判断下列函数的奇偶性.（1） 11)(22xxf ；（2） 0)(f（3）已知函数 )xf对任意 Ry、 都有 )()(yfxyf.【标准解析】具体函数先求函数定义域，分段函数分段讨论奇偶性，抽象函数要合理取值，寻找 和fx的关系.fx【技巧点拨】 判断函数的奇偶性首先求函数的定义域,这是固定的步骤.如果定义域关于原点对称,利用定义,计算比较 和 ,
15、有时,需要对函数进行化简后再判断,较为简便.如果不好判断,可以利用fxf奇偶性定义等价形式进行判断.若证明函数不具有奇偶性,举组反例即可.【答案】1）奇函数（2）函数的定义域为 1,且 0)(xf.图象关于原点对称，又关于 y 轴对称，所以 )(xf既是奇函数又是偶函数.函数的定义域为 ,0,.当 0x时， x， )()1()(xfxf 当 时， ，综上，对任意 ,0,x， )()(xff， f是奇函数.【题型透视】判断函数奇偶性的主要方法有：定义法、图象法.做选择题或填空题时还可以用一些常用的结论如：两个偶函数的和或差构成的函数还是偶函数等；分段函数的奇偶性要分开段讨论.要点十二函数的最值或
16、值域【例 12】求下列函数的值域：（1） ； （2） ； （3） ；23yx265yx12xy（4） ； （5） ； （6） ；11|4|（7） ； （8） ； （9）2xy2()xy1sin2coxy熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 8【命题立意】求函数最大、最小值问题历来是高考热点，这类问题的出现率很高，应用很广 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j反之，若求
17、出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j【标准解析】一次函数和二次函数的值域利用函数的单调性来解决； 是一个复合函数，25内部函数是一个二次函数，可用配方法，然后整体换元.含有多个绝对值的函数 通过|4|yx讨论去掉绝对值符号，写成分段函数的形式，然后分段求，再综合.分式型的函数如果分子和分母中变量的最高次数一直，用分离常数法，如小题，不一致者用均值不等式法.【误区警示】知识贮备少，不能针对题目的特点选择相应的方法.【答案】 （1） （配方法） ，22133()6yxx 的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.
18、j23yx,)（2）求复合函数的值域：设 （ ） ，则原函数可化为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j50又 ，2265(3)4xx ，故 ， 的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j040,26yx0,（3）分离变量法： ，31(2)73xy ， ， 函数 的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j702x71yx|3yR（4）换元法（代数换元法）：设 ，则 ，0t2t原函数可化为 ， ，2214()5()yt5y原函数值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(,5（5）三角换元法： ，设 ，01xcos,0,x则 ， ，cos
19、insi()4y,54 ， ，原函数的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2i(),14in1,2,（6）数形结合法： ， ，函数值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j23(4)|4|51xyxx5y5,)（7）判别式法： 恒成立，函数的定义域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j210R熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 9由 得： 21xy2()(1)20yxy当 即 时，即 ，030xR当 即 时， 时方程 恒有实根，2yxR2()(1)20yxy ， 且 ，原函数的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2(1)
20、4()yA15,5（8） ，2 1() 222xxyxx ， ， ，12x0112()2xx当且仅当 时，即 时等号成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12x1x ，原函数的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jy,)（9）方程法：原函数可化为： ，sinsx （其中 ） ，21sin()12yxy22co,sin11yy ，2i(),y ， ， ，原函数的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|12|y340y43y40,3【变式训练】求下列函数的值域 y=3x+2(-1 x 1) 奎 屯王 新 敞新 疆xxf2)( 1xyx【标准解析】
21、中函数是一个一次函数,利用函数单调性求即可;函数较为简单,直接观察即可;分离常数后,可借助反比例函数的单调性解决;中函数利用均值不等式即可,但注意均值不等式使用的条件.【技巧点拨】 求函数值域的一般方法是:观察法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合等，含有根式的函数有时代数换元，有时三角换元，有时借助函数的单调性，一定要把握其本质。对于结构比较特殊，具有明显几何意义的函数，可以利用数形结合法.【答案】-1 x 1，-3 3x 3，-1 3x+2 5，即-1 y 5，值域是-1，5熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 10 奎 屯王 新 敞新 疆 即函数 的值域是 y| y 2 奎 屯
22、王 新 敞新 疆),04x),2(xf xxf42)( 11y 01y即函数的值域是 y| yR 且 y1（此法亦称分离常数法）当 x0， = ，x2)(当 x0. ()f在区间（64，640）内为增函数.所以 x在 =64 处取得最小值，此时 019.64mnx故需新建 9 个桥墩才能使 y最小。【样题 3】设 a为实数，函数 2()()|fa.(1)若 (0)f，求 a的取值范围； (2)求 ()fx的最小值；(3)设函数 ,hx，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1h的解集 .【解析】二次函数的最值利用配方法，恒成立问题通常转化为函数的最值来解决.【答案】 （1）若 ，则(0)1f 20
23、|11a熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 16【样题 4】 （2010 福建文数）7函数 的零点个数为 ( )2x+-3,0)=lnf（A3 B2 C1 D0【解析】首先要求出函数的 的解析式，然后代入自变量的值求解.fx【答案】 22()4log34log3,x xf,8()()(2)fff22283(lll8l16408. 【样题 5】2010 天津文（10）设函数 ， 则 的值域()()gxR(),(),gxgxff是（A） （B） （C） （D）9,0(1,)40,)9,)49,0(2,)4熙励教育 个性化教学辅导教案细节决定未来 17【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。依题意知 ，22(4),()xxf2,1()2fxx或章节小结1.本章包含两大部分内容：集合与函数，集合的关系和运算、函数的性质是重点.2.解决集合问题常用的数形结合工具：数轴、Venn 图、函数图象.3.函数问题定义域优先.不论是求函数的最值还是判断函数的性质，首先要求出函数的定义域.4.解有关集合问题，一定要理解集合中元素的特征，互异性容易忽略，求解时要小心.空集是一个特殊的集合，有些情况下也容易忽略.5.函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性刻画的整个函数的性质.
