1、- 1 -四川省成都石室中学 2017-2018 学年高二数学 4 月月考试题 理（时间：120 分钟 满分：150 分）一.选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题只有一个正确选项1 “ 是无限不循环小数，所以 是无理数” 以上推理的大前提是( )A实数分为有理数和无理数 B 不是有理数C无理数都是无限不循环小数 D有理数都是有限循环小数2 0sinxd的值为（ ）A B C1 D23用反证法证明“如果整系数一元二次方程 ax2 bx c0( a0)有有理数根，那么a， b， c 中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( ) A. 假设 a， b， c 都是偶数 B.
2、 假设 a， b， c 都不是偶数 C.假设 a， b， c 至多有一个偶数 D. 假设 a， b， c 至多有两个偶数 4曲线 sinyx在点 (,0)P处的切线方程是（ ）A 2 B 2yx C 2yx D 2yx5某个命题与正整数有关，如果当 n k(kN *)时，该命题成立，那么可推得当 n k1 时命题也成立现在已知当 n5 时，该命题不成立，那么可推得( )A当 n6 时该命题不成立 B当 n6 时该命题成立C当 n4 时该命题不成立 D当 n4 时该命题成立6已知函数 321fxaxR若 fx在区间 21,3内是减函数，则a的取值范围是（ ）A 7,4 B 2, C 1, D ,
3、17甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ）A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人8设函数 ()fx是奇函数 ()fxR的导函数， (1)0f，当 x时，()0xf，则使得 0成立的 x的取值范围是（ ）- 2 -A (,1)(0, B (1,),) C (,1)(,0 D (,1)9已知四棱锥 ACDS的所有顶点都在同一球面上，底面 AB是正方形且和球心 O
4、在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 8，则球 O的表面积等于（ ）A 18 B 36 C 54 D 7210已知函数 21,0xxf，则 1fxd（ ）A. 3812 B. 342 C. 4 D. 341211已知双曲线 ： 1xyab（ 0a， 0b）的一条渐近线为 l，圆 C： 28xay与 l交于 A， B两点，若 AC是等腰直角三角形，且 5OBA（其中O为坐标原点） ，则双曲线 的离心率为（ ）A. 13 B. 135 C. 5 D. 1312若关于 x不等式 32lnxae恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）A. ,e） B. 0,） C. 1,） D. 1,）二.填空题：本大题
5、共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13已知 ()ln()fxaxaR， ()fx为 f的导函数， (1)2f，则a.14由曲线 2ty（ 为参数）和 2yx围成的封闭图形的面积等于_15已知点 P在抛物线 2yx上，点 Q在圆 22141xy上，则 PQ的最小值为_.- 3 -16已知函数 321()fxax，若 1()xge，对任意 1,2，存在 21,x，使 12()fg成立，则实数 的取值范围是_.三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 2sinco
6、，直线的参数方程为： 21xty(为参数) .（1）写出圆 C和直线的普通方程；（2）点 P为圆 上动点，求点 P到直线的距离的最小值 .18已知函数 axxf 1243)( .（1）求 x的单调递减区间；（2）若 a，求 )(f在区间 ，上的最大值和最小值.19已知直三棱柱 1ABC的底面为正三角形， ,EF分别是 1AC， 1B上的点，且满足 11E， 3F （注意：直棱柱是侧棱垂直于底面的棱柱.）（1）求证：平面 平面 1；（2）设直三棱柱 的棱均相等，求二面角 1的余弦值- 4 -20已知函数 ()2)xfxe，若方程 ()afx有两根 12,x，且 12.（1）求 a的取值范围；（2
7、）当 0时，求证： ()(2)fxf（3）证明： 421x.21已知圆 C：(x1) 2(y1) 22 经过椭圆 )0(12bayx的右焦点 F 和上顶点 B.(1)求椭圆 的方程；(2)如图，过原点 O 的射线 l与椭圆 在第一象限的交点为 Q，与圆 C 的交点为 P，M 为 OP 的中点， 求 MQ的最大值- 5 -22已知函数 2,ln11axbfgx，曲线 yfx在点 (1,)f处的切线方程是 540xy（1）求 ,ab的值；（2）若当 x时，恒有 fxkg成立，求 k的取值范围；（3）若 52.361，试估计 5ln4的值（精确到 0.1）- 6 -参考答案（时间：120 分钟 满分
8、：150 分）一.选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题只有一个正确选项1 “ 是无限不循环小数，所以 是无理数” 以上推理的大前提是( )A实数分为有理数和无理数B 不是有理数C无理数都是无限不循环小数D有理数都是有限循环小数【解析】演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选 C.【答案】C2 0sinxd的值为（ ）A B C1 D2【答案】D3用反证法证明“如果整系数一元二次方程 ax2 bx c0( a0)有有理数根，那么a， b， c 中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( ) A. 假设 a， b， c 都是偶数 B. 假设 a，
9、 b， c 都不是偶数 C.假设 a， b， c 至多有一个偶数 D. 假设 a， b， c 至多有两个偶数 【答案】B【解析】反设时“至少有一个”的否定是“都不是” 4曲线 sinyx在点 (,0)P处的切线方程是（ ）A 2 B 2yx C 2yx D 2yx【答案】A- 7 -考点：利用导数求切线方程.5某个命题与正整数有关，如果当 n k(kN *)时，该命题成立，那么可推得当 n k1 时命题也成立现在已知当 n5 时，该命题不成立，那么可推得( )A当 n6 时该命题不成立 B当 n6 时该命题成立C当 n4 时该命题不成立 D当 n4 时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若 n
10、4 时该命题成立，则 n5 时该命题成立；而 n5 时该命题不成立，却无法判断 n6 时该命题成立还是不成立，故选 C.6已知函数 321fxaxR若 fx在区间 21,3内是减函数，则a的取值范围是（ ）A 7,4 B 2, C 1, D ,1【答案】A【解析】试题分析： 123)( axxf,由题意得当 )31,2(x时 07()0,4()3ff,故选 A.7甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ）A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是
11、工人C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人【答案】C- 8 -8设函数 ()fx是奇函数 ()fxR的导函数， (1)0f，当 x时，()0xf，则使得 0成立的 x的取值范围是A ,1(,) B (1,),) C (,)(, D (,1)【答案】B9已知四棱锥 ABCDS的所有顶点都在同一球面上，底面 ABCD是正方形且和球心 O在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 18，则球 O的表面积等于（ ）A 18 B 36 C 54 D 72【答案】B【解析】：由题意正方形 A的中心就是球心 ，当四棱锥 SABCD体积最大时，SO平面 D，此时 312183
12、2Vrr， ，2246r球故选 B10已知函数 21,0xxf，则 1fxd（ ）A. 3812 B. 342 C. 4 D. 3412【答案】B- 9 -11已知双曲线 ： 21xyab（ 0a， 0b）的一条渐近线为 l，圆 C： 28xay与 l交于 A， B两点，若 AC是等腰直角三角形，且 5OBA（其中O为坐标原点） ，则双曲线 的离心率为（ ）A. 13 B. 135 C. 5 D. 13【答案】D12若关于 x不等式 32lnxae恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）A. ,e） B. 0,） C. 1,） D. 1,）【答案】B- 10 -本题选择 B 选项.二.填空题：本大
13、题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13已知 ()ln1(0)fxaxaR， ()fx为 f的导函数， (1)2f，则a.【答案】 2【解析】试题分析：因为 1()ln(ln)fxaxax,所以 (1)ln)2fa.- 11 -14由曲线 2xty（ 为参数）和 2yx围成的封闭图形的面积等于_【答案】 92 【解析】所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为 2yx，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为 1,2x，结合图象可得：22321-1 9|Sdx15已知点 P在抛物线 2y上，点 Q在圆 2241y上，则 PQ的最小值为_.【答案】 3512 16已知函数 321()fxa
14、x，若 1()xge，对任意 1,2，存在 21,x，- 12 -使 12()fxg成立，则实数 a的取值范围是_.【答案】 ,8e 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 12,xDE2fxg只需 minaxfxg；（2） 1,2fg，只需minin；（3） 1D， ,Efxg只需 max,ax；（4） 12,xDE， 2fx
15、， main.三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 2sinco，直线的参数方程为： 21xty(为参数) .（1）写出圆 C和直线的普通方程；（2）点 P为圆 上动点，求点 P到直线的距离的最小值 .解：（1）由已知 2sinco得 2sincos，所以 2xyx，即圆 的普通方程为： 221xy. 3 分由 1t,得 12()，所以直线的普通方程为 50x. 6 分（2）方法一：由圆的几何性质知点 P到直线的距离的最小值为圆心 C到直线的距离减去圆- 13 -的
16、半径，令圆心 C到直线的距离为 d，则 2158，9 分所以最小值 852.10 分方法二：令 1cos,2inP，7 分设点 到直线的距离为 d.22i52cos2in851d 20.10cos80855.10 分 18已知函数 axxf 1243)( .（1）求 )(xf的单调递减区间；（2）若 a，求 )(f在区间 ，上的最大值和最小值.解：(1) 2()4814()3fxxx令 0 得 3和函数 ()fx的单调减区间为 (,)和5 分（2）当 1a，则 324)1fxx由（1）知 2(8()3x 令 ()0f 得 3和x2,111,3()f+ 0x极大值 5(2)3f23(1)f()5
17、f10 分maxfminfx12 分- 14 -19已知直三棱柱 1ABC的底面为正三角形， ,EF分别是 1AC， 1B上的点，且满足 11E， 3F （注意：直棱柱是侧棱垂直于底面的棱柱.）（1）求证：平面 AEF平面 1BC；（2）设直三棱柱 的棱均相等，求二面角 1CAEB的余弦值【命题意图】本题主要考查空间平面与平面的垂直关系、运用空间向量求二面角，意在考查逻辑思维能力、空间想象能力、逻辑推证能力、计算能力（2）以 A为坐标原点，以 1,AC分别为 y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系6 分- 15 -设直三棱柱 1ABC的棱均为 2，则 (0,)A， (3,10)B， (,2)
18、E，所以 (0,2)E， (3,)8 分设 1xyzn是平面 E的一个法向量，则由 10AB，得03zxy，取 23，则 1(2,3)n9 分易知平面 1C的一个法向量 2(1,)n，10 分所以 1229cos,|n11 分由图易知，二面角 1AEB为锐角，二面角 1CAEB的余弦值为 21912 分20已知函数 ()2)xfxe，若方程 ()afx有两根 12,x，且 12.（1）求 a的取值范围；（2）当 0时，求证： ()(2)fxf（3）证明： 421x.解：（1）由 ()xfe得： (4)xfe0， 2()fx在 ,上减，在 (,上增. minf,因为 0, 时, )0fx所以,
19、a的取值范围是 2(e5 分(2) 证明:由（1）知: )fx在 ,)上减，在 (2,)上增. - 16 -而 12()afxf,所以 120x令 F(),所以 ()xfxf2()xe09 分在 0,2上为增, ()0F所以当 x时， ()fxf9 分(3)证明:由(2) 时， 2fx,考虑 12(0,)x代入得:11(4)(fxf,结合 1()fxf知: 1(4)(f因为 2, ,而 在 ,上增.所以: 1.得 21.12 分21已知圆 C：(x1) 2(y1) 22 经过椭圆 )0(12bayx的右焦点 F 和上顶点 B.(1)求椭圆 的方程；(2)如图，过原点 O 的射线 l与椭圆 在第
20、一象限的交点为 Q，与圆 C 的交点为 P，M 为 OP 的中点， 求 MQ的最大值- 17 -当 21k时， 23)1()(maxk，即 OQM的最大值为 .22已知函数 2,ln11xbfgx，曲线 yfx在点 (1,)f处的切线方程是 540xy- 18 -（1）求 ,ab的值；（2）若当 0,x时，恒有 fxkg成立，求 k的取值范围；（3）若 52.361，试估计 5ln4的值（精确到 0.1）解： (1)f(x)= 由题意：f(1)= = f(1)= = 解得：ax2+2ax+b(x+1)2 3a+b4 54 a+b2 32a=1,b=23 分(2)由（1）知：f(x)= 由题意：
21、 2ln(1)xkx0 对 0恒成立。x2+2xx+1令2()ln()Fxk， 0。注意到 (0)F ()=1+ - 5 分1(1+x)2 k1+x当 0对 恒成立 1+x+ 恒成立 2k,此时， ()0Fx11+x所以： k满足题意. 6 分当 2时,令 ()Fx得240kx在 x240,k时， ()0F=0这与 F（x）0 矛盾，k2 时不合题意综上所述，k 的取值范围是（-,2 8 分（3）由(2)知：当 k2 时，2ln(1)xkx在 0时恒成立取 k=2，则2ln(1)xx即： 2ln(1+x)(x+1)2-1x+1令 54x0 得：542l 5ln100.223610 分由(2)知：当 k时，2l()1xkx在24,k时成立- 19 -令2451k解得： 9510k29()ln()0xFx在24,k上成立取 514x得 5l4 52ln90.2222ln = =0.2229 精确到 0.001 取 ln =0.22312 分540.2236+0.22222 54
