1、1等差数列（一）定义及其判断定义： 判定：1(2)nad（二）基本公式通项公式 通项公式的变形 1()n()nmadnmad前 n 项和公式 1()22naSd（注意数列求和中的倒序相加及适用类型）注意：公式得应用主要在于求基本量， 知三求二1Sna、 、 、 、（三）性质及其应用1 角标性质： ,mnpqnpq若 则2 等差数列a n的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。3 等差中项： 2aMbabM、 、 成 等 差 数 列4 等差数列a n的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S 2m-Sm、S 3m-S2m、S 4m - S3m、仍为等差数列。5 在等差数列 中，有关 Sn 的最值
2、问题常用邻项变号法求解： n（1）当 0，d0 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。1巩固练习：1 设数列 na的前 n 项和2nS，则 8a的值为 2 设 S为等差数列 的前 项和，若 3624S， ，则 9a 3 在等差数列 n中， 190，则 5的值为 4 等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S36，a 34，则公差 d 等于 5 若等差数列a n的前 5 项和 S525，且 a23，则 a7 等于 6 设a n是等差数列，若 a23，a 713，则数列a n前 8 项的和为 7 等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S7S8S6，则下列结论： a70 a80 S14 成立的
3、正整数 n.1an 7143等比数列（一）定义及其判断定义： 判定：1(2)naq（二）基本公式通项公式 通项公式的变形 (1)na ()nmnaqnmaq前 n 项和公式 （注意数列求和中的错位相减及适用类型）nS注意：公式得应用主要在于求基本量， 知三求二1Snaq、 、 、 、（三）性质及其应用1 角标性质： ,mnklnkl若 则2 等比数列a n的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。3 等比中项： 2aGbabG、 、 成 等 比 数 列4 等比数列a n的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S 2m-Sm、S 3m-S2m、S 4m - S3m、仍为等比数列。巩固训练1 设a
4、n是公比为正数的等比数列，若 a11，a 516，则数列 an前 7 项的和为 2 设等比数列a n的公比 q2，前 n 项和为 Sn，则 S4a23 在等比数列 中， 1a，公比 .若 1345m，则 m= 4 在等比数列 n中， 202078，则公比 q 的值为 5 设 是有正数组成的等比数列， nS为其前 n 项和。已知 , 37S,则 5 na 241a6 设 nS为等比数列 na的前 项和， 2580a，则52S7 已知a n是等比数列，a 22，a 5 ，则 a1a2a 2a3 a nan1 148 已知 为等比数列，Sn 是它的前 n 项和。若 ， 且 与 的等差中项为 ，472
5、54则 5S= 9 设 n为等比数列 na的前 项和，已知 342Sa， 3Sa，则公比 q 1()n）aq410 已知各项均为正数的等比数列 na， 123=5， 789a=10，则 456a= 11 设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 3，则 等于 S6S3 S9S612 已知等比数列 ma中，各项都是正数，且 1a， 32,成等差数列，则91078a13 已知等比数列a n满足 an0，n1,2，且 a5a2n5 2 2n(n3)，则当 n1 时，log2a1log 2a3log 2a2n1 14 设数列a n为公比 q1 的等比数列，若 a2004 和 a2005 是方程 4x
6、28x30 的两根，则a2006 2007_.15 设正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a34，a 4a5a62 12.(1)求首项 a1 和公比 q 的值； (2)若 Sn2 101，求 n 的值16 已知数列a n、b n分别是等差数列、等比数列，a38，a 617，b 12，b 1b2b39(a 2a 3a 4)(1)分别求数列a n和b n的通项公式；(2)设 cnlog 3bn，求证：数列c n是等差数列，并求出其公差和首项；(3)设 Unb 1 b4b 7b 3n2 ，其中 n1,2，求 Un的值17 已知 na是首项为 19，公差为-2 的等差数列， nS为 a的前
7、 项和.（）求通项 n及 S；（）设 b是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb的通项公式及其前 n项和 nT.5数列求和（一）分组求和 如 an=2n+3n，求a n的前 n 项和 Sn.（二）错位相减：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法） . 如 an=(2n-1)2n ，求a n的前 n 项和 Sn.（三）倒序相加：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）n.如 an= 求a n的前
8、 100 项和 Sn.C10（四）裂项相消：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ； 1()1nn1()()knk如 an= ，求a n的前 n 项和 Sn.巩固训练1 设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an2n1，则数列 的前 11 项和为 Snn2 若 Sn1234( 1)n1 n，则 S17S 33S 50 等于 3 数列 1,12,124，122 22 n1 ，的前 n 项和 Sn1020，那么 n 的最小值是 4 数列a n的通项公式为 ann2 n(n1,2,3，) ，则a n的前 n 项和 Sn_.5
9、= .113 135 1(2n 1)(2n 1)6 已知等差数列 na的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。（）求数列 的通项公式；6（）设1*(4)(0,)nnbaqN，求数列 nb的前 n 项和 nS7 已知等差数列 满足： 37， 5726a.a的前 n 项和为 .（）求 na 及 S；（）令21nb（ nN）,求数列 nb的前 n 项和 nT.8 函数 对任意 xR 都有 f(x)f(1x) .)(f12（1）求 的值；)()1(2Nnfnf和（2）数列 的通项公式。),1(10 nafnfffa 求 数 列满 足 9 数列 是公比为 的等比数列， ，naq1a12()naN（1）
10、求公比 ；（2）令 ，求 的前 项和 .nbnbnS7递推数列与通项公式（一） naS与（二）几种常见的递推公式形式1 1()naf例：已知数列 满足 ， ，求n21anan21na2 1()naf例:已知数列 满足 ， ，求n321anna13. （其中 ）11()nnnapqacpc1qpcp及例:已知数列 中， ， ，求n1321nan练习：1 2 已知数列 满足 ，且 ，求 .na)2(31nan 41an1(2n）)84. 要先在原递推公式两边同除以 ，得：1nnapq1nqqapnn11例:练习：（1）已知数列 中， , ，求na65111)2(3nnana（2）已知数列 中， ,
11、 ，求na12nna241a5. 两边同时取倒数1nncabd11nnnbadbcc例：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,31an巩固练习1 已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，nanS1 142(,)nSaa设数列 ，求证：数列 是等比数列；),2(1ab nb设数列 ，求证：数列 是等差数列；,2cn c求数列 的通项公式及前 项和。n92 设数列 na满足21112,3nnaA（1）求数列 的通项公式；（2）令 nba，求数列的前 n 项和 nS3 在数列a n中，a 11，a n1 2a n2 n.(1)设 bn ，证明数列 bn是等差数列； (2)求数列 an的前 n 项和 Sn.an2n 1
