1、广西钦州市钦州港经济技术开发区中学 2018 届高三年级第一次月考考试理科数学试卷解析版一、 （选择题每题 5 分，共 60 分）1. 已知全集 ， 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，选 C2. 若复数 满足 ，则复数 的实部与虚部之和为（ ）A. -2 B. 2 C. -4 D. 4【答案】B【解析】由题意可得： ，则实部与虚部之和为 .本题选择 B 选项.3. 设 为虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】 , ,故选 B.4. 已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 ，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解
2、析】试题分析：根据题意可知， ，即 ，所以有 ，故选 B考点：向量的运算5. 用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成 3 个实数，则这 3 个实数都大于 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：每个实数都大于 的概率为 ，则 3 个实数都大于 的概率为 .本题选择 C 选项.6. 对于锐角 ，若 ，则A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】由题意可得： .本题选择 D 选项.点睛： (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin co
3、s )212sin cos 可以知一求二(2)关于 sin ，cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子7. 若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得： ，据此整理可得： ，则： .本题选择 C 选项.点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos 可以知一求二(2)关于 sin ，cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子8. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【
4、答案】A【解析】 ，但 ，不满足 ，所以是充分不必要条件，选 A.【考点】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则 是 的充分不必要条件，若 是 的真子集，则 是 的必要不充分条件.9. 已知 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的面积为( )A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】 ,故选 C.考点：1、余弦定理；2、三角形面积公式.10. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数
5、的零点个数为（ ）个A. 6 B. 2 C. 4 D. 8【答案】A【解析】函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，函数 的零点就是函数 的图象与直线 的交点的横坐标，作出函数 在 的图象，如图， 由图可得：函数 图象与直线 有 6 个交点，故答案为：6【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，属于中档题解题的关键是求出函数的值域11. 若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当 仅与 轴交于 时， 与 轴有三个交点，满足题意，此时与满足 ；当 与 轴有两个交点， 与 轴有两个时，满足题意，此时 满足 ；当 与 轴有三个
6、交点， 与 轴有一个时，满足题意，此时 满足 ；故选 C。点睛： 与 在 与 轴的交点都是三个，本题的分段函数与 轴交点为四个，需分情况讨论： 与 轴交点个数：0，1，2，3 四种情况即可得结论。本题难度较大，主要考查了 的图象。12. 定义在 上的偶函数 ，当 时， ，且 在 上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是（ ）A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能【答案】A【解析】由于函数 ，为偶函数，且在 单调递增，如图所示， 函数，在 上恒成立，函数 在 上的图象位于的图象上方，当 时，由 可得，解得 ，故的图象至少向左平移两个单位，才符合题意，即 ，由于函数
7、 的值域为 ，故函数 的图象和直线 有 个交点， 关于 的方 的根有 个，故选 A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质解答本题的关键是根据把 在 上恒成立转化为函数在 上的图象位于 的图象上方，然后求出 ，再利用数形结合将方程 f(2x+1)=t 的根转化为函数 的图象和直线 的交点.第 II 卷（非选择题）二、填空题（每题 5 分，共 2
8、0 分）13. 已知 ,向量 在 方向上的投影为 ，则=_.【答案】9【解析】 ,向量 在 方向上的投影为故答案为 914. 若 ，则 _【答案】593【解析】由题意可得： log3x=4,log2y=9， x=34=81,y=29=512， x+y=81+512=593，故答案为：593.15. 已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是_.【答案】 【解析】以以 为 轴，以 边上的高为 轴建立坐标系，则 ，设 ，则， ， 当 时，取得最小值 ，故答案为 .16. 在 中， ,若 ，则 周长的取值范围_.【答案】由正弦定理，得的周长 ， 周长的取值范围是（2，3，故答
9、案为 【点睛】本题解题的关键是利用三角函数的诱导公式、两个角的和、差公式、倍角公式以及辅助角公式将三角函数化为 形式进而解决问题三、解答题 （共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） 17. 在等差数列 中， ，公差 .记数列 的前 项和为 .（1）求 ；（2）设数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：(1)由题意可求得数列的首项为 1，则数列的前 n 项和 .(2)裂项可得 ，且 ，据此可得 .试题解析：（1） ， ， ， ， ， .（
10、2）若 成等比数列，则 ，即 ， , ， .点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的18. 已知命题 ，命题 。（1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；（2）若 m=5， “ ”为真命题， “ ”为假命题，求实数 的取值范围。【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）当命题是用集合表示时，若 是 的充分条件，则表示命题 所对应的集合是命题 所对应集合的子集，转化为子集问题解决，通过数轴，列不等式组;(2) ”为真命题， “ ”为假命题表示 一真一假，所
11、以分两种情况，真代表集合本身，假代表集合的补集，列不等式解决.试题解析：解：（1） ， ， ,那么 解得：(2)根据已知 一真一假， 真 假时， 解得 ，或 假 真时，解得考点：命题的真假判定与应用19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量 （千辆） 2 3 4 5 8每天一辆车平均成本 （元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7根据
12、以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙： .（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：完成下表（计算结果精确到 0.1） （备注： 称为相应于点 的残差（也叫随机误差） ） ；租用单车数量 （千辆） 2 3 4 5 8每天一辆车平均成本 (元) 3.2 2.4 2 1.9 1.7模型甲 估计值 2.4 2.1 1.6残差 0 -0.1 0.1估计值 2.3 2 1.9模型乙残差 0.1 0 0分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 及 ，并通过比较 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，
13、共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放 8 千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 10 元，6元收入的概率分别为 0.6，0.4；投放 1 万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 10 元，6 元收入的概率分别为 0.4，0.6.问该公司应该投放 8 千辆还是 1 万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.【答案】 （1）见解析模型乙的拟合效果更好（2）投放 1 万辆能获得更多利润，应该增加到投放 1 万辆.【解析】试题分析（1）通过对回归方程的计算可得两种模型的估计值 ，代入 ，即可得残差；计算可得
14、 可知模型乙拟合效果更好；（2）分别计算投放 千辆和一万辆时该公司一天获得的总利润，即可得结论。（1）经计算，可得下表： ， ，故模型乙的拟合效果更好.（2）若投放量为 8 千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为 ，所以一天的总利润为 （元）若投放量为 1 万辆，由（1）可知，每辆车的成本为 （元） ，每辆车一天收入期望为 ，所以一天的总利润为 （元）所以投放 1 万辆能获得更多利润，应该增加到投放 1 万辆.20. 已知数列 中， 且 且 .（1）证明：数列 为等差数列； （2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）要证明数列 为等差数列，只需证明 为常数）即可；（2）由等差数列的通项公式 ，进而可求 ，利用错位相减法可求数列的前 项和.试题解析：（1）设=所以数列 为首项是 2 公差是 1 的等差数列. （2）由（1）知， -，得.【 方法点睛】本题主要考查等差数列的定义以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解, 在写出“ ” 与“ ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式.21. 设函数 ， 是定义域为 R 上的奇函数（1）求 的值；
