1、1专题 48 圆锥曲线的几何性质【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心
2、率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明圆锥曲线的几何性质有关问题的解法与技巧，离心率问题在下一专题讲述.（一）椭圆：1、定义和标准方程：（1）平面上
3、到两个定点 12,F的距离和为定值（定值大于 12F）的点的轨迹称为椭圆，其中 12,F称为椭圆的焦点， 12称为椭圆的焦距（2）标准方程：焦点在 x轴上的椭圆：设椭圆上一点 ,Pxy， 12,0,Fc，设距离和 12PFa，则椭圆的标准方程为：21yab，其中 2,aba焦点在 y轴上的椭圆：设椭圆上一点 ,xy， 120,c，设距离和 12a，则椭圆的标准方程为：21xab，其中 2,aba焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在 x轴的椭圆为例： 210xyab2（1） a：与长轴的顶点有关： 12,0,Aa， 12Aa称为长轴长b：与短轴的顶点有关： Bb
4、， Bb称为短轴长c：与焦点有关： 12,Fc， 12Fc称为焦距（2）对称性：椭圆关于 x轴， y轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设 0,P，则 00,axby（4）通径：焦点弦长的最小值 焦点弦：椭圆中过焦点的弦 过焦点且与长轴垂直的弦2bPQa说明：假设 P过 1,0Fc，且与长轴垂直，则 00,PcyQy，所以242001cybaba，可得20bya.则2bQa（5）离心率： ce，因为 ，所以 0,1e （6）焦半径公式：称 P到焦点的距离为椭圆的焦半径 设椭圆上一点 0,xy，则 1020,FaxPaex（可记为“左加右减” ） 焦半径的最值：由焦半径公式可得：
5、焦半径的最大值为 c，最小值为 ac（7）焦点三角形面积： 12tnPFSbA（其中 12F）证明： 12 2siPFSA且 2112cosP122FF2 14cscaP221211cosobFFPF12 21212 121insincPFSA322112sintancoFPFPbb因为 120PFSyA ，所以 2120tcy，由此得到的推论： 的大小与 之间可相互求出 12的最大值： 12PF最大 12PFSA最大 0y最大 P为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点 12,距离差的绝对值为一个常数（小于 12F）的点的轨迹称为双曲线，其中 2,F称为椭圆的焦点， F称为椭圆的焦
6、距；如果只是到两个定点 ,距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程： 焦点在 x轴：设双曲线上一点 ,Pxy， 12,0,Fc，设距离差的绝对值 12PFa，则双曲线标准方程为：2ab，其中 2,aba 焦点在 y轴：设双曲线上一点 ,xy， 120,c，设距离差的绝对值 12a，则双曲线标准方程为：2yab，其中 2,aba焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数 2、双曲线的性质：以焦点在 x轴的双曲线为例： 210,xyab（1） a：与实轴的顶点有关： 12,0,Aa， 12A称为实轴长b：与虚轴的顶点有关： Bb， Bb称为虚轴长c：与焦点有关： 12,Fc， 12Fc称为焦距
7、（2）对称性：双曲线关于 x轴， y轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设 0,P，则有 0xa或 0， 0yR （4）离心率： cea，因为 ，所以 1,e （5）渐近线：当 x或 时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相4交，则称这条直线为曲线的渐近线. 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的 1 变为 0，再解出 y关于 x的直线即可.例如在 210,xyab中，求渐近线即解：2xyab，变形为 ba，所以bya即为双曲线的渐近线 渐近线的几何特点：直线 ,xayb所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线 渐近线的作用：一是可以
8、辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现 ,abc的关系.（6）通径： 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦 PQx轴，2ba（7）焦半径公式：设双曲线上一点 0,Pxy，左右焦点分别为 12,F，则 102,PFaexae（可记为“左加右减” ） 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为 ca （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点 0,Pxy，则 12otPFSbA（其中 12PF）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为
9、抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在 x轴正半轴： 20ypx，焦点坐标 ,02p（2）焦点在 轴负半轴： 2，焦点坐标 ,（3）焦点在 y轴正半轴： 20xpy，焦点坐标 0,2p（4）焦点在 轴负半轴： 2，焦点坐标 ,小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项5系数除以 4，例如： 24xy，则焦点在 y轴上，且坐标为 0,13、焦半径公式：设抛物线 0px的焦点为 F， Axy，则 2pFx4、焦点弦长：设过抛物线 2y焦点的直线与抛物线交于 1,By，则12ABxp（ ABF，再由焦半径公式即可得到）【经典例题】例 1.
10、【2017 课标 3，理 5】已知双曲线 C：21xyab(a0,b0)的一条渐近线方程为 52yx,且与椭圆21xy有公共焦点，则 C 的方程为（ ）A280B2145xyC2154xyD2143xy【答案】B【解析】则双曲线 C 的方程为2145xy.故选 B.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 20xy，再由条件求出 6的值即可.例 2.【2017 山东，理 14】在平面直
11、角坐标系 xOy中，双曲线 210,xyab的右支与焦点为 F的抛物线 20xp交于 ,AB两点，若 4FB，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】 y点睛：1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为 12ByAx的形式，当 0A， B， A时为椭圆，当 0AB时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理例 3.
12、已知双曲线214xyb的右焦点与抛物线 21yx的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A. 5 B. 42 C. 3 D. 5 【答案】A【解析】先从常系数方程入手，抛物线 21yx的焦点为 ,0，即双曲线中的 3c，所以225bca，从而双曲线方程为： 45，其渐近线方程： 52yx，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择 :20lxy，右焦点 23,0F，所以 222355Fld答案：A7点睛：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要
13、素.例 4.【2018 届湖南省湘潭市四模】已知 是椭圆 ： 的左焦点， 为 上一点， ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D所以 例 5.【2018 届重庆市第三次抽测】直线 过抛物线 的焦点 F 且与抛物线交于 A,B 两点，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析： 是焦半径，故可用焦半径公式把 转化为 ，联立直线方程和抛物线方程后再利用韦达定理可求此值.8点睛：圆锥曲线中的定值问题，需要把目标代数式转化为关于 （或 ）的代数式（ 为直线与圆锥曲线的两个交点） ，通过联立方程组消元后利用韦达定理求定值.例 6.【2018 届天津市部分区质量调查（二） 】设 分别是
14、双曲线 的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点 作直线 与圆 切于点 ，与双曲线右支交于点 ，且满足， ，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据圆的半径得出 ，根据中位线定理和勾股定理计算 ，从而得出 ，即可得出双曲线的方程详解： 为圆 上的点， 9例 7.【2018 届河南省郑州市第三次预测】已知 为椭圆 上一个动点，过点 作圆的两条切线，切点分别是 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意设 PA 与 PB 的夹角为 ，通过解直角三角形求出 PA，PB 的长，由向量的数量积公式表示出 ，利用三角函数的二倍角公式化简，然后
15、换元后利用基本不等式求出最值详解：如图，由题意设 ，则 ， ，10故选 C例 8.【2018 届河北省唐山市三模】已知 是抛物线 上任意一点， 是圆 上任意一点，则 的最小值为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】D【解析】分析：可设点 的坐标为 ，由圆方程 得圆心坐标 ，求出 的最小值，根据圆的几何性质即可得到 的最小值.详解：设点 的坐标为 ，由圆的方程 可得圆心坐标 ，是圆 上任意一点，的最小值为 ，故选 D.例 9.已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上任意一点，若点 ，则 的最小值为_【答案】511点睛：该题考查的是抛物线上的动点到抛物线内一个定点到焦点的距离和的最小值问题，在
16、解题的过程中，利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到其准线的距离，结合图形，可以断定当 三点共线时满足条件，最小值为定点到准线的距离，利用公式求得结果.例 10.【2018 届山东省威海市二模】抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上的两个动点，线段的中点为 ，过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的最大值为_.【答案】【解析】分析：设|PF|=2a，|QF|=2b， 由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b28abcos，进而根据基本不等式，求得的 取值范围，从而得到本题答案.12cos= ，当且仅当 a=b 时取等号， ，故答案为：点睛：（1）本
17、题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出 MN 和 PQ,其二是得到 后要会利用基本不等式求最值.【精选精练】1 【2018 届山西省大同市与阳泉市第二次监测】已知椭圆 的左焦点为 ，过点 作倾斜角为 的直线与圆 相交的弦长为 ，则椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B13由直线与圆 相交的弦长为 ，可得 ，解得 ，则椭圆方程为 ，故选 B.点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，
18、属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程 或 ；找关系：根据已知条件，建立关于 、 、 的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.2 【2018 届江西省南昌市二模】已知双曲线 的两焦点分别是 ，双曲线 在第一象限部分有一点 ，满足 ，若圆 与 三边都相切，则圆 的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A3 【2018 届河南省洛阳市三统】已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A. B. 3 C. 5 D. 【答案】A
19、【解析】分析：首先求出抛物线的焦点坐标，之后利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合， ，先求出，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，之后应用点到直线的距离公式求得结果.14详解：因为抛物线 的焦点坐标为 ，依题意， ，所以 ，所以双曲线的方程为 ，所以其渐近线方程为 ，所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为 ，故选 A.4 【2018 届山西省大同市与阳泉市第二次监测】已知双曲线 的离心率为 ，其一条渐近线被圆 截得的弦长为 ，则实数 的值为（ ）A. 3 B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】分析：由离心率公式，可得 a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长公
20、式，解方程可得所求值详解：由题可得：c= ，即有 a=b，渐近线方程为 y=x，圆（x-m） 2+y2=4（m0）的圆心为（m，0） ，半径为 2，可得圆心到直线的距离为 d= ，则直线被圆截得的弦长为 ，解得 m=2（-2 舍去），故选：D5 【2018 届重庆市三诊】已知抛物线 的焦点为 ，以 为圆心的圆与抛物线交于 两点，与抛物线的准线交于 两点，若四边形 为矩形，则矩形 的面积是（ ）A. B. C. D. 3【答案】A所以 ，从而求得四边形 的面积为 .15点睛：该题考查的是有关抛物线及圆的有关性质以及矩形的面积公式，在解题的过程中，MN 和 PQ 关于圆心对称是最关键的一步，此时可
21、以求得点 M 的横坐标，借助于抛物线的方程，求得其纵坐标，从而求得对应的边长，利用面积公式，求得结果.6 【2018 届重庆市巴蜀中学月考九】已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 两点，若 中点 的坐标为 ，则原点 到直线 的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D，故选 D.7 【2018 届四川省冲刺演练（一） 】 为椭圆 ： 上一动点， ， 分别为左、右焦点，延长至点 ，使得 ，记动点 的轨迹为 ，设点 为椭圆 短轴上一顶点，直线 与 交于 ，两点，则 _【答案】【解析】分析：利用椭圆的定义以及已知条件转化求解即可详解：|PF 1|+|PF2|=2a=2 ，|PQ|=|PF 2|，所
22、以|PF 1|+|PQ|=|QF1|=2 动点 Q 的轨迹为 ，为以 F1为圆心半径为 的圆，|BF 1|=|BF2|= |F 1F2|=2，BF 1BF 2，则|MN|=2 =2 故答案为：2 8.如图，抛物线 和圆 ，其中 ，直线 经过 的焦点，依次交 于四点，则 的值为_16【答案】【解析】分析：设抛物线的焦点为 F，易得：|AB|=|AF|BF=x 1+ =x1，同理可知|CD|=x 2，从而求出 同理|CD|=x 2， =| | |cos =x 1x2= 故答案为： 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于
23、求点 的坐标2若 为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 的端点坐标为，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，17则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到9设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点，过 作 ， 为垂足，如果直线 的斜率为 ，那么 _【答案】 .由 可得 A 点坐标为PAl，A 为垂足，P 点纵坐标为 ,代入抛物线方程,得 P 点坐标为(6, )， .故答案为 8.10 【2018 届山东省烟台市高三高考适应性练习（一） 】已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上一点，若 的延长线交 轴的正半轴于点 ，交抛物线 的准线 于点 ，且 ，则 =_
24、【答案】3【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可详解：画出图形如下图所示由题意得抛物线的焦点 ，准线为 设抛物线的准线与 y 轴的交点为 ，过 M 作准线的垂线，垂足为 ，交 x 轴于点 18即 ，解得 11 【2018 届湖南省长郡中学一模】已知直线 过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 、 两点， 为 的准线 上一点，则 的面积为_【答案】36【解析】分析：可由 得出 ，从而可得抛物线方程，抛物线的准线方程，因此 的 边上的高易得.详解：不妨设抛物线方程为 ， ， ，准线方程为 ， 到直线 的距离为6， .故答案为 36.点睛：过抛物线的焦点与对称轴垂直的弦是抛物线的通径，通径长为 .12.【2018 届广东省湛江市二模】平面直角坐标系 中，椭圆 （ ）的离心率 ， 分别是椭圆的左、右两个顶点，圆 的半径为 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，在 轴的上方交椭圆于点 .则 _19【答案】【解析】分析：由题意首先设出椭圆方程，结合几何关系确定直线的斜率，然后由弦长公式求得弦长，最后求解 的值即可.详解：如图所示，设 ，即 ，由弦长公式可得： ，在 中， ，故 .20
