1、2018 届内蒙古巴彦淖尔市第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（5 分12=60 分）每小题给出的四个选项只有一项正确1. 设 ， , ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 , , 。选 D。2. 若复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意 ，则 故选 B考点：复数的运算，复数的模3. 已知等差数列 中， ， ，则 的值是（ ）A. 15 B. 30 C. 31 D. 64【答案】A【解析】 为等差数列，设首项为 ，公差为 ， ， ， 由- 得 ，即 ，故选 A.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等
2、差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（ ）与前 项和的关系，利用整体代换思想解答.4. 在 中 是 的 （ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】略5. 已知函数 ，则 等于（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得 ， 。选 D。6. 若数列 的前 项和 ，则 的通项公式是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，整理得又 ，
3、解得 。数列 是首项为 1，公比为 的等比数列， 。选 A。7. 设 为平行四边形 对角线的交点， 为平行四边形 所在平面内任意一点，则等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题可知 ，考点：平面向量的加法8. 如图所示，是函数 （ ， ， ）的图象的一部分，则函数解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由 排除 B、D，由 排除 C，故选 A考点：函数 的图象【方法点晴】本题主要考查函数 的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按顺序求解） ，但计算量稍大，速度较慢本题可以采用排除法解题速度较快，即先由排除 B、D，由 排除 C，可得正确
4、答案 A故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按 顺序求解） 2、排除法（抓住部分特征进行排除） 9. 由直线 ， ， 与曲线 所围成封闭图形的面积为 ( )A. B. 1 C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据余弦函数的对称性可得，直线 x ，x ，y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为 故答案为：D 考点：定积分在求面积中的应用10. 若 ，则 的值为( )A. 1 B. 3 C. 6 D. 4【答案】D【解析】 ， ， ， 。选 D。11. 已知点 是曲线 上的一个动点，则点 到直线 的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】本题考查函
5、数的导数与曲线的切线.此处 .由 得 ；直线 的斜率为 ，过点 且与直线 平行的切线的斜率为令；令 得 或 （舍）.当 时， ，即切点为 ，点 到直线 的距离 即为最短距离.故正确答案为 B12. 已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若在 内关于 的方程 恰有 3 个不同的实数根，则 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ，即 ， 函数 f(x)的周期为 4。当 x0,2时，则x 2,0， ，f(x)是偶函数，由 f(x)loga(x+2)=0，得 f(x)=loga(x+2)，令 作出函数 的图象如图所示：当 01 时，要使方程 f(x)loga(x+
6、2)=0 恰有 3 个不同的实数根，则需函数 f(x)与 g(x)=loga(x+2)的图象有3 个不同的交点，则需满足 ，即 ，解得 。故 a 的取值范围是 。答案：C点睛：解题时要注意挖掘题目中的隐含信息，如由 得到函数的周期为 4 等。另外还应注意解题方法的灵活选择，对于函数零点个数的问题，一般要结合函数的图象求解，在准确画出函数图象的基础上，根据题意及图象的相对位置、特殊点的相对位置， 得到不等式 （组）再进一步求解。二、填空题（5 分4=20 分）13. 已知向量 ， ，且 ，则 _.【答案】8【解析】 ， ,又 ， 。解得 。答案：814. 已知各项不为 的等差数列 满足 ，数列
7、是等比数列，且 ，则 的值等于_【答案】8 ，解得 ，考点：等差数列的通项公式15. 函数 的图象为 ，如下结论中正确的是_.图象 关于直线 对称； 图象 关于点 对称；函数 在区间 内是增函数；由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 .【答案】【解析】由条件得 ，对于，当 时， ，为最小值，所以直线 为对称轴。故正确。对于 ，当 时， ，所以点 为对称中心。故正确。对于 ，当 时， ，所以函数 在区间 内是增函数，故正确。对于 ，把函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的解析式为，故不正确。综上可得正确结论为。答案：点睛：解决三角函数综合题的一般步骤（1）根据条件及三角变换，将所
8、给函数化为 的形式；（2）将 看作一个整体，并结合所求及正弦（余弦）函数的相关性质进行求解（在解决单调性问题时要注意 的符号）；（3）对于函数图象的变换，要注意变换的顺序和平移单位（或伸缩）的大小。16. 函数 ,若方程 恰有四个不等的实数根, 则实数 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：画出 的图象， 与 交点个数就是方程的个数，由图知， ，当 时， ，当直线 与相切时，设切点 ，则 得 ，当直线由 绕点 转至切线 过程中，与 有四个交点，所以 的取值范围是 ，故答案为 考点：1、分段函数的解析式及图象； 2、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想【方法点睛】本题主要考
9、查分段函数的解析式及图象、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想，属于难题数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度本题通过 与图象交点来解决方程根的个数问题正是体现了这种思想三、解答题17. 已知函数 。（1 ）求 的最小正周期：（2 ）求 在区间 上的最大值和最小值。【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）= ，最小正周期是（2 ）因为 ，所以 ， 时， 最小值是 ， 时， 的最大值是
10、。考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式的应用，三角函数的图象和性质。点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要利用三角函数的和差倍半公式“化一” 。本题（2）涉及角的范围及三角函数的最值，易出错。18. 设 （1 ）求 的单调区间；（2 ）在锐角 中，角 的对边分别为 若 ， ，求 面积的最大值【答案】 （1）增区间 ，减区间为 ；（2）【解析】试题分析：（1）将函数化为 ，然后根据正弦函数的单调区间求解；（2）由 求得 ，然后根据余弦定理得到 ，由基本不等式可得，进而可得三角形面积的最大值。试题解析：(1)由题意知 ，由 2k2x 2k，kZ ，可得 kx k，kZ ；由 2k2
11、x 2k，kZ，可得 kx k，kZ.所以 f(x)的单调递增区间是 k， k(k Z)；单调递减区间是 k， k(kZ)(2)由 f( )sinA0，得 sinA，由题意知 A 为锐角，所以 cosA ，由余弦定理得 ，所以 ，当且仅当 bc 时等号成立，所以 ，所以所以ABC 面积的最大值为 。19. 设 是等差数列 的前 项和，已知 ， （1 ）求数列 的通项公式；（2 ）若 ，求证：【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据条件布列首项与公差的方程组，求得通项 ；（2 ）利用等比前 项和公式求和，然后转为最值问题.试题解析：解：（1）设公差为 ，则 解得 （2 ） ，
12、 ， 是等比数列 ， ，考点：等差数列与等比数列的基本公式.20. 已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等比数列，且公比大于 ， ， （1 ）求 和 的通项公式；（2 ）求数列 的前 项和（ ） 【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差 和等比数列的公比 ，并结合条件进行求解得到 和 ，根据公式可得数列的通项；（2）根据条件得到数列 的通项公式，并根据通项公式的特点选择用错位相减法求和。试题解析：（1 ） 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 由已知 ，得 ，而 ，所以 又因为 ，解得 所以 ；由 ，可得 ，由 ，可得 ，联立，解得 ，由此可得 所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 （2 ） 由（1 ）可得设数列 的前 项和为 ，则 ， ， 得， ，所以数列 的前 项和为点睛：数列求和时要注意根据数列通项公式的特征选择适合的方法，在用错位相减法求和时以下几个地方比较容易出错：（1）注意在相减时对 中的第一项和 中最后一项的处理，不要忽视了符号问题；（2）在相减后得到的是 ，所以在求最后得结果时不要忘了两边除以 。21. 已知函数 （1 ）若 ，求 的值；（2 ）设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值【答案】 （1） ；（2）3
