1、2018 届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）一选择题（共 12 小题，每题 5 分）1.是虚数单位,复数 ，在复平面上的对应点在 ( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：对于 在复平面中对应的点为 ， ,可知在平面上的对应点为 ，在第四象限考点：复数的四则运算，复数的几何意义2. 设集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 选 B3. 已知 ， 均为非零向量，条件 ： ，条件 ： 与 的夹角为锐角，则 是 成立的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充
2、分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当 时， 与 的夹角为锐角或 与 同向；故条件 条件 ，为假命题，即 是成立的不充分条件；而当 与 的夹角为锐角时， 一定成立，即条件 条件 ，为真命题，即 是成立的必要条件； 是 成立的必要不充分条件，故选 C.考点：1、向量的夹角及平面向量夹角余弦公式；2、充分条件与必要条件.【方法点睛】本题向量的数量积与其夹角的关系主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和
3、否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.4. 若 | ， 且 ，则 与 的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B选 B 5. 如果 的终边过点 ，那么 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D 属于第四象限角， 故选：D6. 已知 ，则 的大小关系（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由对数函数的性质可得 ，由指数函数的性质可得，所以， ，故选 A.7. 在 中，若 ，则 是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】将已知条件变形可得 ，展开整理得或 ，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，选 D.点睛：在解三
4、角形中关于判断三角形形状的题目，可将已知条件都转化为三角形的三边或三角后求解，若都转化为边，则借助于三角形的余弦定理的变形，如 ，通过 的正负来确定 角的范围，从而确定三角形形状，若都转化为角，则利用三角函数公式将其化简，求得角的大小，亦可确定三角形形状.8. 已知等差数列 中， ，则 的前 项和 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以通项公式 ，当，解得 即 ，即前 项和最大，故选 C.9. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人走 378 里
5、路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了( )A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为 ，易知 是公比为 的等比数列，由题意知，故选 B.10. 若 ， 为自然对数的底数，则下列各式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,构造函数 ,解得 ,即 在 上单增, 在上单减,故由 无法判断 的大小; ,构造函数,即 在 单调递增,所以由 ,可得 ,故选 C.11. 已知 是函数 在 上的所有零点之和，则 的值为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D.
6、10【答案】C【解析】因为 ，所以 ，因为，所以函数零点有偶数个，两两关于 对称 .当 时， ，且单调递减； ，且在 上有两个周期，因此当 时， 与有 4 个不同的交点；从而所有零点之和为 ，选 C.点睛：对于确定方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等12. 已知函数 ，在区间 上任取三个数 均存在以 为边长的三角形，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，函数在区间 时， 时， ，时，
7、 所以函数在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以函数的最小值是，最大值是 ，端点值 ，因为在区间 上任取三个数均存在以 ， ， 为边长的三角形，所以只需满足 ，即，解得 ，故选 D考点：导数的应用【思路点睛】考察了导数的应用，属于中档题型，当考察导数的应用时，离不开求函数的导数，求极值点并确定函数的单调性，最后确定最值的问题，但如何满足在区间 上任取三个数 均存在以 ， 为边长的三角形，因为三角形的任两边之和要大于第三边，所以转化为区间上的最小值+最小值 最大值，那么就满足了任两边和大于第三边，所以问题转化为求函数在区间的最大值与最小值，问题就迎刃而解了二填空题（共 4 小题，每题 5 分）
8、13. 命题：“ ”的否定是_【答案】【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，则命题的否定是故答案为【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题，以及全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键14. 设 ，则 的值为_【答案】1【解析】由 ，得 ， ，所以.15. 已知 ， ，则 的值为_【答案】-【解析】 则 ，16. 给出下列三个命题:函数 有无数个零点；已知平面内一点 及 ,若 ,则点 在线段 上；设连续掷两次骰子得到的点数分别为 ， ，令平面向量 ， ，则事件“ ”发生的概率为 .其中正确命题的序号是_【答案】123【解析】 时，函数 ，故命题正确；由
9、，故点 在线段 上；正确；由题 故 的所有情况有 36 种，事件“ ”发生即有 共三种 1 情况，故事件“ ”发生的概率为 .，命题正确故答案为三解答题17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 .（1）求 的值；（2）若 ，且 成等差数列，求 的面积.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：(1)由题中所给的二次齐次方程结合余弦定理整理可得 .(2)由题意结合余弦定理可得： ，然后利用正弦定理角化边可得，据此可得 ，然后利用三角形面积公式可得 .试题解析：（1）由 ，可得 .所以 ，即 .（2）因为 ， ，所以，又 成等差数列，由正弦定理，得 ，所以 ，所以 .由 ，得 ，所以 的面积 .1
10、8. 已知 ，且 .将 表示为 的函数，若记此函数为 ，（1）求 的单调递增区间；（2）将 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象，求函数 在 上的最大值与最小值 .【答案】 （1）单调递增区间为 （2）最大值为 3，最小值为 0.【解析】试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函数的递增区间即可；（2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即可试题解析：（1）由 得 ，所以 . 由 得 ， 即函数 的单调递增区间为 （2）由题意知 因为 ， 故当 时， 有最大
11、值为 3； 当 时， 有最小值为 0. 故函数 在 上的最大值为 3，最小值为 0.19. 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， .（1）求 的通项公式；（2）求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】 【试题分析】 （1）先依据题设 ， 及等差数列前 项和公式建立方程组求出公差，再运用等差数列的通项公式求出通项公式；（2）依据题设条件及（1）的结论求出等差数列的前 项和 ，求出 ，进而运用列项相消法求出 ：解：（）设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，则有 ，所以 ，故 （ ）.（）由（）知， ，则所以20. 设数列 的前 项和 ，满足 ，且 成等差数列.（1）求数列 的通项公式；（2）数
12、列 的前 项和 ，求 . .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由条件 满足 ，求得数列 为等比数列，且公比 ，再根据 成等差数列，求得首项的值 ，进而可得数列 的通项公式；（2）根据 ，利用等比数列的前 项和公式求得数列 的前 项和为 .试题解析：（1）由已知 ，由 ，即 ，从而 ，又因为 成等差数列，所以 ，所以 ，解得 .所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列所以 .（2）由（1）得 ，所以 .21. 已知函数 .(1)当 时，求函数 的图象在点 (1， )处的切线方程；(2)讨论函数 的单调区间.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）求出 时函数 的导数，
13、求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）首先求出函数的定义域 ，再对 求导，分类讨论 判断函数的单调性即可；试题解析：()当 时, 又函数 的图象在点 (1， )处的切线方程为: ,即() 的定义域为 ，当 时， 在 上恒成立， 在定义域内单调递增；当 时，令 解得， ，则 时， ， 单调递增；时， ， 单调递减；综上， 时， 的单调递增区间为 ； 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递增区间为 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，运用导数求单调性和最值，考查分类讨论和参数分离的思想方法，应注意熟练掌握22. 已知函数 ，且. （1）求函数 的解析式；（2）若对
14、任意 ，都有 ，求的 取值范围；（3）证明函数 的图象在 图象的下方.【答案】 （1） （2） （3）见解析【解析】试题分析：（1）首先求出函数的定义域 ，再对 求导，代入 ，解方程可得 ，即可求得函数 的解析式；（2）由题意可得 恒成立，即 恒成立，令 ，求出的导数，单调区间，求得最大值，即可得到 的取值范围；（3）要证明函数 的图象在 图象的下方.，即证 恒成立，即证 ，即证 ，令 求得导数，得到单调性，即可得证试题解析：（1）易知函数的定义域 所以 ，又； （2）若对任意的 ，都有 即 恒成立，即 恒成立令 ，则 当 时， 所以 单调递增；当 时， 所以 单调递减；时， 有最大值 ，即 的取值范围为 （3）要证明函数 的图象在 图象的下方.，即证 恒成立，即由（2）可得： ，所以 要证明 ，只要证明 ，即证 令 则 当 时， 所以 单调递增，即 所以 从而得到 ，所以函数 的图象在 图象的下方【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查恒成立思想的运用和参数分离方法，以及构造函数法，解题时注意分析法证明不等式的运用
