1、2018 届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第四次质量检测数学（理）试题第一部分（选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 设复数 满足 ，则 （ ）z1+izA. 1 B. C. 3 D.222. 已知集合 0,12PxQx，则 ()RPQ（ ）A. B. C. D.0,)(,)1,3. 已知向量 ， ，则向量 的夹角的余弦值为（ ）a1,)2a4,)ba,bA. B. C. D.3030224. 执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为 7，第二次输入的 的值为 9，则第
2、一次、第xx二次输出的 的值分别为( ) aA. 0，0 B. 1，1 C. 0，1 D. 1，05. 已知 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）(1)nxA 2 B 12 C 102 D 926.已知符号函数 是 上的增函数， ，则（ ）,0,sgn1,.x()fR()()1gxfaxA B()x sn()snC Dsgns()fxgg()xfx7函数 是偶函数的充要条件是（ ） ()sin2)3cos(2)fxxA. B. ,6kZ,6kZC. D. ,32,38 在区间 上随机取两个数 ，记 为事件“ ”的概率，0,1,xy1p1xy为事件“
3、”的概率， 为事件“ ”的概率，则 （ ）2p|2xy32A B C D 13p21p312p321p9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问: 积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ）A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛10. 设双曲线21xyab（ ）的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 A
4、F 的垂线与双曲线交于0,abB、C 两点，过 B、C 分别作 AC、AB 的垂线，两垂线交于点 D。若 D 到直线 BC 的距离小于 ，2ab则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A. (1,0), B. (,1)(,)C. D. 2,(,) ,2,11. 如下图，在小正方形边长为 的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 2730323412. 已知函数 函数 ，其中 ，若函数2,xf2gxbfxbR恰有 4 个零点，则 的取值范围是（ ）yfxgbA. B. C. D.7,470,7,247,4第二部分（非选择题 共 90 分）二、填空题（
5、本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷中相应的横线上.）13. 设 是等差数列 的前 项和，已知 23a， 61，则 .nSna 7S14.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 . 104xyyx15 如图，在同一个平面内，向量 ， OB， C的模分别为 ， ， ， 与 OC的夹角为 ，且A12Atan7, OB与 C的夹角为 45若 ，则 = mn(,)R+mn16若直线 ykxb 是曲线 yln x 2 的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则 b_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题
6、满分 10 分) 设 f（x）= sincosx2（x+ 4）.（）求 f（x）的单调区间；（）在锐角ABC 中，角 A,B,C,的对边分别为 a,b,c,若 f（ 2A）=0, a=1,求 ABC 面积的最大值。18. (本小题满分 12 分)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB5，AC 6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF ，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置OD .54 10(1)证明：DH 平面 ABCD；(2)求二面角 的正弦值BAC19.(本小题满分 12 分)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘
7、汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选
8、其一，应选用哪个？20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 E： 1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 l：y x3 与x2a2 y2b2椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；(2)设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数 ，使得|PT| 2|PA|PB|，并求 的值21.(本小题满分 14 分)已知函数 (ln1fx=+， (),k),gxR=(I)证明：当 0()xfx；(III)确定 的所有可能取值，使得存在 ，对任意的 恒有 .tt2()x请考
9、生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.22.(本小题满分 分)选修 ：坐标系与参数方程选讲.104在平面直角坐标系 中，曲线 （ 为参数，实数 ），曲线xOy1cos:inxaCy0a2:C（ 为参数，实数 ）. 在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线cosinxby0bOx与 交于 两点，与 交于 两点. 当 时， ；当)20,(:l 1CA、 2C,B01|OA时， .2|OB（1 ）求 的值； （2 ）求 的最大值.ba, |2OB23.(本小题满分 分)选修 ：不等式选讲.1045设函数 （
10、，实数 ）.|1|2|(axxfR0a（1 ）若 ，求实数 的取值范围； （2）求证： .5)0(f 2)(xf长安一中 2017-2018 学年度第一学期第四次教学质量检测高三理科数学参考答案一、 选择题：ACCDD BABBA DC二、 填空题：49, 3， 3， 1-ln217. 解：（）由题意cos()2()sixfxn21in21sx由 可得 kk2Zkxk44Z由 得 x233所以 的单调递增区间是 （ ）)(f ,4kZ单调递减区间是 （ ）,4k（II） 11()sin0sin22Af A由题意 A 是锐角，所以 ;由余弦定理：3co Abcaos2，且当 时成立213bb可
11、得 321面积最大值为sin4cAABC418. (1)证明 由已知得 ACBD，AD CD.又由 AECF 得 ，故 ACEF.AEAD CFCD因此 EFHD，从而 EFDH.由 AB5，AC 6 得 DOBO 4.AB2 AO2由 EFAC 得 .OHDO AEAD 14所以 OH1，DHDH3.于是 DH2OH 23 21 210DO 2，故 DHOH.又 DH EF，而 OHEFH ，所以 DH平面 ABCD.(2)解 如图，以 H 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 H-xyz.HF 则 H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0) ，C(3 ，1,0
12、)，D(0,0,3)， (3，4,0)， (6,0,0)， (3,1,3) AB AC AD 设 m(x 1，y 1，z 1)是平面 ABD的法向量，则Error!即Error!所以可取 m(4,3，5)设 n(x 2，y 2，z 2)是平面 ACD的法向量，则Error!即Error!所以可取 n(0，3,1)于是 cosm，n .mn|m|n| 1450 10 7525sinm，n .29525因此二面角 B-DA-C 的正弦值是 .2952519. 解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2
13、，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.2 0.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20. 20.04；所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当 n19 时，
14、E(Y)192000.68 (19200500)0.2(19200 2500)0.08 (192003500)0.044 040(元)当 n20 时，E(Y)202000.88 (20200500)0.08(20200 2500)0.04 4 080( 元)可知当 n19 时所需费用的期望值小于 n20 时所需费用的期望值，故应选 n19.20.(1)解 由已知，a b，则椭圆 E 的方程为 1.2x22b2 y2b2由方程组Error!得 3x212x(182b 2)0.方程的判别式为 24( b23)，由 0，得 b23，此时方程的解为 x2，所以椭圆 E 的方程为 1.点 T 的坐标为(
15、2,1)x26 y23(2)证明 由已知可设直线 l的方程为 y xm(m0)，12由方程组Error!可得Error! 所以 P 点坐标为 .|PT|2 m2.(2 2m3，1 2m3) 89设点 A，B 的坐标分别为 A(x1， y1)，B(x 2，y 2)由方程组Error!可得 3x24mx(4m 212)0.方程的判别式为 16(9 2m 2)， 由 0，解得 故对任意正实数 均满足题意 .0x当 .101(),=0kkx-=.f()g综上，当 时，总存在 ,使得对任意的 .1k0(),x任 意 ， 恒 有 f()xg(III)当 时，由（ 1）知，对于 ，(,)“+fg， 故，令
16、，则有|f()|()kln1xgxfx-=- 2M(kln(1),0)xx=-+-， +故当 时， ,21()Mk,+8(k104（ ， ()0Mx在 上单调递增，故 ,即 ,所以满足()x2()8(k1)04-， ()0x=2|()|fxg-题意的 t 不存在.当 时，由（ II）知存在 ,使得当 .1k0(),x任 意 ， 恒 有 f()x此时 ,|f()|f()ln(1)kxg-=-+-令 ，则有 故当2Nln1k,0x+，21-(k+)1M()=,xxk-+时， ,N（x）在 上单调递2()8(1)04x-）（ ， ()0N2()()8()4-，增，故 ,即 ,记 与 中较小的为 ，N
17、()0=2f()xg-02)(k)8(1)4-+-1x则当 ，故满足题意的 t 不存在. 1|x ， 时 ， 恒 有当 ，由（I ）知，当 x0 时， ，=k|()|()ln(1)fxgxfx-=-+令 ，则有2H()ln(1),0xx-+-， +2H=,-当 时， ,所以 在 上单调递减，故 ,0(0,)x“+()gxf，故 ，|()|()ln11fxgxfkk-=-=令 ，2,0k(,)xk-对 于 2|f()|xg-当 时，取k-令 ，此时 ,21,2kx记 与 中较小的为 ，则当 ，0x-1 210|()|fxg -， 时 ， 恒 有故满足题意的 t 不存在.当 ，由（I ）知，x0 ，=1k|()|()ln(1)fxgxf-=-+令 ，则有2M()ln(),0x， +2M,x当 时， ,所以 在 上单调递减，故 ,0()x， ） ()0=故当 时，恒有 ,此时，任意实数 t 满足题意.x2|fg-综上， .=1k22.【解析】（）将 化为普通方程为 ，其极坐标方程为 ，1C22()xay2cosa由题可得当 时， ， . 0|1OA将 化为普通方程为 ，其极坐标方程为 ,222()xyb2sinb由题可得当 时， ， . |B1（）由 的值可得 ， 的方程分别为 ， ,ab1C2cos2sin2|cosinic1OA
