1、2018 届天津市实验中学高三上学期第二次阶段考试数学（文）试题（解析版）一、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，则每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. ，且 为纯虚数，则 等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】 为纯虚数，-a-1=0 ，所以 a=-1,故选 D2. 已知 ，则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“ ”，则 ，即 .所以 ,充分性成立；若“ ”，则 ，有 或 .必要性不成立.故“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选 A.3. 已知向量 的夹
2、角是 ， ，则 的值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】向量 的夹角是 ， ，所以 .故选 A.4. 如图是函数 在区间 上的图象，为了得到这个图象，只需将 的图象A. 向右平移 个单位长度B. 向右平移 个单位长度C. 向右平移 个单位长度D. 向左平移 个单位长度【答案】B【解析】由图可知函数函数 的周期为 ，解得 .，解得 .所以有 .所以只需将 右平移 个单位长度.故选 B.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量 x 的系数是否为 1，如果 x 有系数，需要将系数提出来求
3、平移量，平移时遵循“左加右减”.5. 若函数 满足 ，且 在 上单调递增，则实数 的最小值为A. B. C. D. 【答案】C知 在 单调递减；在 单调递增.所以 . 的最小值为 1.故选 C.6. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则角 的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理得 ,所以 ,因此 ， 中有一钝角, 角 必为锐角,因为,所以 ,即角 的最大值为 ,选 A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会
4、出现错误.7. 若函数 的图象关于点 对称，且在 内有零点，则 的最小值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 .图象关于点 对称,所以 . .当 时， ，令 ，得 ， .令 ，无解；当 时， ，令 ，得 ， .令 ，解得 ，即零点为 .所以 的最小值是 10.故选 D.8. 已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若，则 的大小关系正确的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】定义域为 R 的奇函数 ,设 , 为 R 上的偶函数,当 时，所以当 时, ,当 时, ,即 在 单调递增,在 单调递减.；.因为 ，所以 .即 ,故选 B.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有
5、： ，构造 xf(x)；2xf(x)+x2f(x)，构造 x2f(x)；，构造 ;，构造 ；，构造 .等等.二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，请将答案填在答题卡上）9. 若集合 ，则 _【答案】【解析】集合 .10. 若圆 经过坐标原点和点 ，且和直线 相切，则圆 的方程是_【答案】【解析】设圆的圆心坐标 ，半径为，因为圆 经过坐标原点和点 ，且与直线 相切， 所以，解得 ，所求圆的方程为 ，故答案为 .11. 已知 为偶函数，则 的单调递增区间为_【答案】【解析】因为 为偶函数,所以 ,所以 ,解得 .则函数 .令 ， 为其对称轴.由 ，解得 或 .由复合函数的
6、单调性知， 单调递增区间为 .点睛：形如 的函数为 , 的复合函数， 为内层函数, 为外层函数.当内层函数 单增，外层函数 单增时，函数 也单增；当内层函数 单增，外层函数 单减时，函数 也单减；当内层函数 单减，外层函数 单增时，函数 也单减；当内层函数 单减，外层函数 单减时，函数 也单增.简称为“同增异减”.12. 已知各项都为正数的等比数列 ，且满足 ，若存在两项 ，使得 ，则的最小是为_【答案】【解析】等比数列 各项都为正数，则.，则 ，得 .；则，则故本题正确答案为13. 中， 分别为边 的中点，且 与 夹角为 ，则 _【答案】【解析】假设 为中线 与 的交点，则 为三角形 的重心
7、。所以 ， ，根据余弦定理 ，得 。所以14. 已知函数 ，若函数 有且只有三个零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】如图所示,易得 ,根据题意得 ,.三、解答题（本大题共 6 个小题，总分 80 分）15. 在 中，角 的对边分别为 ，且（）求 的值；（）若 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2） .试题解析：(1)又 ， .则 .(2)由 ,得 ，又 .则由正弦定理知 ， ABC 的面积为 .16. 已知函数 .（）求函数 的最小正周期和图象的对称中心；（）求 在区间 上的最大值和最小值.【答案】 （1）最小正周期为： ，对称中心为： ；（2）最大值 2，最小值.【解析】试题分析：
8、(1)根据二倍角的正弦与余弦及辅助角公式 ,将解析式化为 ,根据正弦函数的性质,求出最小正周期和图象的对称中心;(2)由 x 的范围求出“ ”的范围,根据正弦函数的单调性判断出函数的单调性,再求出端点处的函数值,进行比较后得函数的最值,即求出函数的最值.试题解析：(1)最小正周期为： ，对称中心为：（2） ，当 ，即 时函数有最大值 2；当 ，即 时函数有最小值.17. 某工艺厂有铜丝 5 万米，铁丝 9 万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝 200 米，铁丝 300 米；编制一只花盆需要 100 米，铁丝 300 米，设该厂用所有原来编制个花篮 ，个花盆.（）列
9、出 满足的关系式，并画出相应的平面区域；（）若出售一个花篮可获利 300 元，出售一个花盘可获利 200 元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？【答案】 （1）见解析；（2）该厂编制 200 个花篮,100 花盆所获得利润最大, 最大利润为 8 万元.【解析】试题分析：(1)列出 x、y 满足的关系式为 ,画出不等式组所表示的平面区域即可.(2)设该厂所得利润为 z 元,写出目标函数,利用目标函数的几何意义,求解目标函数 z=300x+200y,所获得利润.试题解析：(1)由已知 x、y 满足的关系式为 等价于该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部
10、分.(2)设该厂所得利润为 z 元,则目标函数为 z=300x+200y将 z=300x+200y 变形为 ,这是斜率为 ,在 y 轴上截距为 、随 z 变化的一族平行直线.又因为 x、y 满足约束条件, 所以由图可知,当直线 经过可行域上的点 M 时, 截距 最大,即 z 最大.解方程组 得点 M 的坐标为(200,100)且恰为整点, 即 x=200,y=100.所以, .答：该厂编制 200 个花篮,100 花盆所获得利润最大,最大利润为 8 万元.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束
11、条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.18. 已知各项均不为零的数列 的前 项和 ，且满足 ，数列满足.（）求数列 ， 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：(1)由 ,求出 ,当 ,求出 .利用, ,判断数列 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,然后求解 ；（2）由 可以利用错位相减来求和 .试题解析：（1 ）当 时， ，综上 .由 ，所以 是以 2 位公比，2 为首项的等比数列，所以，则 .（2 ） ， -整理得 .点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善
12、于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn” 与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.19. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 .（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：()由 ,求出 ,能求出数列 的通项公式.()由( )知: ,由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列 的前 n 项和 .试题解析：（1 ），当 时， ，所以（2 ）当 为偶数时，当 为奇数时，综上20. 已知函数 .（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（）当 时，若 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围；（）若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】试题分析：（）把 a=1 代入函数解析式，求导后求出 f（1） ，同时求出 f（1） ，由点斜式写出切线
