1、2018 届云南省名校月考（一）卷数学理科试卷（解析版）理科数学试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）M=x|lg(x1)100， ，不满足条件 ，执行循环体， ， ，退出循环，输出的值为 63，故选a=9 b=54 b100 a=63b=3402100A.7. 设函数 ， ，其中 ， ，若曲线 的一条对称轴方程为 ，f(x)=cos(x+) xR 0log33=12 8270 f(x) (0,+)调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递a0 f
2、(x)=0 x=a2 f(x) (0, a2) ( a2,+)增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是x=a2 f(x) f( a2)=a2alna22e a，故选 D.(2e,+)点睛：本题主要考查了导数在求函数零点中的应用，难度一般；函数零点问题，可以研究函数的单调性、极值等，也可以等价转化为相对应方程的解，同时还可转化为两个函数图象交点的问题，在该题中，主要是利用对函数 进行求导，利用导数判断单调性，通过判断极值与 0 的关系，得参数的值.f(x)11. 图一是美丽的“勾股树” ，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到图二是第 1 代“勾股树”
3、 ，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树” ，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）nA. B. C. D. 2n1;n 2n1;n+1 2n+11;n 2n+11;n+1【答案】D【解析】当 时，正方形的个数有 个；当 时，正方形的个数有 个； ，则n=1 20+21 n=2 20+21+22 个，最大的正方形面积为 1，当 时，由勾股定理知正方形面积的和为Sn=20+21+22+2n=2n+11 n=12，以此类推，所有正方形面积的和为 ，故选 D.n+112. 已知 ， ， ， ，则下列结论错误的是（ ）A(0,2) B(2
4、,0) C(4,0) AP=AB+ACA. 若 是 的重心，则 B. 若 是 的内心，则P ABC=1 P ABC =52C. 若 是 的垂心，则 D. 若 是 的外心，则P ABC=2 P ABC =54【答案】B【解析】如图，设 ，直线 与直线 交于 点，因为 ， AP=rAD AP BC D AP=AB+AC所以 ，则 ，即 ，过 作 分别平行于 ，则 ，而AD=rAB+rAC r+r=1 +=r D DE,DF AC,AB AD=AE+AF， ，由平行线分线段成比例得 ，同理 ，所以 ；若 是AE=ABAF=ACCDCB=FDAB=AEAB= BDBC=AFAC= =CDDB P的重心
5、，则 为 的中点，所以 ；若 是 的内心，则直线 平分 ，所以 分 的ABC D BC=1 P ABC AP BAC D CB比 ；若 是 的垂心，则 点与 点重合，则 ；若 是 的外心，则=CDDB=ACAB=2522=102 P ABC D O =COOB=42 P ABC， ，由于 ， ，所以 ，则 ，故选 B.P(1,1) AP=(1,3) AB=(2,2) AC=(4,2) AP=56AB+23AC =54点睛：本题主要综合考查了平面向量基本定理，突出考查 和 的几何性质，三角形内心、外心、重心、垂,心的性质，即角平分线的交点为内心，各边中垂线的交点为外心，各边中线的交点为重心，各边
6、高的交点为垂心，兼顾考查了平面向量的坐标运算，综合性较强.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 满足约束条件 ，则 的最大值为_x,y x0xy02x+y20 z=x+2y【答案】4【解析】作出不等式组 所表示的平面区域如图所示，由 得： ，要使 最大，x0x-y02x+y-20 z=x+2y y=x2+z2则直线 的截距最大，由图可知，当直线 过点 时截距最大，联立 得 ，即y=x2+z2 y=x2+z2 B x=02x+y2=0 x=0y=2，所以 的最大值为 4，故答案为 4.B(0,2) z=x+2y点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的
7、最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 已知长方体 的所有顶点在同一个球面上，若球心到过 点的三条棱所在直线的距离分ABCDA1B1C1D1 A别是 ，则该球的半径等于_3, 5, 6【答案】 7【解析】设长方体 过点 的三条棱的长分别为 ，由已知条件得： ，ABCD-A1B1C1D1 A a,b,c12a2+b2= 3， ，从而 ，所以球的半径为 ，故答案为 .12
8、a2+c2= 5 12b2+c2= 6 a2+b2+c2=28 715. 已知 是双曲线 的一个焦点， 为坐标原点， 是 上一点，若 是等边三角C:x2a2y2b2=1(a0,b0) O MOF形，则 的离心率等于_ C【答案】 3+1【解析】设 ， 是等边三角形，所以 ，代入 化简得： ，所以F(c,0) MOF M(c2, 3c2) x2a2-y2b2=1的离心率 ，故答案为 .C e= 3+1 3+116. 已知数列 满足 ，数列 满足 ，若 ，记 为数列an+1=an+1 bn bn+1=bn+3 a1=b1,a2=b2 Sn的前 项和，则 _an+bn n Sn=【答案】 ，或Sn=
9、n(n+4)2 14+(1)n14 Sn=n(n+4)2 ,n为 偶 数n(n+4)2 12,n为 奇 数 【解析】由 知数列 是公差为 1 的等差数列，则 ，由 知，所以 ，又因为 ，所以 ，则 ，由等和数列通项可得 ，所以 ，所以由分组求和可得，故答案为 .学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分cn=an+bn an bn别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为an=1n
10、(n+1) cn=anbn an bn等比数列等.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在平面内，四边形 的内角 与 互补， ，连结 ， ， .ABCD D BC= 2 AC BAC=45 DAC=60(1)求 DC；(2)若 的面积为 ，求四边形 的周长.ADC32 ABCD【答案】 （1） ；（2）3 1+ 3+22【解析】试题分析：（1）分别在 和 中运用正弦定理，结合 与 互补，即 ，ADC ABC B D sinB=sinD可得 ；（2）由三角形面积公式可得 ，运用余弦定理可得 ，结合大边对大DC= 3 ACAD=2 AD
11、2+AC2=5角可解出 的值，再求出 ，即可得四边形周长.AC,BD AB试题解析：（1）在 中，由正弦定理 ，在 中同理可得 ，因为 与ADCDCsinDAC=ACsinD ABC BCsinBAC=ACsinB B互补，所以 ，则 ，即 ，解得 .D sinB=sinDDCsinDAC= BCsinBAC DCsin60= 2sin45 DC= 3（2）在 中，由面积公式 ，得 ， 由余弦定理ADC12ACADsinDAC=32 ACAD=2，得 ，解得 ，或 若AD2+AC2=5 AC=2AD=1 AC=1AD=2 ，则 ，与 矛盾，则 ，所以 ，那么AC=1,AD=2 D=30,B=1
12、50 ACBC AC=2,AD=1 D=90，所以 .所以四边形 的周长为 B=90 AB= 2 ABCD 1+ 3+2218. 某市为了普及法律知识，增强市民的法制观念，针对本市特定人群举办网上学法普法考试.为了解参考人群的法律知识水平，从一次普法考试中随机抽取了 50 份答卷进行分析，得到这 50 份答卷成绩的统计数据如下:成绩分组 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100频数 2 5 12 16 10 5(1)在答题卡的图中作出样本数据的频率分布直方图；(2)试根据统计数据，估计本次普法考试的平均成绩 和中位数( 同一组中的数据用该组区间的中点值
13、作代x表)；(3)已知该市有 100 万人参加考试，得分低于 60 分的需要重考(不低于 60 分为合格，不再重考)若每次重考的合格率都比上一次考试低 6 个百分点，试估计第 3 次重考的人数.【答案】 （1）见解析；（2）73.75；（3）0.728【解析】试题分析：（1）先计算出每一组的频率，再计算出 ，在图中作出即可；（2）计算出中点值及相应频率，利用平均数公式计算出即可，中位数即为 的解；（3）估计在初次考试后，需要重考的概率 ，第 2 次重考后，还需要重考的概率 ，故而可计算出结果.试题解析：（1）频率分布直方图如图所示（2）样本数据各组中点值及相应的频率如下：各组中值 45 55
14、65 75 85 95频率 0.04 0.1 0.24 0.32 0.2 0.1普法考试的平均成绩 ；设样本成绩的中位数为 ，则易知 ，由x=73.4 x70,80)，得 ，由此估计，本次普法考试成绩的中位数为 73.75.0.04+0.1+0.24+(x-70)0.032=0.5 x=73.75（3）在初次考试后，得分低于 60 分的频率为 ，由此估计在初次考试后，需要重考的概率0.04+0.1=0.14，由题设知，第 1 次重考后，还需要重考的概率 ，第 2 次重考后，还需要重0=0.14 1=0.14+0.06=0.2考的概率 ，所以，第 3 次重考的人数估计为 （万人）2=0.2+0.
15、06=0.26 1000.140.20.26=0.72819. 如图，在三棱锥 中， 是正三角形， ， .PABC PAC PB=AB ACB=90(1)证明:平面 平面 ；PAC ABC(2) 为 的中点， ，求二面角 的余弦值.D PB BC= 3AC DACB【答案】 （1）见解析；（2）255【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连结 ，由等腰三角形得 ， ，由线面垂直PA E BE,CE BEPA CEPA判定定理可得 平面 ，故而 ，结合 ，故可得 平面 ，由面面垂直判定定PA EBC BCPA BCAC BC PAC理可得结果；（2）建立如图空间直角坐标系 .设 ，求出面 的法向
16、量C-xyz AC=2,BC=23 DAC，同时可取面 的法向量 ，计算出向量夹角即可.n1=(0,-1,2) ABC n2=(0,0,1)试题解析：（1）取 的中点 ，连结 ，因为 ，所以 又因为 是正三角形，PA E BE,CE PB=AB BEPA PAC所以 ，所以 平面 .所以 又 ，故 平面 因为 平面，所以CEPA PA EBC BCPA BCAC BC PAC BC平面 平面 PAC ABC（2）取 的中点 ，连结 ，则 ，由（1）可得 平面 . 建立如图空间直角坐标系AC O PO POAC PO ABC.设 ，则 ， ， ，由 为 的中点，得 .所以C-xyz AC=2,B
17、C=23 A(2,0,0) B(0,23,0) P(1,0, 3) D PB D(12, 3, 32)， .设 为平面 的法向量，则 ，可取 ，设CA=(2,0,0) CD=(12, 3, 32) n1=(x1,y1,z1) DAC n1AD=0n1AC=0 n1=(0,-1,2)为平面 的法向量，可取 .则 ，所以二面角n2=(x2,y2,z2) ABC n2=(0,0,1)的余弦值为 . D-AC-B255点睛：本题主要考查了面面垂直的判定以及空间向量在立体几何中的应用之二面角的求法，属于基础题；由于“线线垂直” “线面垂直” “面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这
18、个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，面的法向量所成的角与二面角之间相等或互补，主要通过图形来判定.20. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点，动点 在 上，连结 并延长 至 点，使得F1、F2 C:x22+y2=1 MC F2M F2MN，设点 的轨迹为 .|MN|=|MF1| N D(1)求 的方程；D(2)设 为坐标原点，点 ，连结 交 于 点，若直线 的斜率与直线 的斜率存在且不为零，证明: O PD PF2 C Q F1P OQ这两条直线的斜率之比为定值.【答案】 （1） ；（2）2(x1)2+y2=8【解析】试题分析：（1）由椭圆方程可得焦点坐标为 ，由 可得F1(-1,0
19、),F2(1,0) |MN|=|MF1|，结合点 在 上可得 ，设出 坐标，利用两点间距离公式可得结果；（2）|NF2|=|MF1|+|MF2| MC |NF2|=22 N设 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，利用两点间斜率计算公式可得 ，P(x1,y1),Q(x2,y2) F1P k1 OQ k2k1k2= y1x2y2(x1+1)满足圆的方程， 满足椭圆的方程，当 时，可直接计算 ，当 时，由P(x1,y1) Q(x2,y2) x1=x2=1k1k2=2 x11,x21点在直线 上，故斜率相等，平方结合等比定理化简可得 ，结合 ，代入可得最后结果.PF2y1y2= 42-x2 x1=3x2-22-x2试题解析：（1）设椭圆 的长轴为 ，短轴长为 ，焦距为 ，则 ，所以C:x22+y2=1 2a 2b 2c a= 2,b=1,c=1.因为 ，所以 ，又点 在 上，故F1(-1,0),F2(1,0) |MN|=|MF1| |NF2|=|NM|+|MF2|=|MF1|+|MF2| MC
