1、- 1 -北京四中 2017-2018 学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）满分 150 分，考试时间 120 分钟一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1. 在复平面内，复数 的对应点位于i1A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 函数 f（x）是定义在（- ，+ ）上的可导函数. 则“函数 y=f（x）在 R 上单调递增”是“f（x）0 在 R 上恒成立”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 曲线 y=x3-2x+l 在点（1，0）处的切线方程为A. y=x-1 B. y
2、=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+24. 函数 y=xcosx 的导数为A. y=cosx-xsinx B. y=cosx+xsinxC. y=xcosx-sinx D. y=xcosx+sinx5. 设 f（x）=x 2-2x-4lnx，则函数 f（x）的增区间为A. （0，+ ） B. （- ，-1） ， （2，+ ） C. （2，+ ） D. （-1，0）6. 若复数 z=（x 2-4）+（x+3）i（xR） ，则“z 是纯虚数”是“x=2”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 函数 f（x）的定义域为开区间（a，b）
3、 ，其导函数 f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数 f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个8. 函数 f（x）=（ ） x-log2x 的零点个数为1A. 0 B. 1 C. 2 D. 3- 2 -9. 若函数 y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质. 下列函数中具有 T 性质的是A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x310. 函数 f（x）=x 3-3x，若对于区间-3，2上的任意 x1，x 2，都有|f（x 1）-f（x 2）|t，
4、则实数 t 的最小值是A. 20 B. 18 C. 3 D. 011. 设函数 f（x）是奇函数 f（x）的导函数，f（-1）=0，当 x0 时，xf（x）-f（x）0 成立的 x 的取值范围是A. （- ，-1） （0，1） B. （-1，0） （1，+ ）C. （- ，-1） （-1，0） D. （0，1） （1，+ ）12. 德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半（即 ） ；如果 n 是奇数，则将它乘 3 加 1（即 3n+1） ，不断重复这样的运算，经2过有限步后，一定可以得到 1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能
5、否定，现在请你研究：如果对正整数 n（首项）按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1（注：l 可以多次出现） ，则 n 的所有不同值的个数为A. 4 B. 6 C. 8 D. 32二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分13. 已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi=l+i，则 z2=_. 14. 如图，函数 y=f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8，则 f（2018）+f（2018）=_. 15. 已知函数 f（x）=e x-x+a 有零点，则 a 的取值范围是_. 16. 已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+a2在 x=1 处有极值 10，则
6、（a，b）=_. 17. 对于函数 f（x）=（2x-x 2）e x- 3 -（- ， ）是 f（x）的单调递减区间；2f（- ）是 f（x）的极小值，f（ ）是 f（x）的极大值；2f（x）没有最大值，也没有最小值；f（x）有最大值，没有最小值. 其中判断正确的是_. 18. 若函数 exf（x） （e=2.71828，是自然对数的底数）在 f（x）的定义域上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质，下列函数：f（x）= （x1） f（x）=x 2 f（x）=cosx f（x）=2 -x1中具有 M 性质的是_. 三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 19. 已
7、知函数 f（x）=-x 3+3x2+9x+a. （I）求 f（x）的单调减区间；（II）若 f（x）在区间-2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值. 20. 设 f（x）=a（x-5） 2+61nx，其中 aR，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与y 轴相交于点（0，6）. （I）确定 a 的值；（II）求函数 f（x）的单调区间与极值. 21. 已知：函数 f（x）=ax 4lnx+bx4-c（x0）在 x=1 处取得极值-3-c，其中 a，b，c 为常数. （1）试确定 a，b 的值；（2）讨论函数 f（x）的单调区间：（3）若对任意 x0，不等式 f（x）-2c
8、2恒成立，求 c 的取值范围. 22. 已知函数 f（x）=e x（a+ +lnx） ，其中 aR. 1（I）若曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线与直线 y=- 垂直，求 a 的值；ex（II）当 a（0，ln2）时，证明：f（x）存在极小值. - 4 -参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B A A C B A B A A A B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分13 -2i 14 -2011 15 （- ,-116 （4,-11） 17 18 三、解答题：本大
9、题共 4 小题，共 60 分19. 解：（I）f（x）=-3x 2+6x+9. 令 f（x）3，所以函数 f（x）的单调递减区间为（- ,-1） ， （3，+ ）. （II）因为 f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，所以 f（2）f（-2） ，因为在（-1，3）上 f（x）0，所以 f（x）在-1，2上单调递增，又由于 f（x）在-2，-1上单调递减，因此 f（2）和 f（-1）分别是 f（x）在区间-2，2上的最大值和最小值. 于是有 22+a=20，解得 a=-2. 故 f（x）=-x 3+3x2+9x-2. 因此 f（-1）=1+3-9-2=
10、-7，即函数 f（x）在区间-2，2上的最小值为-7. 20. 解：（I）因 f（x）=a（x-5） 2+6lnx，故 f（x）=2a（x-5）+ . x6令 x=l，得 f（1）=16a，f（1）=6-8a，所以曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y-16a=6-8a（x-1） ，由点（0，6）在切线上可得 6-16a=8a-6，故 a= . 2（II）由（I）知 f（x）= （x-5） 2+6lnx（x0） ，f（x）=x-5+ = . x6)3(令 f（x）=0，解得 x1=2，x 2=3. 当 03 时，f（x）0，故 f（x）在（0，2） ， （3，+ ）上为增函
11、数；当 20）. 令 f（x）=0，解得 x=1. x （0,1） 1 （1,+ ）f（x）- 0 +f（x） 极小值f（1）因此 f（x）的单调递减区间为（0，1） ，而 f（x）的单调递增区间为（1，+ ）. （III）由（II）知，f（x）在 x=1 处取得极小值 f（1）=-3-c，此极小值也是最小值. 要使 f（x）-2c 2（x0）恒成立，只需-3-c-2c 2. 即 2c2-c-30，从而（2c-3） （c+1）0. 解得 c 或 c-1. 所以 c 的取值范围为（- ，-1 ，+ ）3322. 解：（I）f（x）的导函数为 f（x）=e x（a+ +lnx）+e x（ - ）1
12、12=ex（a+ - +lnx）. 21依题意，有 f（1）=e（a+1）=e，解得 a=0. （II）由 f（x）=e x（a+ - +lnx）及 ex0 知，f（x）与 a+ - +lnx 同号. 21xx21令 g（x）=a+ - +lnx，21则 g（x）= = . 3x321)(所以对任意 x （0,+ ） ，有 g（x）0，故 g（x）在（0，+ ）单调递增. 因为 a（0，ln2） ，所以 g（1）=a+l0，g（ ）=a+ln 0，21故存在 x0（ ，1） ，使得 g（x 0）=0. 2f（x）与 f（x）在区间（ ，1）上的情况如下：x （ ,x02x0 （x 0,1）- 6 -）f（x）- 0 +f（x） 极小值 所以 f（x）在区间（ ，x 0）上单调递减，在区间（x 0，1）上单调递增. 21所以 f（x）存在极小值 f（x 0）.
