1、育才教育 育才教育 育才教育第一章 函数概念121函数的表示法(1)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式比如，计划建成的京沪高速铁路总长约 1 305 km，设计时速 300350 km/h 建成后，若京沪高速铁路时速按 300 km/h 计算，火车行驶 x 时后，路程为 y km，则 y 是 x 的函数，可以用 y300 x 来表示，其中 y300x 叫做该函数的解析式(2)图象法以自变量 x 的值为横坐标，与之对应的函数值 y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点( x，f( x)，这些点组成的图形称为函数 f(x)的
2、图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比) 与天数之间的函数关系(3)列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量取的值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法【例 1D】已知函数 f(x)的定义域 A x|0x2 ，值域 B y|1y2 ，下列选项中，能表示 f(x)的图象的只可能是( )育才教育 育才教育 育才教育2分段函数(1)定义：有些函数在其定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式
3、，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段谈重点 学习分段函数两要点 (1)分段函数是一个函数，切不可把它看成几个函数分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是自变量 x 的不同取值范围的并集，值域是每段的函数值 y 的取值范围的并集常见的分段函数类型 举例含有绝对值符号的函数 f(x)| x1| 1.x 自定义函数 f(x) 22.x 取整函数 f(x)x (x表示不大于 x 的最大整数)符号函数 f(x)(1) x (x N)1. 为 数为 数
4、 【例 2B】下列给出的式子是分段函数的是 ( )f(x) 15.x f(x) 2.R f(x) 2315.x f(x) 0. A B C D谈重点 分段函数的判断 不能从形式上判断一个式子是否为分段函数，关键看其是否符合函数的定义【例 22】如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为_，值域为_育才教育 育才教育 育才教育【例 23】已知函数 f(x) 求 f(2)，f (3)的值20 解：20，f(2)2 2430，f(3)0点技巧 处理分段函数问题有技巧 (1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系；(2)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应
5、自变量取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集3映射(1)映射的定义一般地，设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射谈重点 对映射的理解 (1)映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的；(3)映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合 A 中元素的任意性和在集合 B
6、 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合 B 中存在元素在集合 A 中没有元素与之对应；(5)映射允许集合 A 中不同的元素在集合 B 中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一” ，不能是“一对多” (2)映射与函数的联系育才教育 育才教育 育才教育【例 32】已知集合 A1,2,3 ，9 ，BR，从集合 A 到集合 B 的映射 f：x1x(1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么？(2)与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是什么？49分析：已知对应关系，分别代入求值即可解：(1)A 中元素 1，即 x1，代入对应关系得 ，即与 A 中元素 1123x
7、相对应的 B 中的元素是 3(2)B 中元素 ，即 ，解得 x4，因此与 B 中元素 相对应的 A 中的元素49219x49是 44函数解析式的求法求函数的解析式的常用方法有：(1)代入法：如已知 f(x)x 21，求 f(xx 2)时，有 f(xx 2)(x 2x) 21(2)待定系数法：已知 f(x)的函数类型，要求 f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可例如，一次函数可以设为 f(x)kxb( k0) ；二次函数可以设为 f(x)ax 2bxc (a0)等(3)换元法：令 tg( x)，再求出 f(t)的解析式，然后用 x 代替 f(g(x)解析式中所有的 t 即可例如
8、，已知 f(x)2f(x )4x 2x，求 f(x)的解析式解：以x 代替 x 可得：f(x)2f(x) 4x 2x，联立方程组： 2()4ff 解得 f(x) x3【例 4】求下列函数的解析式(1)已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f(x)；(2)已知 f( 1)x ，求 f(x)；2(3)已知 f (x)x(x0) ，求 f(x)；12分析：(1)已知 f(x)是二次函数，可用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件求出待定系数即可；(2)可用换元法求解，令 1t ； (3)用 x 替换x，构造关于 f(x)与 的方程组，解方程组求出 f(x)；(
9、4)利用赋值法，令1x1xy0，求出 f(0)的值，再令 y0，求得 f(x)，也可令 x0，求出 f(y)，进而可得 f(x)解：(1)设所求的二次函数为 f(x)ax 2bxc (a0) ，f(0)1， c1，则 f(x)ax 2bx 1又f(x1)f(x)2x 对任意 x R 成立，育才教育 育才教育 育才教育a(x1) 2b(x1)1(ax 2bx1)2x，即 2axab2x由恒等式性质，得 0ab 1. 所求二次函数为 f(x)x 2x1(2)(方法一) 令 1t，则 t1，即 x(t1) 2，则 f(t)(t1) 22(t 1)t 21故 f(x)x 21(x1)(方法二) ( 1
10、) 2x 1，x ( 1) 21f( 1) ( 1) 21，其中 11xf(x)x 22，x1(3) f(x)x，将原式中的 x 替换为 ，得 2f(x) 1x于是得关于 f(x)与 的方程组112,(),ffxx解得 f(x) (x0)23点技巧 解含有两个变量的解析式的方法赋值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，可以根据函数特征来定5函数图象的作法(1)作函数图象的常用方法：描点法：描点法是作函数图象的基本方法根据函数解析式，列出函数中 x 与 y 的一些对应值的表，然后分别以它们为横、纵
11、坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象，即“列表描点连线” 利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象有：常数函数的图象。变换作图法。7函数图象的简单应用(1)由图象确定解析式重点：充分挖掘图形信息，也就是曲线的形状如何例如，若函数 yf( x)的图象如图所示，则其表达式 f(x)为_解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别在各区间内写出其函数表达式育才教育 育才教育 育才教育答案：f( x)3,2,01,4.x(2)利用函数的图象，求函数的值域或最值解决这类问题的关键在于能正确作出函数的图象例如，若 x R，f (x)是 y2x 2，yx 这两
12、个函数中的较小者，则 f(x)的最大值为( )A2 B1C1 D无最大值解析：由题目可获取的信息是：两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；f(x)是两个函数中的较小者解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出 f(x)的图象，再求其最大值在同一坐标系中画出函数 y2x 2，yx 的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数 f(x)的图象故 x1 时，f(x) max1，应选 B答案：B(4)研究函数图象的交点个数关键：是正确画出函数的图象，结合图象分析【例 71】已知函数 yf( x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象
13、，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为 ykxb(x1)点(1,1)，(0,2)在射线上， 解得12kb 12k 左侧射线对应的函数的解析式为 yx 2(x1)育才教育 育才教育 育才教育同理，x3 时，函数的解析式为 yx2(x3)再设抛物线对应的二次函数解析式为 ya(x 2) 2 2(1x3，a0)点(1,1)在抛物线上， a21，a11x3 时，函数的解析式为 yx 24x2(1x 3)综上可知，函数的解析式为 y(1)3). 点技巧 分段函数解析式的写法 如果所求的解析式是分段函数，则应综合在一起，写成分段形式，且各段的自变
14、量的取值范围写在各段后的括号内【例 72】如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中不正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：对于一个选择题而言，求出每一个图中水面的高度 h 和时间 t 之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两个图作定性分析，即充分利用数形结合对于第一个图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二个图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此高度变化趋势愈加平缓，正确；同理可分析第三个图、第四个图都是正确
15、的故只有第一个图不正确，因此选 A答案：A【例 73】设 x R，求函数 y2|x 1|3|x| 的值域分析：解：当 x1 时，y2(x1)3xx2当 0x1 时，y2(x1)3x5x2当 x0 时，y2(x1)3xx2因此 y150. 其图象如下图育才教育 育才教育 育才教育由图象可知，该函数的值域为(，28函数在生活中的应用(1)求实际问题中函数的解析式，其关键是充分利用已知条件建立关于变量 x，y 的等式确定函数的定义域时，除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还要考虑到它的实际意义和其他限制条件其解题步骤是：审题，弄清题意，恰当设未知数，分析变量及其取值范围；建立函数模型，将实际问题转化
16、为数学问题；解决数学问题即函数问题；将数学问题的结论还原为实际问题的结论【例 81】将长为 a 的铁丝折成矩形，其中一条边长为 x 时，矩形的面积为 y求：(1)y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；(2)如果矩形的面积为 ，那么矩形的两边长分别是多少？216解：(1)由于矩形一边长为 x，则另一边长为 (a2x)12则面积 y x2 2aa又0x 解得 0x ，2a即函数的定义域为 0,(2)令x2 ，解得 216ax4ax由于 0 ，则 (a 2x) 4故此时矩形的两边长都是 4a【例 82】某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地行驶到 260 km 远处的 B 地，在 B 地停留1.5 h 后，再以 65 km/h 的速度返回 A 地，试将汽车离开 A 地后行驶的路程 s 表示为时间 t的函数分析：因为行驶速度不一样，所以 s 与 t 的关系需用分段函数表示育才教育 育才教育 育才教育解：因为 260525(h)，260654(h)，所以，当 0t5 时，s 52t ；当 5t6.5 时，s260；当 6.5t10.5 时，s26065(t6.5)所以2056.()610.5tstt 辨误区 “先分后合”求分段函数的解析式 首先根据不同定义域写出相应的函数解析式，最后再合并因为分段函数是一个函数，而不是几个函数
