1、1第五课 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念1.无穷级数：无穷数列 的各项和(1,23)nu ,简称级数. 一般项.1nu 32 nu2. ,级数 收敛. 的和, 且有 1limlinkSS1nS1n.如果 没有极限 , 则称级数 发散.1nun1nu例 1 判别无穷级数 的敛散性 . )(321解: 由于 所以 )(nu,12nS 11()()23nn又因 ,1(limlin故级数 收敛, 且 .1u1)(1n提问 ：判断下列级数的敛散性1） ： ，nnn级数发散.1()S2） ：1lnll(1)l()nnuSn级数发散.二、几类特殊级数（结论当定理使用）2（1）调和
2、级数 发散. (注意 )1n 0limnu（2） 讨论等比级数(几何级数) 当 时收敛.0naq(1q（3）连续复利(时时刻刻在计息 ) 若以连续复利率 计息，将一笔 元的人民币从现在起存银行，t 年rP后的价值（将来值）为 rtBe若 t 年后得到 元的人民币，则现在需要存入银行的金额（现值）为rt二、无穷级数的基本性质【性质 1】 收敛 对任意的非负整数 ,有 收敛.num1nu(若级数收敛，则其每一个余项级数收敛，即级数中去掉或添加有限多项后不改变级数的敛散性.)【性质 2】 与 具有相同的敛散性( 为非零常数). 1nu1n例如 ，但 .2n52n【性质 3】若 与 分别收敛于 与 ,
3、 则 收敛，1u1vST1()nuv且 . .1()nvST1,23232nnn注意： 与 同时收敛时， 一定收敛.nu1n()nuv与 有一个发散时， 一定发散.1v1n【性质 4】若 收敛且 ,则将级数的项任意添加括号后所成1nuSn3的级数 收敛且 . 反之不然.（添加括号后所成的级数的1nSn1部分和数列是原级数部分和数列的子列，而数列收敛时其子列必收敛.）反之不然.例如 收 0)1()(敛,但 却是发散的！【推论】若添加括号后所成的级数发散，原级数必发散.【性质 5】若 收敛, 则 . 反之不然. 1nu0limnu(级数收敛的必要而非充分条件)例如 ：1ln1ll(1)ln()nn
4、S级数发散.但 .ii0u又如：级数 发散，但是 .1nlmlinu提 问 ： (87.2 是非题) 若级数 与 均发散,则级数1na1nb1)(nnba必发散.答 (非).例如 和 都发散,但 却是收敛的.1n)( 0)(1n提问：判断下列级数的敛散性:(1) 0.00.3解 ,而 , 该级数发散.nunnulimli (2) )2718()941()2(提示： 是公比为 收敛的几何级数, nn1 21是公比为 收敛的几何级数， v31279334所以原数收敛.且 .111233()2nuv(3) 级数 发散，因为 .)2n ()limli0nnu例 2(98.6) 设有两条抛物线 和 ,记
5、它们交xy12 12xy点的横坐标的绝对值为 ,na(1)求两条抛物线所围成的平面图形的面积 ;nS(2)求级数 的和.1nS解 由 和 得 ,由于图形xy21)(2nxy)1(na关于 轴对称,则 d2201()naSdnx413()()因此 ,413()nSan所以 .34)(limli11 knn特别注意：由 不能得出 收敛的结论.0linu1nu第二节 正项级数的审敛法5一、正项级数（各项 ）的 ，及其审敛法0nu1nu1.【定理 1】(基本定理): 正项级数 收敛 有界. 且此时nSSn说明：因 ,于是 ,可见 单调递增.0nu11nnuSn（注意：单调有界数列收敛）2.【定理 2】
6、(比较判别法): 设 与 均为正项级数, 且 1n1nv, ,则nvu21(1) 收敛 收敛; (2) 发散 发散.11nu1nu1n结论： 级数 收敛 .（此结论当定理使用）pp例 3 判断下列级数的敛性散.(1) 21n提示：因为 是发散的.21()nun21（2） .1()n提示： 收敛.()22nnnuv1()2n(3) .331(1)n提示： 为正项级数.10nunu6又 33 333322111n nun vn收敛.33221()n（4） .2()提示： 原级数收敛.22211(3)()n nnuv例 4 设 .（1）求 的值.（2）证明当40tanxd1(na）（常数）时，级数
7、收敛.1n（1）解 24 420 01ta(1)tantnaxdxdxn所以 11(lim()nnn） =（2）证明 因为 40taxd，210()nna且 时， 收敛，故原级数收敛.1n例 5 讨论级数 的敛散性.1(0)na解：1） 时由 且 收敛可得原级数收敛.anu1na72） 时由 且 发散可得原级数发散.1a12nnuan3） 时由 且 发散可得原级数发散.01结论：当通项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、P级数的敛散性非常熟悉.3.【定理 3】(比较判别法的极限形式): 设 与 均为正项级数,若 ，则
8、1nu1nvlvunlim(1)当 时, 与 有相同的敛散性；0l1n1n(2)当 时,若 收敛,则 也收敛；vu(3)当 时,若 发散,则 也发散.l1n1n注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，时， 0xsitarcsiartln(1)xxxxe， ，21cosn:0x a且 ）例 6 （1）判别级数 的敛散性.12)l(n解: ,212 02ln()lim()liim1tnntt且 是收敛的 级数（ ）21np8级数 收敛. .12)ln()12(p（2）判别级数 的敛散性.sin（3）讨论级数 的敛散性.1解：令 ，则 且 发散,nnuv1limlinnuv1n正项级
9、数 发散.1n例 7 判定级数 的敛散性.2(0)na解 （1）当 时， 发散.112n（2）当 时，令 ，anva2limli1nnuav收敛（ ），所以原级数 收敛.1nv0q21nn另解：令 , 收敛（ ），2nnuvaa01qa所以原级数 收敛.1nn（3）当 时，令 ，0v2limli1nnuva收敛（ ），所以原级数 收敛.1nvqa1n另解：令 , 收敛（ ），21nnuv01q9所以 原级数 收敛.21na综上所述 时 发散， 时 收敛.nn1a2na【结论】：当 时，级数的通项能与常用的等价无穷小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与无穷大
10、比较）以及已知级数的敛散性.4【定理 4】(比值判别法,达朗贝尔判别法 ): DAlembrt设 为正项级数,若 ,则 1nunu1lim(1) 时, 级数 收敛；1n(2) 或 时, 级数 发散；1n(3) 时, 级数 可能收敛也可能发散.1nu例 8（ 1） (88.3) 讨论级数 的敛散性.1)!(n解 由 112 2limli lim()()()!nn nu1()nn e1n知原级数收敛.（2）讨论级数 的敛散性.1n！解 令 ， 发散.1,limli()1nnnuu e由 于！n！10(3) 判断级数 的敛散性.12!()nn解 令 ，由比值判别法知nu112()!2limli li
11、m1()nn nne故级数 收敛.12!()nn(4)3si解 该级数的一般项 ，nnu3si2且 1si3n 时 ， ， 所以 ,111si2limlilim32nnnu故 原级数收敛.【结论】：对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻一项比值极限判定.但注意极限与 1 比较大小.但必须注意：比值判别法对 级数失效.p5【定理 5】(根式（柯西）判别法): 设 为正项级数, 若1nu11，则(1) 时, 级数 收敛；(2) 或 时,nulim11nu1级数 发散；(3) 时, 级数 可能收敛也可能发散.1n【结论】：对通
12、项的指数为与 n 次幂相关的级数可以考虑用根植判别法.例 9 判别下列级数的敛散性（1）2()3nn解 令 ，因为 ，21()nnu 21()limli3nnneu所以 级数 收敛.21()3n（2） ()n解 令 ，因为1nu，1limli()lim22nnn所以 级数 收敛.1n（3） .12)(nn解 由于 , 所以级数发散.122| eu例 10 设 ，并且级数 与 都收敛，(,)nncv 1nu1nv12证明 级数 收敛.1nc证明 设 ,(1,2)nwvutc则 即级数 与 都是正项级数.0nt11t 级数 与 都收敛，级数 收敛，1nnv1nw从而由正项级数比较判别法知级数 也收
13、敛；nt故 收敛.11nncvt第三节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛一、交错级数形如 或1()nu nuu1432)( 的级数称为交错级数.1nn n)1(1其中 , （ ）.0,【定理 1】(莱布尼茨定理): 设 为交错级数 , 若满足1()nnu(1) ,（ ）； (2) , 则 收nu,20lim1)(nnu敛, 且级数和 ,其余项 的绝对值 .1Snr|nr二、绝对收敛与条件收敛【定理 2】 若 收敛 ，则 收敛. （ 反之不然.）1|nu1nu13【定义】(1)若 收敛；则 级数 收敛且绝对收敛.1|nu1nu(2)级数 收敛，但 发散, 则 收敛且条件收敛.1|nn例如: 级数
14、绝对收敛, 而级数 条件收敛.12)(n 1)(n2【定理 3】:如果任意项级数 满足条21nnuu 件 或 ,则 (1) 若 ,级数nu1limn|li1n收敛，且绝对收敛. (2) 若 ,级数 发散.1nu例 11 判断下列级数的敛散性（1） 2)(sina提示： 原级数收敛且绝对收敛.2i1n(2) 1()n提示： 221()()nun原级数收敛且绝对收敛.（3）1s3ni提示： ，1inu1lim(sin)31nu时14收敛 原级数绝对收敛.（更为简单的方法是什么？）1nu(4) ：2sinx 112,limlinnnvuu正项级数 收敛 收敛.12n收 敛 1n21snx例 12 (
15、88.3) 设级数 与 均收敛,求证（1） 绝对收2na2nb1nba敛.（2） 收敛.（3） 收敛.1()nb1n证 （1） 因为 ,而级数 与 均收敛,)(22nna12na12nb所以 收敛,由正项级数的比较判别法知 收敛,)(12nb n故 收敛且绝对收敛.a（2）因为级数 与 均收敛,又由（1）知 收敛，12n2nb1nba又由 得()nba收敛.2221111nna（3）由于 ，20()n级数 与 均收敛 收敛.12na21n21()na15再由正项级数的比较法得 级数 收敛 .1na提 问 （ 1） (94.3) 设常数 ,而级数 收敛,02n则级数 （ ）12)(nna(A)发
16、散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 有关分析：因为,2222211()()nnnnaaa而由题设知 收敛,又 也收敛, 则原级数收敛且绝对收敛. 1n21n答 (C).（ 2） (03.4) 设 则下列命题,21, naqapnn正确的是 （ ） (A)若 条件收敛,则 与 都收敛 1n1np1n(B)若 绝对收敛,则 与 都收敛aq(C)若 条件收敛,则 与 的敛散性都不定. 1n1np1n(D)若 绝对收敛,则 与 的敛散性都不定.aq说明：若 绝对收敛,则 ， 都收敛,所以 ，1n1na1n1np1nq都收敛.答案 (B)（ 3） (96.3) 下述各选项正确的是（ ）1
17、6(A)若 与 都收敛,则 收敛 .12nu12nv12)(nnvu(B)若 收敛,则 与 都收敛 .12n(C)若正项级数 发散,则 . u(D)若级数 收敛,且 ,则级数 也收敛. 1n )2(vn1nv答 由于 ,并由题)()(0 22nn u设知 与 都收敛,则 收敛,从而12nu12v)(21n12)(nn收敛.答案 (A).（ 4） (91.3) 设 ,则下列级数中肯定收敛的是)(0an(A) (B) (C) (D)1n1)n1na12)(nna答 (D).由 知 ,而 收敛,则 收敛,a0221n所以 收敛,故选(D) 12)(nn（ 5） (06.4) 若级数 收敛,则级数(
18、) 1na(A) 收敛 (B) 收敛1n 1(nna(C) 收敛 (D) 收敛a12答 (D).因为由 收敛可知 收敛,所以 收敛.1n1na11nn17（6）(04.4) 设有下列命题: 1) 若 收敛,则 收敛；12)(nnu1nu2) 若 收敛,则 收敛；10n3) 若 ,则 发散；limnu4) 若 收敛,则 , 都收敛.1)(v1nunv则以上命题中正确的是(A) (1)(2) (B) (2)(3) (C) (3)(4) (D) (1)(4)答 如 , 收敛 (1)错误; (2)正确; nu)(0)(12nn不趋向于零(n ) (3)正确; 1limnvun1,收敛 (4)错误.故选(B).0)(1nnvu（ 7） (05.4) 设 若 发散, 收敛,则下列,21,a1na1)(nna结论正确的是（ ） (A) 收敛 , 发散 (B) 收敛, 发散12n12n12n12n(C) 收敛 (D) 收敛)(a)(a答令 = ,则 = ,由此知只有(D)是正确的.1n1(nn1)(n（利用莱布尼兹判别法作且注意 条件收敛）nna
