第七章：无穷级数.doc

1、353第七章：无穷级数本章重点是判断数项级数的敛散性，幂级数与傅里叶级数的展开与求和7.1 数项级数本节重点是级数的性质，正项级数的几个判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，任意项级数绝对收敛与条件收敛 常考知识点精讲一、数项级数的概念1数项级数定义定义：设 是一个数列，则称表达式nu12nnuu 为一个数项级数，简称级数，其中第 项 称为级数的通项或一般项， 称为级n 1nkSu数的前 项部分和n2级数收敛的定义定义：若数项级数 的部分和数列 有极限，则称级数 收敛，极限值1nunS1nu称为此级数的和当 不存在时，则称级数 发散limnSlimn1n利用级数收敛的定义，易知当 时，几何级数 收

2、敛，和为 ；当 ，1q1nq1q几何级数发散例 1.1 判断下列级数的敛散性 1()n1()nn解：由于 123()nS1()nn所以 ，故级数 收敛1limlinS1()n 由于 (2)(32) 1n n354所以 ，故级数 发散limnS1()nn二、级数的基本性质及收敛的必要条件1设 都收敛，和分别为 ，则 必收敛，且 ；1,nuv ,ab1()nuv1()nuvab评注：若 收敛， 发散，则 必发散；若 都发散，则1n1nv1()nv1,nv可能发散也可能收敛1()nuv2设 为非零常数，则级数 与 有相同的敛散性；k1nu1nk3改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性；4级数收敛的必

3、要条件：如果 收敛，则 ；1nlim0nu5收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散例 1.2 判断下列级数的敛散性 1120420n 1(2)n解：由于 收敛， 发散，所以 发散，1n1n1()20n由性质 5 的“注”可知级数 发散；204n 由于 ，不满足级数收敛的必要条件，所以级数()lim1n发散1(2)n三、正项级数及其敛散性判别法各项为非负（ ）的级数 称为正项级数0nu1nu1正项级数收敛的基本定理355定理：设 是正项级数 的部分和数列，则正项级数 收敛的充要条件是数列nS1nu1nu有界n当

4、 时， 级数 收敛；当 时， 级数发散 （ 时的 级数也叫1p1pn1p1p调和级数）2正项级数的比较判别法定理：（正项级数比较判别法的非极限形式）设 都是正项级数，并设 ，则1,nuv0,()nuvN 若 收敛，则 收敛；1n1n 若 发散，则 发散1nu1nv定理：（正项级数比较判别法的极限形式）设 都是正项级数，并设 或为 ，则1,nvlimnuv 当 为非零常数时，级数 有相同的敛散性；1,n 当 时，若 收敛，则必有 收敛；01nv1nu 当 时，若 发散，则必有 发散1n1n评注：用比较判别法的比较对象常取 级数与等比级数及 p21lnp时 ， 收 敛时 ， 发 散3正项级数的比值

5、判别法定理：设 是正项级数，若 或为 ，则级数 有1nu1limnu1nu 当 时，收敛； 当 或 时，发散；356 当 时，敛散性不确定1评注： 若 ，则级数 必发散；nu(1,2) 1nu 如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性； 当 1 或不存在（但不为 ） ，则比值判别法失效limnu4正项级数的根值判别法将比值判别法中的 改成 ，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法1nnu5利用通项关于无穷小 的阶判定正项级数的敛散性定理：设 是正项级数， 为 的 阶无穷小，则当 时，正项级数1nunu1()k1k收敛；当 时，正项级数 发散1nk1n例 1.3 判断下

6、列级数的敛散性 1n213n1(ln)n21()n解： 由于 ，而级数 发散，故原级数发散；1limlinn1n 由于 ，所以由比值判别法可得，原级数收敛；211()3lilinnu 由于 ，所以由根值判别法可知，原级数收limli01()()nn敛； 由于 为 的 阶无穷小，所以原级数收敛2(1)n()32四、交错级数及其敛散性判别法1交错级数定义定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如3571234() ,(0)n nuu的级数，称为交错级数2交错级数的莱布尼兹判别法定理：若交错级数 满足条件1(),(0)nu ； 1(,2nu ，lim0则交错级数 收敛，其和 其余项 满足 1()

7、,(0)nu1SunS1nu五、任意项级数及其绝对收敛若级数 的各项为任意实数，则称它为任意项级数1n1条件收敛、绝对收敛 若 收敛，则称 绝对收敛；若 发散但 收敛，则称 条件收1nu1nu1nu1n1nu敛评注：绝对收敛的级数不因改变各项的位置而改变其敛散性与其和2任意项级数的判别法定理：若级数 收敛，则级数 收敛即绝对收敛的级数一定收敛1nu1nu例 1.4 判断下列级数是否收敛？若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛 1()3n 1()ln()n解： 记 1nnu因为 113limlinn所以级数 收敛，故原级数收敛且为绝对收敛；1nu 记 1()l()nn358由于 ，而 发散，所以级数

8、 发散1nu1n1nu又 是一交错级数， ，且 ，由莱布尼兹定1n 0()l()nu1nu理知，原级数收敛，故原级数条件收敛 常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解例 7.1.1 已知 ， ，则级数 的和等于_.1()2na215n1na解：由于 ，所以根据级数的性质可得 1()n 21()n从而 2122135()nnnaa因此 211()538nn例 7.1.2 设 ，则下列级数中肯定收敛的是0nu（A） ； （B） ； （C） ； （D） 1n1()nu1nu21()nu解：取 ，则 ，此时（A ） 与（C） 都发散；nu0n1n1n若取 ，则 ，此时（B） 发散；1()2nn1nu

9、11()2nu由排除法可得应选（D） 事实上，若 ，则 ，根据“比较判别法”得 收敛从而0n20n21nu收敛，故应选（D ） 21()nu例 7.1.3 已知级数 发散，则21()nu359（A） 一定收敛， （B） 一定发散1nu1nu（C） 不一定收敛 （D）1n lim0n解：假设 收敛，则根据级数敛散的性质，不改变各项的次序加括号后得到的新级数1nu仍然收敛，即 也收敛这与已知矛盾，故 一定发散应选（B） 21()n1nu例 7.1.4 设正项级数 的部分和为 ，又 ，已知级数 收敛，则级数1nunSnv1nv必1nu（A）收敛 （B）发散 （C）敛散性不定 （D）可能收敛也可能发散

10、解：由于级数 收敛，所以根据收敛的必要条件可得 ，又 ，所以1nvlim0nv1nS，故级数 发散，故应选（B） limnS1nu例 7.1.5 设有命题（1） 若 收敛，则 收敛；1na21na（2）若 为正项级数，且 ，则 收敛；1n(1,2)n 1na（3）若存在极限 ，且 收敛，则 收敛；lim0nulv1nv1nu（4）若 ，又 与 都收敛，则 收敛(,23)nnw 1n1nw1nu则上述命题中正确的个数为（A） （B ） （C） （D）1 34解：关于命题（1） ，令 ，则 收敛，但 发散，所以不正确；()nna1na211na360关于命题（2） ，令 ，则 为正项级数，且 ，但

11、 发1na1na1(,2)na 1na散，所以不正确；关于命题（3） ，令 ，则在极限 ，且()(),nnnnuvlim0nulv收敛，但 发散，所以不正确；1nv1n关于命题（4） ，因为 ，所以 ，因为(1,23)nnwuv 0nnuwv与 都收敛，所以由“比较判别法”知 收敛，故 收敛故应1nv1n 1()n1nu选（A） 二、正项级数敛散性的判定正项级数 判别敛散的思路：首先考察 （若不为零，则级数发散；若等1nulimnu于零，需进一步判定） ；根据一般项的特点选择相应的判别法判定评注： 若一般项中含有阶乘或者 的乘积形式，通常选用比值判别法：n 若一般项中含有以 为指数幂的因式，通

12、常采用根值判别法： 若一般项中含有形如 （ 为实数）的因式，通常采用比较判别法 如果以上方法还行不通时，则可考虑用敛散的定义判定例 7.1.6 判断下列级数的敛散性（1） （2） （3）2sin1!n21()nn（4） （5） （6）312ln 21nn321()n解：（1）用比值法，2211()si()limlimnnnn所以原级数收敛（2）用比值法361，1()!22limli1()nnnn e所以原级数收敛（3）用根值法，2(1)(1)lili2nnn e所以原级数发散（4）用比较法取 ，因为 ，而 收敛，541nv14lnlimi0nuv514n所以原级数收敛（5）用比较法 取 ，因为

13、 ，而 发散，1nv2lili1nuvn1n所以原级数发散（6）由于 ，故由级数收敛的必要条件知原级数发散32lim10()n评注：在考研题中遇到该类问题应先看当 时，级数的通项 是否趋向于零（如nnu果不易看出，可跳过这一步） ，若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则再看级数是否为几何级数或 级数，因为这两种级数的敛散性已知如果不是几何级数或 级数，则用p p比值判别法进行判定，如果比值判别法失效，则再用比较判别法进行判定常用来做比较的级数主要有几何级数、 级数等p例 7.1.7 判断下列级数的敛散性（1） （2）(sin)n1(ln)n分析：用比值判别法失效，用比较判别法不易找到用来作比较的

14、级数，此时一般利用通项关于无穷小 的阶判定正项级数的敛散性解：（1）考查 sinlim1()nk换成连续变量 ，再用罗必达法则，x362211000()sin()cos()limlilimkkkxx x 取 ，上述极限值为 3k316所以原级数与 同敛散，故原级数收敛31n（2）考查 l()limnkn换成连续变量 ，再用罗必达法则，x12000ln(1) 1lilimli()kkkxxxx取 ，上述极限值为 2k2所以原级数与 同敛散，故原级数收敛1n例 7.1.8 研究下列级数的敛散性（1） （ 是常数） ； （2） ，这里 为任意实数， 为非负实!na01n数分析：此例中两个级数的通项都

15、含有参数一般说来，级数的敛散性与这些参数的取值有关对这种情况通常由比值判别法进行讨论解：（1）记 ，由比值判别法可得!nau11()!limlilim1()nnn naae显然，当 时，级数收敛；当 时，级数发散；aee当 时，由于 ，所以 ，故级数发散1()!1()nnnuli0nu（2）记 ，由比值判别法可得nn36311()limlilim()nnu显然，当 ， 为任意实数时，级数收敛；当 时， 为任意实数时，级数发01散；当 时，比值判别法失效这时 ，由 级数的敛散性知，当 时，1nup1级数收敛；当 时，级数发散例 7.1.9 判别下列级数的敛散性（1） （2）140nxd 1nxe

16、d分析：此例两个级数的通项都是由积分给出的正项级数如果能把积分求出来，再判定其敛散性，这样做固然可以，但一般工作量较大常用的方法是利用积分的性质对积分进行估值估值要适当：若放大则不等式右端应是某收敛的正项级数的通项；若缩小，则不等式左端应是某发散的正项级数的通项解：（1）因为 时， ，所以10xn41xn13240()dx由于级数 收敛，所以原级数收敛321()n（2）因为函数 在区间 上单减，所以xe,1n0nx nedex由于 ，又因为级数 收敛，所以原级数收敛22limli1nne21n三、交错级数判定敛散判别交错级数 敛散性的方法：1(),0)nu法一：利用莱布尼兹定理；法二：判定通项

17、取绝对值所成的正项级数的敛散性，若收敛则原级数绝对收敛；法三：将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数都收敛则原级数收敛；若一收敛另一发散，则原级数发散；法四：将级数并项，若并项后的级数发散，则原级数发散评注：法二、法三和法四适应于 不单调减少或判定单调很困难的交错级数nu364例 7.1.10 判定下列级数的敛散性（1） （2）1()lnn(1)nn（3） （4）1234 201si46()nn解：（1）该级数是交错级数，显然 lim0nn令 ，则 ，所以 单调减少()lnfx21(),()l)xf1ln由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛（2）不难得到数列 不单调而1()n，()(1)11n

18、nn显然，级数 发散；2n又级数 是交错级数，显然满足 ，2(1)n lim01n令 ，则 ，所以 单调减少，由莱布尼2(),()xf2()xfn兹判别法可得，级数 收敛2(1)n故由级数敛散的性质可得，原级数发散（3）不难得到 不单调，但有nu111()()()234n即加括号后得到的新级数发散，利用级数的性质可知，原级数发散（4）显然判定数列 的单调性很麻烦20sin46但 ，而由比值判别法易得到级数 收敛，所以级数20inn12n365收敛201sin46从而原级数收敛，且绝对收敛四、判定任意项级数的敛散性对任意项级数 ，主要研究它绝对收敛性和条件收敛性解题的一般思路：先看1nu当 时，

19、级数的通项 是否趋向于零，若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则nn按正项级数敛散性的判别法，判定 是否收敛，若收敛，则级数 绝对收敛；若1nu1nu发散，则若上述发散是由正项级数的比值判别法或根值判别法得到，则原级数发散；若是由比较判别法判定的，此时应利用交错级数莱布尼兹判别法或级数敛散的性质判定是否收敛（若收敛则为条件收敛） 1nu例 7.1.11 讨论下列级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，说明理由（1） 为常数； （2） ；2si,n (1)sinnxd（3） 111(0)345678aaaaa解：（1） ，由于当2sinsin()()sinu充分大时， 保持定号，所以级数

20、从某项起以后为一交错级数ni()当 不是整数时，不论 取何值，总有 ，limlisn()sin0nu故级数发散；当 是整数时，有 ，因而 ，由于(1)sinnusinulim1nu所以利用比较判别法的极限形式可得，当 时级数 发散，又因为01n总是非增的趋于零，故由交错级数的“莱布尼兹判别法”知，级数 收sinu 1nu敛，且为条件收敛；当 时，级数显然收敛，且绝对收敛0366（2）由于 (1) 00sin(1)sinsin(1)xntttddd 所以原级数为交错级数先判定级数 的敛散性(1) 01sisinnxt由于当 时， ，所以 0xiiittt02sin2tdn由于级数 发散，所以级数

21、 发散12n(1) 01siinnxtd因为原级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的条件，因此级数为条件收敛 （3）这是任意项级数考虑每三项加一括号所成的级数11( )3231nana2196()()n此级数的通项是 的有理式，且分子的次数仅比分母的次数低一次，用比较判别法知它是发散的，由级数的基本性质可得，原级数发散五、关于数项级数敛散性的证明题证明某个未给出通项具体表达式的级数收敛或发散这类题，一般用级数收敛的定义、比较判别法或级数的基本性质例 7.1.12 证明：如果级数 与 收敛，且 ，则级数1na1nb(1,2)nnacb也收敛1nc证明：由 可得， ；nnab0nncab由级数收敛

22、的基本性质可得 收敛，故由正项级数的比较判别法可得1()n收敛1()nca又由于 ，所以级数 收敛1()nnnca1nc例 7.1.13 设 ，证明112,()nna(,2)367（） 存在 ； limna（）级数 收敛1()n证明：（）由于 ，所以根据均值不等式可得1()2nnaa1()12nnaa故数列 有下界n又因为 ，所以 单调不增，从而由单调有界准211()()2nnnaana则可知， 存在limn（）由（）可知， ，所以级数 是正项级数10na1()na又因为 ，11nnna而正项级数 的前 项和11()n111()limnknnSaaa所以正项级数 是收敛的，由比较判别法知，原级

23、数收敛11()n例 7.1.14 设 在点 的某一邻域内有连续二阶导数，且 ，证明级fx00()lixf数绝对收敛1()nf分析：已知条件中出现高阶导数，可考虑使用泰勒公式完成证明：由于 在点 连续，且 ，所以可得 ()fx00()limxf(0),()0ff将 在点 展开成一阶泰勒公式，有f221()()()()!fxffxfx由于 在点 的某一邻域内连续，故存在 ，使得在 的某小邻域内()f00M0368，从而()fxM（当 充分大时）21()fnn由比较判别法可知，级数 绝对收敛1()nf例 7.1.15 若 满足：在区间 上单增； ； 存在，()fx0,)lim()xfA()fx且 证

24、明()0fx（） 收敛 ； 1)(nffn（） 收敛1()nf证明：（）由于 ，1()(1)(nkSffkfnf所以 ，从而级数 收敛limli()nfA 1()(nffn（）由于 存在，且 ，所以函数 单调不增又因为 在fx()0fxfx ()fx区间 上单增，所以必有 ，即级数 是正项级数0,)f1()nf根据拉格朗日中值定理可得 ，()(,1nfnf所以 1f由（）可知 收敛，所以根据正项级数的比较判别法知，级数 收敛，1()nf1()nf再根据级数收敛的性质可得级数 收敛1()nf六、其它例 7.1.16 设正项数列 单调减少，且 发散，判定级数 的敛散na1()na1()nna性36

25、9解：正项数列 单调减少，由单调有界准则可得， 存在，记为 （ ） nalimnaa0因为级数 是交错级数，若 ，由莱布尼兹判别法可知，该级数收1()nnli0n敛但题设该级数发散，所以必定有 ，于是a1lim()linnn由根值判别法知，级数 收敛1()nna例 7.1.17 讨论级数 在哪些 处收敛？在哪些12342()xxxn x处发散？x解： 当 时，原级数为 ，这是交错级数，且满足“莱布尼1156兹判别法”的条件，故收敛； 当 时，x2 11()()3223n xxxSnn 当 时， ， n1当 时， 趋向定常数，()2xxx故 发散，从而原级数发散； limnS 当 时，1x211

26、1()()()3452)nxxxSn由于 ，所以上式中第一项以后的各项都为负的考察级数 ，由于1(2)1xn，1lim/(2)(2)xxnn所以根据正项级数的“比较判别法”的极限形式知，级数 发散1(2)1xn从而 ，即原级数发散21linS综上所述，当 时，级数收敛；当 时，级数发散x1x370例 7.1.18 已知 ，判定级数 的敛散性11,cosnnaa1na分析：该级数的通项以递推公式给出，这给级数类型的判定以及通项 是否收敛于零带来na困难不妨先假设级数通项 ，再看由递推公式两端取极限时能否导出矛0()na盾一旦产生矛盾，便可确定级数发散解：若 ，则 这与假设矛盾因此 ，原级数lim

27、0na1lilimcos1nnlim0na发散例 7.1.19 设 为常数， ，讨论级数 的敛散性a1na解：由于存在 ，因此想到分 讨论n,当 时，由于 ，所以 ，级数发散；1alim0nali01nna当 时， = ，所以 ，级数发散；n122当 时，由于 ，所以级数1a 111lililim1nnnn aaa收敛，故级数 收敛且绝对收敛1nn1n例 7.1.20 已知 ，对于 ，设曲线 上点 处的切线与 轴交1a,2 21yx2(,)nax点的横坐标是 1n（）求 ；,23,a（）设 是以 ， 和 为顶点的三角形的面积，求级数 的和nS(,0)n21(,)na1(,0)n 1nS解：（）

28、曲线 上点 处的切线方程为2yx2(,)n231()nnYXaa371从而 ，从而13(,2)nna 113()()2nna（）由题意 112 2( ()43nnnnaS 所以 11 3()434nn7.2 幂级数本节重点是求幂级数的收敛域、求幂级数的和函数、将函数展开成幂级数 常考知识点精讲一、函数项级数的概念1函数项级数的定义定义：设函数 都在 上有定义，则称表达式()1,23)nux D121()nxux为定义在 上的一个函数项级数， 称为通项， 称为部分和函数D()n 1()()nkSux2收敛域定义：设 是定义在 上的一个函数项级数， ，若数项级数 收敛，1()nux 0xD01()

29、nx则称 是 的一个收敛点所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域01()n3和函数 定义：设函数项级数 的收敛域为 ，则任给 ，存在唯一的实数 ，使得1()nuxIxI()Sx成立定义域为 的函数 称为级数 的和函数1()()nSxI()S1()nu评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法二、幂级数1幂级数的定义372定义：设 是一实数列，则称形如 的函数项级数为 处(0,12)na 00()nnax0x的幂级数时的幂级数为 0x0nax2阿贝尔定理定理：对幂级数 有如下的结论：00()nnx 如果该幂级数在点 收敛，则对满足 的一切的 对应的级数1010xxx都

30、绝对收敛；00()nnax 如果该幂级数在点 发散，则对满足 的一切的 对应的级数2x020xxx都发散00()nnax例 2.1 若幂级数 在 处收敛，问此级数在 处是否收敛，若收敛，0(2)nnax14x是绝对收敛还是条件收敛？解：由阿贝尔定理知，幂级数 在 处收敛，则对一切适合不等式0()nnx（即 ）的 该级数都绝对收敛故所给级数在 处收敛213x15 4x且绝对收敛三、幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数 不是仅在 处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必00()nnax0x定存在一个正数 ，它具有下述性质：R 当 时， 绝对收敛；0x00()nnx 当 时， 发散000()nna如果幂级

31、数 仅在 处收敛，定义 ；如果幂级数 在00()nnx0x0R00()nnax373内收敛，则定义 (,)R则称上述 为幂级数 的收敛半径称开区间 为幂级数R00()nnax0(,)xR的收敛区间00()nnax四、幂级数收敛半径的求法求幂级数 的收敛半径00()nnxR法一： 求极限1100()()limnnax 令 00x则收敛半径为 ；R法二：若 满足 ，则 ；na1lina法三； 求极限 00()lim()nnxx 令 01则收敛半径为 R例 2.2 求下列幂级数的收敛域 12!nx1(5)nnx21nnx解： 收敛半径 ，112()!limli!nnnaR所以收敛域为 ；(,) 收敛

32、半径 1lili1nan当 时，对应级数为 这是收敛的交错级数，51x1()n当 时，对应级数为 这是发散的 级数，1nP374于是该幂级数收敛域为 ；4,6) 由于2212()lim()nnn xxx令 ，可得 ，所以收敛半径为1R当 时，对应的级数为 ，此级数发散，2x12n于是原幂级数的收敛域为 (,)五、幂级数的性质设幂级数 收敛半径为 ； 收敛半径为 ，则00()nnax 1R00()nnbx2R1 ，收敛半径 ；0000()()()nnnn nba12min(,)2 ，收敛半径 ；00 00 01()()()(nn nnninaxxbx 12i(,)R3幂级数 的和函数 在其收敛域

33、 上连续；00()nnx()SxI4幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为 即有R1000001()()()()nnnnnnSxaxaxax 5幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为 即有00 0 100 00()()()()xx xnn nnn nSdadadxax例 2.3 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 1()nx41()nx解： 令 ，则1()()nSx3751001()()xxnnxSddx所以 ；221(),()x 令 ，则41(nSx414()1nnxx所以42200()()1xxSddx， 1

34、lnarctn(1)x六、函数展开成幂级数1函数展开成幂级数的定义定义：设函数 在区间 上有定义， ，若存在幂级数 ，使得()fxI0xI00()nnax00()(),nnfaI则称 在区间 上能展开成 处的幂级数()fxIx2展开形式的唯一性定理：若函数 在区间 上能展开成 处的幂级数()fI000(),nnfxaxI则其展开式是唯一的，且()0,12)!nf七、泰勒级数与麦克劳林级数1泰勒级数与麦克劳林级数的定义定义：如果 在 的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数()fx0() ()0000000 () )!1!n nn nfxfxf 376为函数 在 点的泰勒级数()fx0当 时，称幂

35、级数0() ()0(0)0!1!n nfffxxx 为函数 的麦克劳林级数()fx2函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数 在 处的泰勒级数在 上收敛到 的充分必要条件是： 在()f0II()fx()fx处的泰勒公式0x()00()()!knknfxfxRx的余项 在 上收敛到零，即对任意的 ，都有 ()nRxI Ilim0n八、函数展开成幂级数的方法1直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法2间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法所用的运算主要是四则运算、 （逐项）积分、

36、（逐项）求导、变量代换利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式幂级数常用的七个展开式 0,(,)!nxex210si(),(,)!nnx20co(,(,)!nnxx10l(1)(,1nn x2)()2(1),(1,)! !nxx xn 01,(1,)n37701(),(1,)nxx 常考题型及其解法与技巧一、阿贝尔定理的应用例 7.2.1 设幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 在下列点处必收敛0nax 1(3)nnax（A） （B）2,34e 12,0e（C） （D）1,5 ,345,解：由于 与 有相同的收敛半径，所以当 的时候对应的级数0nax1(3)n2x都绝对收敛，显然集

37、合 中的点都满足不等式 ，故选1(3)nn2,4e3（A）例 7.2.2 如级数 在 处收敛，问级数 在 处敛散性怎样？0nax 01()2nnax解：由阿贝尔定理，对一切 的 值，级数 绝对收敛，从而级数2x0n满足：对一切 的 值，级数 绝对收敛现01()2nnax101()2nnax显然不满足 ，故级数 在 处敛散性不确定2x0()nnx例 7.2.3 设 收敛，则1()na1na（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）不定解：考查幂级数 ，由于 收敛，所以幂级数 在 点收敛，1nx1()2n1nax2根据阿贝尔定理当 时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当 时，对应的幂级数237

38、8绝对收敛，而此时对应级数为 所以应选（B）1na例 7.2.4 设幂级数 在 处条件收敛，则该幂级数的收敛半径1()nnx3为 _解：由于 在 处条件收敛，由阿贝尔定理得，当 时级数1()nnax314x绝对收敛所以收敛半径 ；1()n4R假设 由收敛半径的定义知 时，对应的级数都绝对收敛，所以级数在4R1x处应绝对收敛，矛盾所以 3x因此收敛半径 二、收敛半径、收敛区间、收敛域求幂级数收敛半径的方法我们在常考知识点中介绍过，如果幂级数中的幂次是按自然数顺序依次递增的，这时幂级数 的收敛半径的计算公式00()nnax1limnR如果幂级数中的幂次不是按自然数顺序依次递增的（如缺少奇数次幂或缺

39、偶次幂等） ，这时不能用上面的公式计算收敛半径，而必须使用正项级数的比值判别法或根值判别法（即常考知识点中介绍的法一与法三）求出幂级数的收敛半径设幂级数 的收敛半径为 为了求幂级数的收敛域还需判别在00()nnaxRx与 处级数 的敛散性0xR000()nnx例 7.2.5 求下列幂级数的收敛半径和收敛域（1） （2） （3）!()nne 231n211()3()nnx（4） （5） 21()nnx4(1)1(!nn解：（1）此级数 的幂次是按自然数顺序依次递增的，其收敛半径可直接按公式计算：e37911!()limlilim()!nnnnaRe在 处，级数成为 ，由 例 7.1.8中的（1）

40、可知该级数发散；2xe1!()nne在 处，级数成为 ，可判定发散01!()nn故原级数的收敛域为 (,2)e（2）此级数的收敛半径也可按公式计算：23321(1)limlinanR在 处，级数成为 ，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故收敛；1x231()nn在 处，级数成为 ，由于 ，而级数 发散，故级数x231n23lim1n1n发散231n因此所给级数的收敛域为 1,)（3）此级数缺少 的偶次幂故需利用比值判别法求收敛半径x232112()()()lim3nnnxx令 可得， ，故收敛半径为 ()1xxR在 处，级数成为 ，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故313()2n收敛

41、；在 处，级数成为 ，这是交错级数，满足莱布尼兹定理的条件，故x1()n收敛因此所给级数的收敛域为 3,（4）此级数缺少 的奇次幂故需利用比值判别法求收敛半径x380222(1)()lim(1)nnnxx x令 可得， ，故收敛半径为 ()1xR在 处，级数成为 ，该级数显然收敛；1(2)n在 处，级数成为 ，该级数收敛1x1()n因此所给级数的收敛域为 ,（5）此级数中的 的幂次不是按自然顺依次递增的故需用比值判别法求收敛半径x4 414()(1)!()lim0!nnnxx令 可得， ，故收敛半径为 ()1x,)xR于是幂级数的收敛域为 (例 7.2.6 求幂级数 的收敛域21)(,0)nnabx解：设幂级数 ， 的收敛半径分别为 ，则1n21n 12,R， 因此幂级数的收敛半径为 1Ra2b121min(,)in(,)ab（1） 若 ，则 Ra在 ，级数为 收敛；xa211()()nnnba