1、 1 页第六章 无穷级数6. 5 将初等函数展开为幂级数一、 知识结构1、泰勒级数2、将函数展开成幂级数二、 考试大纲要求1、熟记 、 、 、 ， 的麦克劳林公式。xesinxco1)ln(x2、会用上述五个麦克劳林公式将一些简单的初等函数展开为 或 的幂级数。x0一、泰勒级数要解决的问题 给定函数 f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数 f(x) 如果能找到这样的幂级数 我们就说 函数 f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数 f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数 f(x)
2、 1、泰勒级数 如果 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数 f(x) f(x) f (n)(x) 则当 n时 f(x)在点 x0的泰勒级数 )(!3)(!2)( 30200 fxff !)00( nnx这一幂级数称为函数 f(x)的泰勒级数 显然 当 xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于 f(x0) 需回答的问题 除了 xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛 ? 如果收敛 它是否一定收敛于 f(x)? 2、收敛定理定理 设函数 f(x)在点 x0的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数 则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 Rn(x)当 n0 时的极限
3、为零 即 0)(lim0URn3、麦克劳林级数：在泰勒级数中取 x00 得2 页 !)0( !2)0()0( nxfxff此级数称为 f(x)的麦克劳林级数 二、函数展开成幂级数（主要是指展开成麦克劳林级数）1、直接法展开步骤 第一步 求出 f (x)的各阶导数 f (x) f (x) f (n)(x) 第二步 求函数及其各阶导数在 x0 处的值 f(0) f (0) f (0) f (n)( 0) 第三步 写出幂级数 !)0( !2)0()0( nxfxff并求出收敛半径 R 例 将函数 f(x)ex展开成 x的幂级数 解 所给函数的各阶导数为 f (n)(x)ex(n1 2 ) 因此 f (n)(0)1(n1 2 ) 于是得级数 211 !nx它的收敛半径 R （2006 年试题）19：将 展开成 的幂级数，则展开式中含 项的系数为_。xe 3x解： )( !1 !21xnxe含 项的系数为362、间接展开法 常用的展开式公式：)1( 12xxxn + ()!x ne x )12() 53sin xx3 页 )( )!2(1 !421cos xnxx 1 1 3)ln( 例 将函数 展开成 x的幂级数 21)(xf解 因为 )1( n把 x换成 x2 得(1x1) )1( 124nx注 收敛半径的确定 由1 x21得1 x1
