1、原理简介中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术” ，它与海伦公式基本一样。假设在平面内，有一个三角形，边长分别为 a、b、c，三角形的面积 S 可由以下公式求得：而公式里的 p 为半周长（周长的一半）：注 1：“Metrica“( 论）手抄本中用 s 作为半周长，所以和两种写法都是可以的，但多用 p 作为半周长。由于任何 n 边的多边形都可以分割成（n-2 ）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。证明过程证明与海伦在他的著作“Metrica“(度量论）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公
2、式变形来证明。设三角形的三边 a、b、c 的对角分别为 A、B、C，则余弦 定理为下述推导 1cosC = (a2+b2-c2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*（1-cos2 C)=1/2*ab*1-(a2+b2-c2）2/4a2*b2=1/4*4a2*b2-(a2+b2-c2）2=1/4*（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2）=1/4*(a+b)2-c2c2-(a-b)2=1/4*(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)设 p=(a+b+c)/2则 p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=
3、(a+b-c)/2,上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c)所以，三角形 ABC 面积 S=p(p-a)(p-b)(p-c)证明中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术” 。它与海伦公式基本一样，其实在 九章算术中，已经有求三角形公式“底乘高的一半” ，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术 ”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大
4、斜。“术” 即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，作 1 作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实” 、“隅”指的是，在方程 px 2=q,p 为“隅” ，q 为“实 ”。以、a,b,c 表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4a2*c2-(a2+c2-b2）/2 2当 P=1 时， 2=q,=1/4a2*c2-(a2+c2-b2）/2 2因式分解得 2=1/44a2c2-(a2+c2-b2）2=1/4(c+a) 2-b 2b 2-(c-a) 2=
5、1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/42p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：S=p(p-a)(p-b)(p-c)其中 p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦秦九韶公式” 。S=1/4a2*c2-(a2+c2-b2）/2 2 .其中 cba.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形 ABCD 为圆的内接四边形，且 AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形 ABCD的面积这里用海伦公式的推广S 圆内接四边形= 根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中 p 为周长一半，a,b,c,d，为 4 边）代入解得 s=8 3
