1、菁优教育一对一辅导第 1 页 共 15 页几类递推数列的通项公式的求解策略已知递推数列求通项公式，是数列中一类非常重要的题型，也是高考的热点之一数列的递推公式千变万化，由递推数列求通项公式的方法灵活多样，下面谈谈它们的求解策略一、 )(1nfan方法：利用叠加法， ， ，12f),2(3f )1(1nfan 1)(nknfa例 1数列 满足 ， ，求数列 的通项公na1an21)(n式解：由 得)()(21n= = =11kka1)(nk n12例 2数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式n)(1nna1a分析：注意到左右两边系数与下标乘积均为 ，将原式两边同时除以)(，变形为 令 ，有 ，即
2、)1(n)(bn )1(1nb化为类型 ， 以下略二、 )(1nfan方法：利用叠代法， ， ， 12f),2(3f )1(nfan )(1kfan例 3数列 中 ，且 ，求数列 的通项na121(n解：因为 ，所以 n)(2= = =)1kfan11kn 11knkn三、用构造法（构造等差、等比数列） 。（1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系1nakb1nnab,数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。a 解法：把原递推公式转化为： ，其中1n )(1taptnn菁优教育一对一辅导第 2 页 共 15 页，再利用换元法转化为等比数列求解。pqt1例 5. 已知数列 中， ， ，
3、求 .na132nan解：设递推公式 可以转化为 即n )(21tatn.故递推公式为 ,令321tn 3n，则 ,且nab41ab21nab所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则 ,所n41 14n以 .3a 解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递1nnkb推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中1qqapnn11 nb） ，得： 再应用 的方法解决.。nabbnn1 1nk例 6. 已知数列 中， , ，求 。n651a1)2(3nnana解：在 两边乘以 得：1)2(3 1)2(31n令 ，则 ,应用例 7 解法得：nnb21nbnb所以 a)(练一练1、已知
4、 ，求 ；11,32nana2、已知 ，求 ；11,nn菁优教育一对一辅导第 3 页 共 15 页3.设数列 的首项 ， ， ，求数列 通项公na1231nna,432na式四、 ， 为常数 )2(11nqapann qp,方法：可用下面的定理求解：令 为相应的二次方程 的两根02qpx(此方程又称为特征方程)，则当 时， ；当 时，naAB，其中 分别由初始条件 所得的方程组1)nnBABA, 21,和 唯一确定22,a12()例 5数列 ， 满足： ，且 ， ，求 ，nb1()62nnab1a41bnanb解：由 得 ， ，代入到 式中，有)2(nna16121n)(，由特征方程可得 ，代
5、入到 式中，可得nnb512 83b2483na说明：像这样由两个数列 ， 构成的混合数列组求通项问题，一般是先消na去 n(或 )，得到 (或 )，然后再由特征方程方法求b12nqbp12nqap解五、 1(0,)knnamQk一般地，若正项数列 中， ，则na11(0,1)knnmQk有，令 ( 为常数)，则有nnlglg1 (lglAa Ak数列 为等比数列，于是llmkan，1)lg(g1l nk从而可得 11kknnna例 7. 已知数列 满足 ， 7a1，求数列 an的通项公式。4n菁优教育一对一辅导第 4 页 共 15 页六.公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()na
6、f na。1,()na例 8已知数列 的前 项和 满足 求数列nn 1,)(Sn的通项公式。n解：由 1211aSa当 时，有 ,)(2)(21nnnn 1(),n21， .1221()nnnna.)1(233)()(11nnn 经验证 也满足上式，所以a )1(23nna点评：利用公式 求解时，要注意对 n 分类讨论，11Snn但若能合写时一定要合并练一练： 已知 的前 项和满足 ，求 ；na2log(1)nSna数列 满足 ，求 ；n11154,3nnSan七、形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。1nakb例 9： 求,31nna菁优教育一对一辅导第 5 页 共 15 页练一练：已知数列
7、满足 =1， ，求 ；1a11nnana【课堂训练】1 已知数列 中，满足 a ，a +1=2(a +1) （nN ）求数列 的通项公n11nnna式。2 已知数列 中，a 0,且 a ， （nN ）nn11nna3 已知数列 中，a ， a a （nN ）求数列 的通项公式n11n2nna4 已知数列 中，a ， a 3a ，求数列 的通项公式n11n na6 设数列 满足 a =4，a =2，a =1 若数列 成等差数列，求 an123na1 n7 设数列 中， a =2，a =2a +1 求通项公式 an11n n菁优教育一对一辅导第 6 页 共 15 页【课后训练】1. 在数列 中，
8、=1, (n+1) =n ，求 的表达式。na11nana2. 已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 ，试求na31nnSannaS)12(通项公式 。3. 已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。na4321nna1na4.在数列 中， , ， ，求 。na12annna315.已知数列 中 且 （ ） ， ，求数列的通项公式。na11naN6.已知数列 的前 n 项和 ，其中 是首项为 1，公差为 2 的等差数aSbnn()1n列. 求数列 的通项公式；8.已知数列 的前 项和为 ，且满足 nanS32nan)(*N求数列 的通项公式；菁优教育一对一辅导第 7 页 共 15 页9.设数列
9、 满足 ， 求数列 的通项；na21133naa*Nna10.数列 的前 项和为 ， ， 求数列 的通项 ；nanS1a*12()nSNnan11.已知数列 na的前 n 项和 Sn满足 2(1),na()写出数列 的前 3 项 ;,321a ()求数列 a的通项公式12. 已知数列 an满足 n1n23a， a1，求数列 an的通项公式。13.已知数列 an满足 1an2a1n， ，求数列 an的通项公式。14.已知数列 an满足 3a12an1n， ，求数列 an的通项公式。15.已知数列 an满足 3a12a3n1n， ，求数列 an的通项公式。菁优教育一对一辅导第 8 页 共 15 页
10、16 已知数列 an满足 3a5)1n(21n1， ，求数列 an的通项公式。17. 已知数列 an满足 6a53a21n1n， ，求数列 an的通项公式。18. 已知数列 an满足 ， 7a1，求数列 an的通项公式。413n菁优教育一对一辅导第 9 页 共 15 页在数列 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式。na11nana已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 试求通项公3SnaS)12(式 。n已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。a421nna1n在数列 中， , ， ，求 。n12na32已知数列 中 且 （ ） ， ，求数列的通项公式。na111naN已知数列 的前
11、 n 项和 ，其中 是首项为 1，公差为 2 的等差数列.Sbn()n求数列 的通项公式；an已知等差数列a n的首项 a1 = 1，公差 d 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列b n的第二项、第三项、第四项求数列a n与b n的通项公式；已知数列 的前 项和为 ，且满足 求数列 的通项公式；nS32ana设数列 满足 ， 求数列 的通项；na2113na*Nn数列 的前 项和为 ， ， 求数列 的通项 ；nS112()naS an已知数列 和 满足： ， ， ， ，且 是以nb0n1nnbb为公比的等比数列证明： ；若 ，证明数列 是等比q2nq212cnc数列；设数列a n的前项
12、的和 Sn= 31（a n-1） (n N)() 求 a1；a 2； 求证数列 an为等比数列已知二次函数 ()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为 ()6fx，数列n的菁优教育一对一辅导第 10 页 共 15 页前 n 项和为 nS，点 (,)nN均在函数 ()yfx的图像上（）求数列 a的通项公式；已知数列 的前 n 项和 Sn满足 21,na()写出数列 的前 3 项 ;,31 ()求数列 n的通项公式8. 已知数列 a满足 n1n2a， a1，求数列 an的通项公式。已知数列 n满足 ， ，求数列 的通项公式。已知数列 a满足 3a12an1n， ，求数列 an的通项公式。已知数列 n
13、满足 3， ，求数列 的通项公式。已知数列 a满足 3a5)1n(21n1， ，求数列 an的通项公式。14. 已知数列 n满足 6a， ，求数列 的通项公式。17. 已知数列 满足 ， 7a1，求数列 an的通项公式。413n答案：1. 解: () 由 )(1S,得 )(1 12 又 )1(322aS,即3221a,得 42.() 当 n1 时, ),(3)(11nnnn a得 ,21na所以 na是首项 2,公比为 的等比数列2. 解：当 n=1 时,有：S 1=a1=2a1+(-1) a1=1；当 n=2 时,有：S 2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0；当 n=3 时,有：S
14、3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2；综上可知 a1=1,a2=0,a3=2；由已知得： 111()2()nnnnS化简得： ()菁优教育一对一辅导第 11 页 共 15 页上式可化为： 1122()()33nnnaa故数列 1是以 为首项, 公比为 2 的等比数列.故 ()2nn 12()(1)3nnnA数列 a的通项公式为： 3na.3. 解：（）设这二次函数 f(x)ax 2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x 22x.又因为点 (,)nSN均在函数 ()yfx的图像上，所以 nS3n 2 2n.当
15、 n2 时 ， anS nS n1 （3n 22n ） )1(32n（ 6n 5.当 n1 时，a 1S 131 22615，所以，a n6n5 （ N）.6. 方法（1）：构造公比为2 的等比数列 n3，用待定系数法可知 51方法（2）：构造差型数列 na)2(，即两边同时除以 )2( 得：nna31)(，从而可以用累加的方法处理方法（3）：直接用迭代的方法处理： 122121 3)()(3)(22 nnnnnn aa3)()na 123)nn 1232231010 )()()( nnnn 5)2(na7. 分析： .1,)(nSn -由 ,11得 a-由 2n得， 2，得 02-菁优教育一
16、对一辅导第 12 页 共 15 页由 3n得， 12321aa，得 23 -用 代 得 )(nnnS-： n)(11即 n)(1 -nnnnnnn aaa )1(2)(2)()(22 2 n1)(11 138. 解： n1n23a两边除以 1n，得 2an1，则 23an1，故数列 n是以 1为首，以 23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 23)(12an，所以数列 an的通项公式为 nn2)13(a。9. 解：由 1an1得 1n2an则232n1nn )()a()a()a( 1)n(2)1( 1)( 1 所以数列 an的通项公式为 2na10. 解：由 132an1n得 132a
17、nn则232n1nn a)()()a()a( )1(33(2 31122n1 所以 nan 菁优教育一对一辅导第 13 页 共 15 页11. 解： 132an1n两边除以 1n3，得1nn13a，则 1nn12，故 3a)()3a()3a()a3( 12n22n1nn )1()()()2( 22n1nn 333122n1n 因此 nnn 21)()(2a ，则 2133nn12. 解：因为 3a5)(a1n1n， ，所以 0an，则 nn15)(2a，则1232n1n aaa 35)1(25)1(5)(5)( 2n1 33n22)n(11n 所以数列 an的通项公式为 !5232)1(n13
18、. 解：因为 )2n(a)1(a3a21n 菁优教育一对一辅导第 14 页 共 15 页所以 n1321n a)n(aa 所以式式得 n1n则 )2(a)(an1n则 )(an1所以 232n1naa 22!4)( 由 )n(a)1(a3a21n ，取 n=2 得 212a，则 1a，又知 ，则 ，代入得 2!n5431an。14. 解：设 )5xa(xn1n1n将 n1n53a2代入式，得 nn1n5x2a5x32 ，等式两边消去 ，得 n1x，两边除以 ，得 ，则 x=1，代入式，得 )5a(25an1n由 610 及式，得 05an，则 25an1，则数列5an是以 5a1为首项，以 2 为公比的等比数列，则 1nn，故1n2。菁优教育一对一辅导第 15 页 共 15 页
