1、1概率统计 2008 级辅导第一章一、随机事件的概率1性质:(1) ; (2) 事件 , ;0)(PA1)(P(3)有限可加性:事件 两两互不相容n,21 )()()( 212 nn APAPA2概率的运算公式加 法 公 式 : ()()()PABPBA如果 互斥(互 不 相 容 ) ,则, ()()PBAPB)()()()( 321313221321321 A推 广 :减 法 公 式 : ;)(PABPAB()AB(1)如 ,则 ,即概率具有单增性. (2)因为 ,所以 . ) AB()()PBPB对 立 事 件 的 概 率 计 算 公 式 : (1()习 题 一 10 设 、 为 两 个
2、事 件 , , , 求 .AB0.9PA()0.36()解: ;()()0.936.54PP习 题 一 11 设 、 为 两 个 事 件 , , , 求 . ()0.7B()0.3()PAB解: .()()1()1.76ABAPA习 题 一 12 假 设 , ,0.4P0.7若 、 互 不 相 容 , 求 ; 若 、 相 互 独 立 , 求 . ()B()PB解: 若 、 互 不 相 容 , ;AB()()0.74.3PA若 、 相 互 独 立 , 则 由 可 得 =0.5.()PA()习 题 一 21 设 、 为 两 事 件 , , , , 求 . ().().6B0.PAB解:由 得 ,(
3、)0.4BPA()0.4,()0.12,()().48PBA.()8例 1 设 , , ,1)(4PBPC()0PAB()()PACB16求 全不发生的概率.,A2解 由 及( 3.3) 、 ( 3.1)得所 求 概 率 为()ABC()1()PPABC=3/81()()()()()PPABCPA其中 所以 即 .,ABC0,BC0例 2 设 , , 构 成 一 完 备 事 件 组 , 且 , 则 , 求 , . ().5().7()()B解 : , , 构 成 一 完 备 事 件 组 , ,()1PABCPABPC又 , ; 。()1()0.3PB()0.5()0.2 , , 构 成 一 完
4、 备 事 件 组 , 由 于 互 斥 , , 故 .AC,()0A3条件概率定义:设两事件 A、B,称 (P(A) 0)为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。)(B(P( B) 0)为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。)(例 4 一 批 产 品 中 一 、 二 、 三 等 品 各 占 60%,30%,10%, 从 中 任 取 一 件 , 结 果 不 是 三 等 品 ,求 取 到 一 等 品 的 概 率 .解 设 取到 等 品 , ,则 所 求 概 率 为 。iAi1,23i 313113 3()()0.62() 9APPA例 6 盒内装有 100 件产品,出厂验收时规
5、定从盒内连续取三次,每次任取一件,取后不放回,只要三次中发现有废品,则不予出厂,如果盒内有 5 个次品,问该盒产品予以出厂的概率有多大 .解 设 第 次取得正品( 1,2,3),则 表示事件“新产品予以出厂”.iAi321A已知 ,所以98)(94)(,1095)( 312PAP23 12540.56例 7 甲 、 乙 独 立 地 对 同 一 目 标 射 击 一 次 , 命 中 率 分 别 为 0.6 和 0.5, 今 已 知 目 标 被 击 中 ,求 它 被 甲击 中 的 概 率 .解 设 甲击中, 乙击中,则所求概率为AB()().() .7()()0653PPAPBB习 题 一 22.设
6、某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为 0.8, 活到 25 年以上的概率为 0.4. 问现年 20岁的这种动物, 它能活到 25 岁以上的概率是多少?3解:设 某种动物由出生算起活到 20 年以上, ,A ()0.8PA某种动物由出生算起活到 25 年以上, ,则所求的概率为B .4B()()0.()() .58BPAPA)()(乘 法 定 理 : 0)()()()(.4 BC5全概率公式和贝叶斯公式若 事 件 组 满足: , 且 两 两 互 斥 , 则 称 为完 备 事 件 组 。12,nA 1nA 12,nA设 B1 ,B 2, Bn 为 完 备 事 件 组 , 且 P(Bi) 0
7、,则对任何一个事件 A,都有贝 叶 斯 公 式全 概 率 公 式.,21,)()( )()11niAPBPnj jjiii n 习 题 一 24设甲、乙两袋,甲袋中有 2 只白球,4 只红球;乙袋中有 3 只白球,2 只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一球.1)问取到白球的概率是多少? 2)假设取到白球,问该球来自甲袋的概率是多少?解:设 A:取到白球,B:从甲球袋取白球 3) (/)(/)(5/9 6PPAB2/2 /()习 题 一 27某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占40%,35%和 25%,且用这三地的药材能生产出优等品
8、的概率分别为 0.65,0.70 和 0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品,求它的材料来自甲地的概率解:以 Bi 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地, A=抽到优等品,则有:123()0.5,()0.25,PB()=.4, 1()0.65,PB32()0.7,()0.85APB所求概率为 .A由全概率公式得: 123123()()()()AA0.654.7035.80.7151111()(|)6() 24.PBB习 题 一 293 个射手向一敌机射击,射中的概率分别是 0.4,0.6 和 0.7.如果一人射中,敌机被击落的概率为 0.2;二人射中
9、,被击落的概率为 0.6;三人射中则必被击落.(1)求敌机被击落的概率;(2)已知敌机被击落,求该机是三人击中的概率.4解:设 A =敌机被击落,B i= i 个射手击中,i =1,2,3. 则 B1,B2,B3 互不相容.由题意知: ,由于 3 个射手射击是互相独立的,所以1 32()0.,()0.6,()APPB1()0.4.34.7026476B3()018P因为事件 A 能且只能与互不相容事件 B1, B2, B3 之一同时发生.于是(1)由全概率公式得31()()|04.2360.180.49iiiPPA(2)由 Bayes 公式得 .3331(|).18(|) 49iiiB 例 8
10、 在某一季节,一般人群中,疾病 的发病率为 2%,病人中 40%表现出症状 S;疾病 的发病率D2D为 5%,其中 18%表现出症状 S;疾病 的发病率为 0.5%,症状 S 在病人中占 60%;问任意一人有症状 S3的概率有多大?解 由已知:,11()0.2,()0.4,PD2()0.5,P2()0.18,D33()0.5,()0.6PD由全概率公式得 3|iiiSDS4.62例 9(即 2 例 1)( 抽 签 原 理 ) 袋 中 有 个白 球 个红 球 , 依 次 随 机 取 球 , 求 第 次 抽 到ab k白 球 的 概 率 .解 设 第 次 抽 到 白 球 , 则 ,由于 为完 备
11、事 件 组 , 故 由全概率公式得iA1()PA1,A,2221111()( ) 1abaPbb同理可得 .32)()(n 例 10 一 批 空 调 情 况 如 下来 源 甲 厂 乙 厂 丙 厂份 额 5 2 4次 品 率 0.03 0.08 0.05任 买 一 台 。 求 :( 1) 该 台 为 不 合 格 品 的 概 率 ;( 2) 已 知 买 到 了 次 品 , 问 是 哪 一 个 厂 生 产 的 可 能 性 最 大 .解 设 取 到 甲 厂 生 产 的 产 品 , 取 到 乙 厂 生 产 的 产 品 , 取 到 丙 厂 生 产 的 产 品 ,ABC取 到 次 品 , 则D5(1) ;(
12、)()()()DDPAPBPC5240.510.3.08.11(2)由( 3.7) ()15()A同理 , ,故 该 产 品 为 丙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大 .16()5BPD20()51CPD例 11 一只箱中有 20 只产品,其中无次品的概率为 0.8,有一只次品的概率为 0.1,有二只次品概率为 0.1.一个顾客从中随机取四件观察,若无次品,则买下全部产品,否则不买。求:(1)顾客买下该产品的概率.(2)顾客买下该箱产品的确没有次品的概率.解 设 表示箱中有 件次品, =0,1,2.B 表示顾客买下该箱产品,iAii由题知 , ,8.0P.0A.2P而 , , 10B4192
13、05C1924082CAB 由全概率公式= 221100 PPAP 412.+00.94 5 由( 3.7) 85.094.00BA6独立性定 义 对 事 件 , 如 果 ,则称事件 相互独立,AB()()P,B个 事 件 仍 相 互 独 立 。的它 们 的 对 立 事 件 , 所 得 中 任 意 多 个 事 件 换 成相 互 独 立 , 则 将个 事 件若)( 个 事 件 也 是 相 互 独 立 。相 互 独 立 , 则 其 中 任 意若 事 件)( 相 互 独 立 。与与与相 互 独 立)( 。 反 之 亦 然 。相 互 独 立 , 则,。 若是 两 事 件 , 且,) 设结 论 : (
14、独 立相 互事 件 独 立相 互定 理 : 事 件 nAAn nkABBB BPPCPAC CAC ,)2(,4 )2(3,2 )(0)(1 ).()( ),(),)(, 121 例 1 袋 中 涂 有 红 , 白 , 黑 各 一 球 , 另 一 球 涂 红 , 白 , 黑 三 色 , 从 中 任 取 一 球 , 设 取A到 的 球 涂 有 红 色 , 取 到 的 球 涂 有 白 色 , 取 到 的 球 涂 有 黑 色 , 问 是 否 相 互 独 立 ?BC,BC解 , ,从而1()()()4PACP1()()()2PABP, , ,从而 两两独立,但由于BAC,A6, 不是相互独立的.1()
15、4PABC()()PABC,AB例 2 电 路 由 电 池 甲 与 两 个 并 联 的 电 池 乙 、 丙 串 联而 成 ( 如 图 4-2) , 假 设 在 一 定 的 时 间 内 电 池 甲 、 乙 、丙 损 坏 的 概 率 分 别 为 0.3、 0.2、 0.2, 并 且 各 电 池 损坏 与 否 互 不 影 响 , 试 求 电 路 发 生 间 断 的 概 率 .解 设 事 件 甲 损 坏 , 乙 损 坏 , 丙 损 坏 ,ABC则 相 互 独 立 , 因 电 池 甲 损 坏 或 乙 、 丙 同 时 损CB,坏 表 示 电 路 发 生 间 断 , 故 事 件 表 示 电 路 间A断 ,
16、故 所 求 概 率 为 ()()()()PBCPBCPA()()()PBCAPBC.0.3.20.320.3287. 二 项 概 率 公 式二 项 概 率 公 式 设 随 机 试 验 下 事 件 发 生 的 概 率 为 , 将 重 复 独 立 作 次( 称 此 试 验EpEn为 重 贝 努 力 试 验 ) , 则 事 件 发 生 次 的 概 率 为nAk(0,12,)n()(1),knnnPCp称此公式为二 项 概 率 公 式习 题 一 33 灯 泡 使 用 寿 命 在 1000h 以 上 的 概 率 为 0.2, 求 3 个 灯 泡 在 使 用 1000h 后 , 最 多 只有 一 个 坏
17、了 的 概 率 .解 : 由 二 项 概 率 公 式 所 求 概 率 为 313().(.)80.4PC例 3 一 射 手 对 同 一 目 标 独 立 地 射 击 四 次 , 若 至 少 命 中 一 次 的 概 率 为 80/81, 求 该 射 手 的命 中 率 . 解 设 该 射 手 的 命 中 率 为 , 一 次 都 未 命 中 的 概 率 为 ,p 44(0)1)Pp依题意 ,解得 .480(1)1p23例 4(即 2 例 4 )某 家 庭 有 4 个 女 孩 , 他 们 在 洗 碗 时 打 破 4 个 , 其 中 有 3 个 是 最 小 的 女孩 打 破 的 , 假 设 每 个 女 孩
18、 打 破 碗 的 概 率 都 一 样 , 求 小 女 孩 打 破 3 个 碗 的 概 率 .解 将 每 个 女 孩 设 为 一 个 格 子 , 小 女 孩 为 第 4 个 格 子 , 试 验 任 取 一 碗 放 入 4 个 格 子E中 , 此 碗 落 入 第 4 个 格 子 中 , 考 察 发 生 与 否 , 则 所 求 概 率 为 将 重 复 独 立 作 4 次 试 验AA发 生 3 次 的 概 率 , 由 题 设 ,从 而(3)P1()P.344()047C此结果与 2 例 4 结 果 一 致 .例 5 赌 博 家 德 梅 尔 ( De Mere) 提 出 这 样 一 个 问 题 : “一
19、 枚 骰 子 掷 4 次 , 出 现 6 点 至 少一 次 ”, “两 枚 骰 子 同 时 掷 , 掷 24 次 , 出 现 双 6 点 至 少 一 次 ”, 这 两 个 事 件 的 概 率 是 否 相 同 ?德 梅 尔 认 为 , 试 验 ( 投 掷 ) 次 数 与 试 验 所 有 可 能 结 果 总 数 之 比 相 等 : , 所 以 上23述 两 件 事 件 的 概 率 应 该 相 等 , 但 这 与 他 的 实 践 经 验 不 一 致 .图 4-27解 设 事 件 掷 一 枚 骰 子 出 现 6 点 , , ;6A61()PA65()PA掷 两 枚 骰 子 出 现 双 6 点 , ,
20、.6 6()363()把 “一 枚 骰 子 掷 4 次 ”模 拟 成 4 次 独 立 重 复 试 验 , “两 枚 骰 子 同 时 掷 , 掷 24 次 ”模 拟 成 24次 独 立 重 复 试 验 , 于 是 有(1)“一 枚 骰 子 掷 4 次 , 出 现 6 点 至 少 一 次 ”的 概 率 为 ;45(0)1()0.17P(2)类 似 地 , “两 枚 骰 子 同 时 掷 , 掷 24 次 , 出 现 双 6 点 至 少 一 次 ”的 概 率 为2435(0)1()0.914P第二章1随机变量定义 设试验 下样本空间为 ,若 ,对应唯一个实数 ,则称 为一个随机变EeXee量.2离散型
21、随机变量及其分布 .1)2(;,1,0)1( ,21,),21(21 kk n kkppxxX pxXPXXx 性 质 : 或分 布 律 也 可 表 示 为 : 的 分 布 律 。为 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 )即 事 件取 各 个 可 能 值 的 概 率 (称 ,所 有 可 能 取 的 值 为设 离 散 型 随 机 变 量定 义 :常见离散型随机变量的概率分布 (1) (01)分布:设随机变量 X 只取 0 与 1 两个值,它的分布律为则称 X 服从 (01) 分布或两点分布。(2)二项分布 knkknknkkknk qpCpCnA AAAX nXn q 1)1( )0( ,2
22、1,011记次 的 概 率 为次 试 验 中 发 生在因 此 种 , 且 两 两 互 不 相 容 。次 的 方 式 共 有次 试 验 中 发 生在得 , 次 :次 试 验 中 发 生 了在时 , 即当 所 有 可 能 取 的 值 为发 生 的 次 数 , 则重 伯 努 利 试 验 中 事 件表 示若 次次次次 的 分 布 律 为得 X称这样的分布为二项分布,记为 ).,(pnBX nx21kpkknk qpq 108).(P0 ,21,0,!e,2103 XX kk的 泊 松 分 布 , 记 为服 从 参 数 为是 常 数 。 则 称其 中 )(, 取 各 个 值 的 概 率可 能 取 的 值
23、 为设 随 机 变 量) 泊 松 分 布 :( 3分布函数定义 称 为 的分布函数,其中事件,FxPxxex从数值上看 表示随机变量 落入区间 的概率.()X(,x利用分布函数计算概率重要公式: ).(1)2(aFXP,)()1( aFbaP习 题 二 4设随机变量 的分布函数为 1,0,)(2xF试求(1) (2) (3)1XP41XP21XP解: ; (2) ;4)()(F 1690)(4F(3) .3)1(12FXPXP例 5 若 , , 且 , 求6.0x6.01x21x12PXx解 21XP2XPP .20604连续型随机变量的分 布 函 数 及概率密度 的 概 率 密 度 ( 函
24、数 ) 。称 为中为 连 续 型 随 机 变 量 , 其则 称 有, 使 对 任 意 实 数, 若 存 在 非 负 函 数的 分 布 函 数定 义 : 对 随 机 变 量 xf tfxFxfF)( ,d)()()( xfaFXPaxfaFXP xfFxXPfxf d)()(11,d)()( )(4 d)(3d20)(121 计 算 公 式 : 处 连 续 , 则 有在 点若概 率 密 度 函 数 的 性 质 :习 题 二 15.已 知 的 概 率 密 度 为 , 试 求 :2,00xef( 1) 、 未 知 系 数 ; ( 2) 、 的 分 布 函 数 ; ( 3) 、 在 区 间 内 取 值
25、 的 概 率 .aX()FX1(0,)解:(1)由 ,解得 021dxe.2a9(2) ,当 x0 时 ,()()xFxPXftd0)(xF当 x0 时, , 220()1()xxxea21(),0()0, xxFx(3) .51(0)()(2PXFe例 1 设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 , 求 及 . 0 , 0sin21 , xFxAxA6PX( )解法一 由 在 2处右连续得: ,()Fx(0)(,2即 1|( )sin0.6662PXXF解法二 密度函数 cos,0() 2AxfxF其 它,由 得 , 从而20cos1Axd (|)6PX01cos.2xd补充. 设随机变
26、量 X 的分布函数为 ,exxFX,1ln0)(求(1)P X 2 , P0 X 3 , P2 X 5/2 ;(2)概率密度 f X (x) 。 )处 连 续在 点(其 它,)解 : ( )()(01)()(2 4ln5ln)2(5 ,10)(30ln)( xfFxfexxFf FX X 常见连续型随机变量的分布 ).,(),( ,0,1)(1 baUXbaX xxf上 服 从 均 匀 分 布 , 记 为在 区 间则 称 其 它具 有 概 率 密 度随 机 变 量) 均 匀 分 布 : 设 连 续 型 的 指 数 分 布 。服 从 参 数 为则 称 为 常 数 ) ,(的 概 率 密 度 为量
27、) 指 数 分 布 : 若 随 机 变 xxf0.,0e1)(2 10)(分 布 函 数其 概 率 密 度 函 数 。正 态 分 布 , 记 为时 的 正 态 分 布 称 为 标 准, 。, 记 为的 正 态 分 布 或 高 斯 分 布服 从 参 数 为为 常 数 , 则 称其 中)(,的 概 率 密 度 为量分 布 : 设 连 续 型 随 机 变) 正 态 xtxxxN NXXxxfxtx ,de21)(),(,e21)( 1,010 ),(,)(, ,e2)(3 2 2 22)(正态分布的计算 标准正态分布的概率计算:查表计算。 ).(1)( cdcFdXcPxXPxFNX )()(,(2
28、 ; 1( ),10),0)uuuN分 位 点 。为 标 准 正 态 分 布 的 上则 称 点 ,满 足 条 件, 若设分 位 点 :正 态 分 布 的 上例 3 ,且 ,求 .2,XN40.3PX0PX解 ,欲求 .021P2因为 ,所以 ,从而 .0.3240.520.802PX例 4 某地区考生数学成绩(百分制)近似服从正态分布,平均分 , 分以上的考生占考生总数的796,求考生成绩在 分到 分之间的概率.( )2.%6081.84,.解 设 考生成绩, ,从而所求概率 ,X27,XN8472607260pPX今 未知,但已知 , ,查表得0.2396P19PX196.,即 ,从而所求概
29、率 .20.9767,21082p查 表5随机变量的函数的分布及计算若 为随机变量, 为连续函数,则 为随机变量 的函数。XgxYgXX由 的概率密度函数 ,求 的密度函数 的方法:()XfYYfy1 分布函数法(1)求出 的值域 ;YgY(2)对 ,由定义 ; )(d)()( )( yxfyXgPyFyxgX(3)对于 ,求得 ,从而YYYf ,0YYYFf 112 公式法 当 是可导的单调函数时,则 ygx11 ,0 X YYfgyyfy( )习 题 二 24.设随机变量 ,求随机变量 在 内概率密度 .0,2XU2,4Yf解 ,X 的概率密度0,21,0 Xxfx其 余在 单增, 反函数
30、 在 可导, ,yx, y,412y解法一(分布函数法)(1)X 在区间(0,2)内取值,由 得随机变量 Y 在区间(0,4)内取值,即 Y 的值域 ,2YX 0,4Y(2)对 ,0,4Y当 时, ;当 时, ;y0)(PyyF4y1)(PyyFY当 时, 042Y XX(3) 11()()()24YYXXXyXyxyyfyFxfxy 从而 1, 044Yfy其 余解法二(公式法) 在 单增,由于反函数 在 可导, ,从而由公式得2yx0, xy0,412yx1 ,240 XYfyyfy其 余习 题 二 25. ,求 的密度. ,)xXef( XYe解法一(分布函数法)因为 ,故 ,当 时,
31、,01ylnlYXFyPyF.ln2l ,10 yXYfefy解法二(公式法) 的值域 ,反函数 ,故 .xye1,lnxy21ln ,0 XYfyyfy12 .3,0,e)23(1.,0,3,)2(e)23(d)()( ,32 .0,2e10e)(21)()()( d)(d)() (001 32e,)( 2)3()32 2)(322 23 yyyyxfyFf yxyxXY yfyfyFf xfxfyFyXPXYPY XYxxfX yXXXXY YX )(的 分 布 函 数 。) 求 时 有。 当时当,的 分 布 函 数 。) 求解 : 的 概 率 密 度和, 求 随 机 变 量,的 概 率
32、密 度设 随 机 变 量例 例 3 ,证明 ,即正态随机变量的线性组合仍为正态2,N2,YkbNkb随机变量.证明 已知 ,方法一 (分布函数法),Y(1) 、当 时, , ;0kY XybybFyPyFkk1YXybffk(2) 、 时, , ,1Y XbXk1YXXfyff综合而得: ,即 ,证毕.21,2ykbYXyfyf eRk 2,Nkb方法二 公式法. 今 单调可导,其反函数为 ,从而gxkb1yxg,证毕.11YXXyfyfyfk第三章 1二维随机变量的联合分布函数 率 。在 如 图 所 示 区 域 内 的 概的 函 数 值 就 是 随 机 点 落 的 联 合 分 布 函 数 。
33、和机 变 量的 分 布 函 数 , 或 称 为 随称 为 二 维 随 机 变 量 )是 任 意 实 数(二 元 函 数定 义 : ),(),( ,)(),yxF YXYXyxxPyxP2二维离散型随机变量的联合分布律 的 分 布 律 也 可 表 示 为二 维 离 散 型 随 机 变 量 。的 联 合 分 布 律和的 分 布 律 , 或 随 机 变 量) 为(称 ,所 有 可 能 取 的 值 为设 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ),( . ),(,21, ,21,),YX YXYXjipyxXP jiyxjji ji ox),(yx, ix 11p113yOx图 3-5.101ijiijp
34、p,性 质 :习 题 三 1.离散随机变量 相互独立同分布,YX与求 的概率. ,2PX.1P.21YYXP分析:Y 与 X 相互独立,X 的分布律为 , Y 的分布律为由边缘概率可以计算(X,Y )的联合概率 PX= -1,Y= -1、PX= 1,Y= 1解: )(,1, 已 知 独 立Y.22P习 题 三 2.已知二维离散型随机变量 的概率分布如下表:),(X(1)求 .(2)随机变量 是否相互独立?bY,(3)求 )1,XP解:由 =1 可得: ,从而得:ijip14.0bY0 1 2 jYP0 0.06 0.15 0.09 0.31 0.14 0.35 0.21 0.7iXP0.2 5
35、.0.3 1故 相互独立,0;2, jijYPijYi YX,7.035.1.04.6.0 1,01,),( YXPPPF3. 二维连续型随机变量的联合概率密度 ),(),(),(,)4( d),(),(3 1),(d),()2(0),(1 , ),(),(),(2yxfFyxf yxfGYXPGYXoGxyfyxf vufxF yxfyxFYXyx连 续 , 则 有在若 内 的 概 率落 在, 点面 上 的 一 个 区 域是设 ;性 质 : 的 联 合 概 率 密 度 。和机 变 量的 概 率 密 度 , 或 称 为 随称 为 二 维 随 机 变 量 量 ,是 连 续 型 的 二 维 随 机
36、 变, 则 称有使 对 任 意 , 若 存 在 非 负 函 数的 分 布 函 数量对 于 二 维 连 续 型 随 机 变定 义 :例 2 设二维随机变量 具有概率密度 =f00,2)(其 它xey(1)求分布函数 (2)求概率 ., P解 (1) = = Fdf00,.其 它e即有 = ),( ,00),1(2其 它eyxXY0 1 20 0.06 0.15 0.091 b0.35 0.21 1ijjpjykp 5.0kp5.014(2)将 看作平面上随机点的坐标即有 ,其中 为 平面上直线),(YX ),(GYXxoy及其下方的部分,如图 3-5于是xy= = =),(GPdxyf),(yy
37、xde)(20314边缘分布 。的 边 缘 分 布 函 数关 于为 随 机 变 量 称令 的 边 缘 分 布 函 数关 于为 随 机 变 量 , 称令 。的 分 布 函 数 , 则为 随 机 变 量设边 缘 分 布 函 数 : YX yFYXPyyFx xxxxy yYXPyYXxF),( ),(,)(, , )(),(),( 2)离散型随机变量的边缘分布律 的 边 缘 分 布 律 。和 关 于关 于为和分 别 称 ;)(记 的 联 合 分 布 律 为机 变 量定 义 : 设 二 维 离 散 型 随 YXYji jyPpiPp ixijjjii jjix),(),21(),21( ),21(,
38、;, .,1 例 已知分布律求其边缘分布律。解:3)连续型随机变量的边缘概率密度 的 边 缘 概 率 密 度 。关 于为 连 续 型 随 机 变 量称由 于 的 边 缘 概 率 密 度 。关 于为 连 续 型 随 机 变 量称 , 由 于的 概 率 密 度 为定 义 : 设 随 机 变 量 YXxyfxf yxfFff xyfxFfYXY xX),(d),()( d),(),(),()( ,d),(),(),( 例 5 设二维随机变量 的概率密度函数为 = YXf ,00,1),2(8.4其 它 xyxy求边缘概率密度.解 的边缘概率密度为X)(),()( xdyxffX对任意 , x xy0
39、20 (4.)28.4, ;10x其它, = ; )(fXdyY 的边缘概率密度为 )(),()( ydxyffY对任意 , ;10y1 2)43(.28.4y ydxyXY 0iixPpXY jjyYPp1749261327491261p734912p0014962 xyD01:xy15其它, = 。)(yfY0d可知边缘密度为: , =其 它, 10),2(4.)(xxfX )(yfY .,010),43(.22其 它 yy习 题 三 9.设二维随机变量 的分布密度函数为 =),(Y),(f 其 它,)43(xeAyx求(1)常数 ;(2) , 的边缘概率密度.(3)AX.20,1YXP解
40、:(1)由 =1,即 ,dxyf)(0)43(1dxye 120043Adyex, 因此 = 12A),(f ,2)43(其 它eyx(2)X 的边缘概率密度为 )()(xdfxfX当 , = = = ;0x)(xfXdy),(004312dyexe3当 , = 。0Y 的边缘概率密度为 )(),()( yxyfyfY当 , = = = ;当 ,0y)(fYdx,04312dxeye40= 。)(fYd边缘密度为: = , =)(xfX,003其 它xe)(yfY,04其 它 ye(3) = )1(83e210YP102)43(dxey12043dxy0:yxDyO16 .,0,1)(6) ,
41、d016d,(0)d),)( .,0,1)(6) .,d016d)(0,d),)( )(.,06),(222 22110其 他 其 他其 他其 他 其 他其 他即即:解 : , 求 边 缘 概 率 密 度其 他的 联 合 概 率 密 度和设 随 机 变 量例 yyf xyxfxfyf xf yxyfxyxff yyxD yfxfxxfYXY yYX x YX5二维随机变量的相互独立性 的 。是和则 称 随 机 变 量 即,有,若 对 于 所 有 函 数 。的 分 布 函 数 及 边 缘 分 布量分 别 是 二 维 随 机 变,及设) 定 义 相 互 独 立YX yFxyyYPxXyYxPyxF
42、F YX),(),(, ),( )(),(1 2)相互独立的等价条件 ).(),( )(,),()( ., ,21,),()1( yfxyfYX yfxpyYPxXYPjipjiX YXjiijjiji j相 互 独 立和 , 则, 边 缘 概 率 密 度 分 别 为的 联 合 概 率 密 度 为设 连 续 型 随 机 变 量 , 即相 互 独 立和 , 则的 联 合 分 布 律 为设 离 散 型 随 机 变 量 相 互 独 立 。和是 连 续 函 数又 若 相 互 独 立 。和相 互 独 立和推 广 : 也 相 互 独 立 。和相 互 独 立和 ),(),(, ),21(21),)( 212
43、1 nmjinm Yghgh nYgf 习 题 三 6.随机变量 在矩形域 上服从均匀分布,求二维分布密度及边缘分布),(YXdycbxa密度.随机变量 及 是否独立?解: 具有概率密度 =),(YX),(yxf.,0,)(1否 则 dycbxac的边缘密度为 )()()(dffX,即 其 它,0)(1dy bycabxacba bxabxfX,01)(2xy)1,(yDOdycyaxbxD:17同理得 的边缘分布密度为 =dycd,01Y)(yfY故 = ,随机变量 及 是独立的),(yxf(fX)YX习 题 三 10.设随机变量 的分布密度函数为 = , ),(yxf其 它,0,10,2yxc(1)求参数 ;(2)证明 与 相互独立.cY解:因为 =1,即 , dxyf),(1021d