1、1 页四、线性方程组（一）齐次线性方程组 1 . n 个变量 m 个方程的齐次线性方程组记则方程组（ 1 - 83 ）可记作其中 A 称为方程组（ 1 - 8 - 3 ）的系数矩阵。式（ 1 - 8 - 4 ）是一个向量方程，它的解称为方程组（ 1 - 8 - 3 ）的解向量。2 齐次线性方程组通解齐次线性方程组（ 1 8-3 ）的全体解向量所组成的向量组记作 S , S 的最大无关组称为齐次线性方程组（ 1 -8-3 ）的基础解系。定理设齐次线性方程组（ 1 8-3 ）的系数矩阵 A 的秩 R ( A ) = r , ，则其解集 S 的秩为 n - r ，即它的基础解系含 n - r 个线性
2、无关的解向量。其中 kl ，k 2， ， k n-r，为任意实数。（二）非齐次线性方程组 1 非齐次线性方程组记2 页则式（ 1 - 85 ）可记作其中 b 0 , A 称为方程组（ 1-8-5 ）的系数矩阵。当 b 用 0 代替，式（ l 8-6 ）即成式（1-8-4 ） 。( l 8-4 ）称为非齐次方程组所对应的齐次方程组。方程组（ 1-8 - 5 ）如果有解就称它是相容的 （1 8-6 ) 如果无解则称它不相容。记B 称为方程组（ 1-8 - 5 ）的增广矩阵。定理 非齐次线性方程组（ 1 - 8 - 5 ）有解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，即 R ( A ) =
3、R ( B ） 。当 R ( A ) = R ( B ) n 时方程组（ 1 - 8 - 5 ）有唯一解；当 R ( A ) = R ( B ) n 时方程组（1- 8 - 5 ）有无限多个解。2 非齐次线性方程组的通解（三）用初等行变换解线性方程组把齐次方程组的系数矩阵化为行最简形，即可写出它的通解。把非齐次方程的增广矩阵化为阶梯形，即可知它是否有解；在有解时继续化为行最简形，即可写出它的通解（参看例 18 - 14 与例 1 - 8 -15 ) 。（四）例题 【 例 1 - 8 - 13 】已知方程组有无穷多个解，则参数 ( A ) 0 3 页( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 3可知当 1 , R ( A ) = 2 , 3 时 R ( A ) = 3 ，方程组有唯一解，故（ B ) 与（ D ）不合；当 0 时 R ( B ) = 3 ，无解，故（ A ）不合；当 2 时 R ( A ) = R ( B ) = 2 ，有无穷多个解，故应选（ C ） 。【 例 1- 8 - 14 】 求解方程组【 解】用初等行变换，把系数矩阵化为行最简形：【 例 1- 8 - 15 】 求解方程组【 解 】把增广矩阵化为行最简形：4 页
