1、13 级研究生现代数字信号处理作业（I）完成人 1：姓名（学号）完成人 2：姓名（学号）完成人 3：姓名（学号）完成人 4：姓名（学号）完成人 5：姓名（学号）XXXX 年 XX 月 XX 日13 级研究生现代数字信号处理作业题（I）一、已知模拟信号 ，现以采样频率 对其进行均匀采样，得到离散时间信,km50sfHz号 。假设从 时刻开始采样，共采样 个点，分析以下问题：()xn0tN（1）写出 的表达式。采样周期：/.2ssTf的表达式为：()xn)cos(10.2)cos(10.2)as nn整理得： ()0.4.4n（2）判断 是否为周期序列，如果是周期序列，确定其最小周期。x设信号周期
2、为 ，则根据周期性定义有关系：T()n带入 表达式得：0.42k 0.42m其中 k 和 m 取正整数，最终算得最小周期 (s)50T（3）如果使用 FFT 对 进行频谱分析，并能分辨出 中的频率成份，请确定最小的()xn()axt值是多少？N由公式 可知 FFT 最小频率分辨力为 ，根据题目知1ssfkNT 1ssfNT，代入公式解得 。10fHz50（4）写出 Matlab 环境下，基于 FFT 算法对该信号进行频谱分析的程序，参数使用（3）中确定的参数，要求绘制出信号的时域图形和频谱图。程序：clear all; close all;fs=500; N=50; t=(0:N-1)*(1.
3、/fs); n=0:N-1;xn=cos(2.*pi.*100.*t)+cos(2.*pi.*110.*t);subplot(2,1,1)stem(n,xn,fill);xlim(0,60); xlabel(n); ylabel(X(n);title(离散序列);grid on;M=50; n=0:M-1; f=500*n/M;Xk=fft(xn,M);subplot(2,1,2)stem(f,abs(Xk),fill);xlim(0,250); xlabel(f); ylabel(|X(f)| 2);title(离散序列频谱)grid on;图形：（5）在采样点数 不变的情况下，通过补零可以
4、增大 的长度，补零增长后再基于N()xnFFT 进行频谱分析，谱分析的分辨能力是否有所提高，为什么？信号的补零，不会引入更多的信息，因此只能提高 DFT 分析的频谱密度，而无法提高DFT 分析的频谱分辨力，提高频谱分辨力在采样频率一定的情况下，只能通过增加对信号的采样点数来实现。二、关于相关运算，分析下面的问题（1）写出序列 与 的相关运算 的计算公式，分析其与卷积运算之间的关系。()xny()xyrm定义 与 的相关运算 的计算公式如下：()()()xynnrmyn定义 与 的卷积计算公式如下：()()kxk故推得两者关系如下： xyry（2）写出序列 的自相关序列 的计算公式，并用 的傅立
5、叶变换 表()n()xrm()xn()jXe示 的傅立叶变换 。()xm)jRe已知 的傅立叶变换为 ，则由傅立叶变换性质知 的傅立叶变换为jXm，又有（1）知 ，则由时域卷积定理得：jXe()xr2()() ()jjjjjjReeXe（3）若 ，求其自相关序列，并判断其自相关序列的周期。2cosnxN将 代入自相关函数计算公式，由积化和差知识化简得：()()142()cscos()cos()2xn nmmrmNN 是关于 的函数，故 周期为 。()xrm()xrmTN三、关于希尔伯特变换，分析以下问题：（1）希尔伯特变换的定义；给定一连续时间信号 f(n) ，其希尔伯特变换定义为： 1()1
6、()1()() ()fftftHftddxtt给定一离散时间信号 x(n) ，其希尔伯特变换定义为： 2()()()xnmxn（2）希尔伯特变换都有哪些主要性质；1、希尔伯特变换保持能量守恒，即信号通过希尔伯特变换器后，信号频谱的幅度不发生变化。2、 与 互为奇偶函数。()ft3、 与 相互正交。4、若 , , 的希尔伯特变换分别是 , , ，且()xt12()t ()xt12()t，则：12()t12()()txt（3）何为解析信号，其频谱具有什么样的特征？给定一连续时间信号 ，其解析信号定义为：f()()ztfjt定义 的希尔伯特变换 ，与之对应的傅立叶变换分别为 和 。()ft ()Fj
7、()j有希尔伯特变换定义知： ()0()jFj则解析信号 的频谱函数 计算式如下：zt()Zj2()()0jZj故解析信号的信号频谱仅含正频率成分，利用这一特征能降低信号的抽样率。四、若窄带信号的最高频率是 5KHz，最低频率为 4KHz，对其进行采样，试确定最小的采样频率？如果信号的最低频率是 3.7KHz，最小的采样频率应取多少。1、窄带信号满足 ，其中 为正整数，故最小采样频率可取()HBHLfkfk2sBfz2、信号最低频率改为 3.7Hz 后，不再满足 条件。()BHLff由窄带信号采样定理，采样频率 满足条件 时，采样后频域不会发sf 1HsN生频率混叠，其中 取大于 2 的正整数
8、，由此算得 ， 最小值取 。Nmax3sf103kHz五、总结对正弦信号进行采样应该注意的问题。1、信号相位已知时，可以以 进行采样。2smf2、信号相位未知时，采用 ， 取大于等于 3 的正整数，即倍频采样。k因原信号表达式 中含三个未知数，故至少需要三个方程，0()in()ftAf即单周期内至少要三个采样点，即可获得原信号全部信息。3、对正弦信号采样，截断时，应为整周期。4、对采样以后的信号不宜进行补零。六、关于 FFT，分析以下问题：（1）FFT 的含义是什么？英文全称 Fast Fourier Transformation，中文解释快速傅立叶变换。（2）以 为例，分别绘制基-2 时间抽
9、取 FFT 算法和分裂基 FFT 算法的蝶形流程图。8N（3）设 是长度为 的有限长实序列， 是 的 点 DFT，试设计用一次()xn2N()Xkxn2N点 FFT 完成计算 的高效算法。N()Xk1、定义新实序列 ， ，其中 ，两者1xn21x01,组成 点复序列 。()zj2、对 调用 点 FFT 算法程序得到 点复序列 ，此时若设 和 对()znN()Zk1()xn2应的 DFT 为 和 ，则有关系：1k2()1()()XZ2 )3、那么原序列 的 点 DFT 的前 个点序列为：()xn2N()XkN，其中1()kkW0,12,的后 个点序列为：X，其中2()()kN,1（4）用一次 N
10、 点 FFT 可完成两个 N 点实序列的 DFT 的计算，试给出相应的算法。已知两个 点是序列 和 ，对应的 DFT 为 和 ，现定义新 点1xn()Xk2()N复序列 ，对 调用 点 FFT 算法程序得到 点复序列 ，2()()znj()z ()Zk则有关系： 12XkZk()()N七、若已知一数字滤波系统的单位取样响应序列为： ， ，分析15()0.nh30以下问题：（1）说明该滤波器是 FIR 数字滤波器还是 IIR 数字滤波器。（2）计算该系统的相频响应，并说明这样的相频响应对信号处理有什么好处？（3）如果该数字滤波系统的输入信号为 ，其长度为 620，系统的输出信号为 ，()xn()
11、yn请给出三种计算 的方法并分析运算量。()yn（4）假设采样频率 ，输出信号 相对于输入信号 ，会延迟多长时间？50sfHzy()xn（5）分析该系统是否为最小相位系统，并说明原因。八、关于离散余弦变换，分析以下问题：（1）离散余弦变换的定义，其中 ，102(21)()()()cosNc nnkXkDCTxnckx0,12,N1()21kN（2）离散余弦变换的典型特点是什么？DCT 具有能量集中的特点。（3）分析离散余弦变换用于数据压缩的原理。DCT 具有把图像的重要可视信息都集中于 DCT 变换的小部分系数中。原理如下： 1,.2,0,)(1,.2,0)( ;,.;1,.0 2)1(cos
12、2)1(cos)()()(10 NvcMucNvu vyuxyxfcFMxy 九、信号 中有一定的高频噪声干扰，干扰信号的频率在 40005000Hz 之间，设计一个()xt数字滤波系统，滤除干扰信号，要求：通带截止频率为 2000Hz，通带衰减不大于 3dB，阻带截止频率为 4000Hz，阻带衰减不小于 40dB，滤波器的频率响应无起伏波纹。（1）绘制该系统的组成框图，为系统选择合适的采样频率，并说明原因。模拟滤波采样A/D转换数字滤波D/A转换补偿重构x(t) )(txa)(nTa)(xy(n) )(tyay(t)，其中 是干扰信号，由题意知， 最高频率 为 5kHZ，()()aXtxvt
13、()t ()aXtmf故根据信号采样定理，应选取采样频率 进行信号采样。210smfkHz（2）选择数字滤波器的类型，并说明原因。选择巴特沃什滤波器，因为要求滤波器的频率响应无起伏波纹。（3）基于 Matlab 设计该滤波器，写出该滤波器的系统函数 ，并绘制所设计的数字()Hz滤波器的幅频及相频响应。程序：clear all; close all;Fs=10000;fp=2000; rp=3; fs=4000; rs=40;wp=2*pi*fp; ws=2*pi*fs;N,Wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s); b,a=butter(N,Wn,s);B,A=bilinear(b,a,Fs);H,W=freqz(B,A);subplot(211);plot(W*Fs/(2*pi),abs(H);xlabel(频率 );ylabel(幅值);title(幅频响应);grid on;subplot(212);plot(W*Fs/(2*pi),angle(H);xlabel(频率 );ylabel(相位);title(相频响应);grid on;图形：该滤波器的系统函数 表达式如下：()Hz12345670.3.20.63.105.0.63.021.3()1849579214zzzzzHz
