1、数学高一专题系列之 二次函数再研究1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的一元二次cbaxy,(2)0ayx函数.2.二次函数 的性质2ax(1)抛物线 的顶点是原点，对称轴是 轴 .y）（ 0y(2)函数 的图像与 的符号关系：当 时 抛物线开口向上 顶点为其最2x0a低点； 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点a3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线.cby2 y4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中xkhxay2.akabh422，5.抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .cxy2 决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 越
2、小，00aa抛物线的开口越大， 越大，抛物线的开口越小。a对称轴为平行于 轴(或重合)的直线，记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxy0x定点是抛物线的最值点，坐标 为( , )。hk6.抛物线的顶点、对称轴顶点是 ，对称轴是直线 .），（ abc422abx2运用配方法将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是khyhk.hx(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.a2ax(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,b cbxy2 abx2故： 时，对称轴为 轴； 时,对称轴在 轴左侧； 时,对称轴在 轴右0by0aby0aby侧.(
3、3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置 .ccxy2y7. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ； ；2axykx22hakhxa2.cb图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy( 轴)0xy(0,0)k( 轴) (0, )k2hxyhx( ,0)hka( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，8.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy(2)顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh(3)交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、
4、，通常选用交点式：x1x2.21xay9.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1) 轴与抛物线 得交点为( )cbxay2c,0(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,hbxay2 h).cbha2(3)抛物线与 轴的交点x10.二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次cbay2x1x2方程的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根02cbxa的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点( 顶点 在 轴上 ) 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点x题型一：
5、基础回顾1函数 在 上是增函数，则实数 的范围是（ ）2)1()(2xaxf )4,(aA B C D a53a5变式练习 2已知函数 ，若对于任意的 都有 ，则实数2()1fxm,1xm()0fx的取值范围为 .m3函数 若 在区间 上单调递减，则 的取值范围 2(),.fabR()f(,)a4. 已知函数 2()4fx在区间 0,m（ ）上的最大值为 4，最小值为 3，则实数 m 的取值范围5已知函数 2()fxb（1）若 b=2，求不等式 的解集；()0f（2）若不等式 的解集为 R，求实数 b 的取值范围。fx题型二：技能拓展1、二次函数 的图象如图 1 所示，2(0)yaxbc则下列
6、说法不正确的是（ ）A B C D240bcc02ba2如果抛物线 的开口向上，那么 m 的取值范围是 2)1(xmy3已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是（4，0） ， （2，0） ，则这条抛物线的对称轴是直线 _ 4已知抛物线 y=ax2+bx+3 的对称轴是直线 x=1（1）求证：2a+b=0；（2）若关于 x 的方程 ax2+bx8=0 的一个根为 4，求方程的另一个根变式练习5，函数 的定义域 。2lg(1)xf6，已知方程 在 内有解：则 m 的取值范围是 0)m(22，7，函数 在区间 上的最大值 与最小值 的和 xy4,MN8，已知：抛物线 2(1)yxbc经
7、过点 (12)Pb， （1）求 bc的值；（2）若 3，求这条抛物线的顶点坐标；1(2014湖北， 9)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x 23x .则函数 g(x)f(x)x 3 的零点的集合为 ( )A1 ，3 B 3，1，1，3C2 ，1，3 D2 ，1，37 72(2015浙江， 7)已知 a，b，c R，函数 f(x)ax 2bxc.若 f(0)f (4)f(1)，则( )Aa0，4ab0 Ba0，4ab0Ca 0，2ab0 Da0，2ab3(2014北京， 14)已知 f(x)m(x2m)( xm3)，g(x )2 x2.若x R，f (x)0 或 g
8、(x)0，则 m 的取值范围是 _课后练习1如果方程 x2(m1)xm 220 的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，那么实数 m 的取值范围是( )A( ， ) B(2，0)2 2C(2，1) D(0，1)2已知幂函数 yf (x)的图象过点 ，则 log4f(2)的值为( )(12， 22)A. B 14 14C2 D23若 f(x)(m2) x2mx(2 m1)的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1 ，2)内，则 m 的取值范围是( )A. B.( 12， 14) ( 14， 12)C. D.(14， 12) 14， 124已知 a 是正实数，函数 f(x)ax 22ax1，若 f(m)0，比较大小：f(m2)_1(用“”或“”或“”连接)5设函数 f(x)x|x |bx c，给出下列四个命题：c0 时，f( x)是奇函数；b0，c 0 时，方程 f(x)0 只有一个实根；f(x)的图象关于(0，c)对称；方程 f(x)0 至多有两个实根其中正确的命题是( )A B C D6已知实数 a，b，c 满足 abc ，且 abc0.若 x1，x 2 为方程ax2bxc0 的两个实数根，求| x x |的取值范围。21 27已知幂函数 y(m 2m 1) xm22m3 在区间 (0，)上为减函数，求 m的值
