1、数学建模南华大学数学建模协会会长：高立刚学号：20144390123如何施救药物中毒摘要本文就生活中如何施救药物中毒的问题给予方案予以研究。同时本文就采用活性炭吸附法和血液透析法治疗药物中毒的血液中药量的变化进行研究。通过对问题的分析和合理的假设，建立了基于房室模型的微分方程的数学模型,根据题目实际情况，得到相关数据，并 MATLAB 软件进行相关的方程求解及画图可以得到较为准确的结果。其中，采用活性炭吸附法，施救后药量最大值出现在服药约 5 小时后，而远低于致命水平，所以采用活性炭吸附可以对病人进行很好的医治。而采用体外透析法，血液系统的药量下降迅速，医治效果明显；但是体外透析有一定危险性，
2、是否采用这种方法，医生应综合考虑并征求家属及病人意见。通过对具体问题的求解，可以利用这个模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量，以此给医生治疗提供依据，提高治疗效率。关键词：微分方程模型 房室模型 活性炭吸附 半衰期一问题重述一天夜晚，你作为见习医生正在医院内科急诊室值班，两位家长带着一个孩子急匆匆进来，诉说两小时前孩子一口气误吞下 11 片治疗哮喘病的、剂量为每片 100mg 的氨茶碱片，已经出现呕吐、头晕等不良症状。按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 100200mg，儿童是 35mg/kg，如果过量服用，可使血药浓度（单位血液容积中的药量）过高，当血药溶度
3、达到 100 /ml 时，g会出现严重中毒，达到 200 /ml 则可以致命 67。g作为一位医生你清楚地知道，由于孩子服药是在两小时前，现在药物已经从胃进入肠道，无法再用刺激呕吐的方法排除。当前需要作出判断的是，孩子的血药浓度会不会达到 100 /ml 甚至 200 /ml，如果达到，则临床上应采gg用紧急方案来救治孩子；如果没有达到，临床上应该采用何种方案来救治孩子。2问题调查与分析人体服用一定量的药物后，血药浓度与人体的血液总量有关。一般来说，血液总量约为体重的 7%8%，即体重 5060kg 的成年人有 4000ml 左右的血液。目测孩子体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为 20
4、00ml。由此，血液系统中的血药浓度与药量之间可以互相转换。药物口服后迅速进入肠道，再由胃肠道的外壁进入血液循环系统，被血液吸收。胃肠道中药物的转移率，即血液系统的吸收率，一般与胃肠道中的药物成正比。药物在被血液吸收的同时，又通过代谢作用由肾脏排出体外，排除率一般与血液中的药量成正比。如果认为整个血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立所谓一室模型。血液系统对药物的吸收率和排除率可以由半衰期确定，从药品说明书可知，氨茶碱吸收的半衰期约 5h，排除的半衰期约 6h。如果血药浓度达到危险的水平，临床上施救的一种方法是采用口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到
5、原来（人体自身）的 2 倍，另一种方法是进行体外血液透析，药物排除率可增加到原来的 6 倍，但是安全性不能得到充分保证，建议尽量少用。三问题假设1.胃肠道中药物向血液系统的转移率与药量 x(t)成正比，比例系数记作（0） ，总剂量 1100mg 的药物在 t=0 瞬间进入胃肠道。2.血液系统中药物的排除率与药量 y(t)成正比，比例系数记作 （0） ，t=0 时血液中无药物。3.氨茶碱被吸收的半衰期为 5h，排除的半衰期为 6h。4.孩子的血液总量为 2000ml。四符号说明x(t):胃肠道中药量；y(t):血液系统中药量；z(t):采取相应措施后，血液系统药量；:x(t)下降的速度与 x(t
6、)的比例系数；：y(t)减少的速度与 y(t)的比例系数；五模型建立与求解5.1 模型的建立根据假设对胃肠道中药量 x(t)和血液系统中药量 y(t)建立如下模型。由假设 1，x(0)=1100mg,随着药物从胃肠道向血液系统的转移，x(t)下降的速度与 x(t)本身成正比（比例系数 0） ，所以 x(t)满足微分方程,(0)1dxt（1）由假设 2，y(0)=0，药物从胃肠道向血液系统的转移相当于血液系统对药物的吸收，y(t)由于吸收作用而增长的速度是 ，由于排除而减少的速度与xy(t)本身成正比（比例系数 0） ，所以 y(t)满足微分方程,(0)dyxyt（2）方程（1） ， （2）中的
7、参数 和 可由假设 3 中的半衰期确定。5.2 模型的求解微分方程（1）是可分离变量方程，容易得到（3）()10txte表明胃肠道中的药量 x(t)随时间单调减少并趋于 0。为了确定 ，利用药物吸收 3 的半衰期为 5h，即 得 =(In2)5()10()/21/,xex/5=0.1386（1/h） 。将（3）代入方程（2） ，得到一阶线性微分方程，求解得10()()ttyte（4）表明血液系统中的药量 y(t)随时间先增后减并趋于 0。为了根据药物排除的半衰期为 6h 来确定 ，考虑血液系统只对药物进行排除的情况，这时 y(t)满足方程 ，若设在某时刻 有 ，则dyt()ya。利用 ，可得
8、=（In2）/6=0.1155（1/h） 。()(),tytae(6)/2a将 =0.1386 和 =0.1155 代入（3） ， （4） ，得（t 的单位：h；x，y 的单位：mg）0.1386()txte（5）0.150.1386()6()ttyte（6） 5.3 结果分析用 MATLAB 软件对（5） ， （6）作图，得图 1.0 5 10 15 20 25020040060080010001200x(t)y(t)t/hx,y/mg图 1 胃肠道中药量 x(t)和血液系统中药量 y(t)根据假设 4，孩子的血液总量为 2000ml，出现严重中毒的血药浓度和致命的血药浓度 分别相当于血液中
9、药量 y 达到 200mg10/gml20/gml和 400mg。由图 1 看出，药量 y 在约 2h 达到 200mg，即孩子到达医院时已经出现严重中毒；如不及时施救，药量 y 将在约 5h（到医院后 3h）达到 400mg。由（6）容易精确地算出孩子到达医院时血液中药量 y(2)=236.5mg，而计算药量达到 400mg 的时间（记作 ） ，则需要解非线性方程1t，用 MATLAB 软件计算可以得到 =4.87h。110.50.386()4tte1t由图 1 还可以看出，血液中药量 y(t)达到最大值的时间约在 t=8h，即到达医院后 6h，其精确值可由方程（2）或解（4）计算，记作 ，
10、2t=7.89h，2(/6)Int且 442.1mg。2()yt六.解决方案根据模型计算的结果，如不及时施救，孩子会有生命危险。根据调查，如采用口服活性炭来吸附药物的办法施救，药物的排除率可增加到 的 2 倍，即0.2310。让我们计算一下，采用这种施救方案血液中药量 y(t)的变化情况。设孩子到达医院时刻（t=2）就开始施救，前面已经算出 y(2)=236.5,由（2） ， （3） ，新的模型为（血液中药量记作 z(t)）,210,(2)36.5tdzxtxezt （7）仍是一阶线性微分方程，只不过初始时刻为 t=2，当 =0.1386（不变）而=0.2310 时， （7）的解为0.1386
11、0.231()595,t tztee（8）用 MATLAB 软件对（8）作图，如图 2.0 5 10 15 20 25020040060080010001200x(t)y(t)z(t)t/hx,y,z/mg图 2 施救后血液系统中药量 z(t)（活性炭吸附法）由图 2 可看出，施救后血液中药量 z(t)达到最大值的时间约在 t=5h，即到达医院施救后 3h，其精确值可由（8）算出，记作 ， =5.26h，且3t=318.4mg，远低于 y(t)的最大值和致命水平。3()zt图 2 还表明，虽然采用了口服活性炭来吸附药物的办法施救，血液中药量z(t)仍有一段时间在上升，说明用这种方法药物的排除率
12、增加还不够大。不妨计算一下，如果要使 z(t)在施救后（ ）立即下降，排除率 至少应该多大。2tz(t)在 t=2 取得极大值，相当于 t=2 时（7）式满足（9）22()0ttdzxz由（5）算出 ，再利用前面已有的 和 ，立即(2)83.7x()36.5z0.1386得到 ，约为原来（人体自身 ）的 4.2 倍。0.450.1如果采用体外血液透析的办法，药物排除率可增加到，.16.93血液中药量下降更快，根据此时 的值重新求解（7）：0.13860.693()252,2t tztee（10）并用 MATLAB 软件作图：0 5 10 15 20 2502004006008001000120
13、0x(t)y(t)z(t)t/hx,y,z/mg图 3 施救后血液系统中药量 z(t)(体外透析法)由图 3 可看出，z(t)在进行透析后，药量下降速度很快，说明用这种方法药物的排除率增加大；但是体外透析存在一定的危险性，所以临床上究竟是否需要采用这种方法，应由医生综合考虑并征求病人和家属意见后确定。七模型的评价本模型建立在不受任何外界影响下胃肠道中和血液系统中的药量浓度，如果还有其他因素影响，此模型就不是那么的准确了。八模型的推广利用这个模型可以确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量，以此给医生治疗提供依据，提高治疗效率。九参考文献1姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.4 版
14、.北京：高等教育出版社，2011：9-132姜启源，谢金星，叶俊.数学模型习题参考解答.4 版.北京：高等教育出版社，2011：1-23Selco J I,Beery J L.Saving a Drug Poisoninng Victim,UMAP ILAP Modules,2000.4http:/ 1 代码：t=0:0.01:25;x=1100.*exp(-0.1386.*t);y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t);plot(t,x,-b,t,y,-b)grid on;text(4,650,x(t);text(3,300,y(t);xlabel(t
15、/h); ylabel(x,y/mg)图 2 代码：t=0:0.01:25;x=1100.*exp(-0.1386.*t);y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t);z=1650.*exp(-0.1386.*t)-1609.5.*exp(-0.2310.*t);plot(t,x,-b,t,y,-b,t,z,-b);grid on;text(4,650,x(t);text(10,410,y(t);text(7,250,z(t);xlabel(t/h); ylabel(x,y,z/mg)图 3 代码：t=0:0.01:25;x=1100.*exp(-0.1386.*t);y=6600.*(exp(-0.1155.*t)-exp(-0.1386.*t);z=275.*exp(-0.1386.*t)+112.3.*exp(-0.6930.*t);plot(t,x,-b,t,y,-b,t,z,-b);grid on;text(4,650,x(t);text(10,410,y(t);text(7,150,z(t);xlabel(t/h); ylabel(x,y,z/mg)
