1、1十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法【重点难点解析】1二次三项式多项式 ，称为字母 x 的二次三项式，其中 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项例cbxa2 2ax如， 和 都是关于 x 的二次三项式3x65在多项式 中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式；如果把 x 看作常数，就228yx是关于 y 的二次三项式在多项式 中，把 ab 看作一个整体，即 ，就是关于 ab 的二次三项372ab 3)(72a
2、b式同样，多项式 ，把 xy 看作一个整体，就是关于 xy 的二次三项式12)()(2yx十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法2十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(axb)(cxd) 竖式乘法法则它的一般规律是：（1）对于二次项系数为 1 的二次三项式 ，如果能把常数项 q 分解成两个因数 a，b 的积，并且qpx2ab 为一次项系数 p，那么它就可以运用公式 )()(2 bxabxa分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 公式中的 x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
3、当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同（2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式 (a，b，c 都是整数且 a0) 来说，如果存在四个整x22数 ，使 ， ，且 ，21,caa21c21 bca121那么 它的特征是“拆两头，凑中间”bx )()( 21cxax，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是 1 的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符
4、号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母如： )45(286522 xyx3因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”
5、 【典型热点考题】例 1 把下列各式分解因式：（1） ；（2） 52x2265yx点悟：（1）常数项15 可分为 3 (5) ，且 3(5) 2 恰为一次项系数；（2）将 y 看作常数，转化为关于 x 的二次三项式，常数项 可分为(2y )(3y)，而( 2y)(3y)6(5y )恰为一次项系数解：（1） ；)5(3152xx（2） 6yy例 2 把下列各式分解因式：（1） ；（2） 35x382x点悟：我们要把多项式 分解成形如 的形式，这里 ， 而cba )(21caxa21c213bca121解：（1） ；)3(1235xx（2） )(832点拨：二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十
6、字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性例 3 把下列各式分解因式：（1） ；9024x（2） ；)(2)(5)(73yxy（3） 10882aa点悟：（1）把 看作一整体，从而转化为关于 的二次三项式；x2x（2）提取公因式(xy)后，原式可转化为关于( xy) 的二次三项式；（3）以 为整体，转化为关于 的二次三项式)82a8(2a解：（1） )91(910224 xx(x1)(x1)(x3)( x3)（2） )(2)(5)73yy(2xx(xy)(xy)17(xy )2(xy)(x
7、y 1)(7x7y 2)（3） 120)8(2)82aa1()08)(622aa4点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止例 4 分解因式： 90)24)(32(2xx点悟：把 看作一个变量，利用换元法解之x2解：设 ，则y原式(y3)(y24)90 16272(y18)(y9)92)(182xx点拨：本题中将 视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解)9(186272yy例
8、 5 分解因式 65324xx点悟：可考虑换元法及变形降次来解之解：原式 8)1()(622xx，50)12x令 ，则y原式 )506(2x13y)0)(52(xx3122)()(xx5点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原” ，这是一个重要环节例 6 分解因式 652yxyx点悟：方法 1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(xy )的二次三项式方法 2：把字母 y 看作是常数，转化为关于 x 的二次三项式解法 1： 652yxx)()(2y65x)(1(y解法 2： 652xx)(y
9、y)1(652xxy)y(xy6)(xy 1)例 7 分解因式：ca( ca)bc(bc) ab(ab)点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组解：ca(ca) bc(bc)ab(ab)22)()()( baacb2 )()(abcba(ab)(ca)( cb)6点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组此题展开四项后，根据字母 c 的次数分组，出现了含 ab 的因式，从而能提公因式随后又出现了关于 c 的二次三项式能再次分解例 8 已知 有一个因式是 ，求 a 值和这个多项式的其他因式1264x42x点悟：因为 是四次多项式，有一个
10、因式是 ，根据多项式的乘法原则可知道另42x一个因式是 （a、b 是待定常数） ，故有 根据32x 164x2()3()2bxax此恒等关系式，可求出 a，b 的值解：设另一个多项式为 ，则2x1624x)3)(2ba，12)4(4234 xbaxx 与 是同一个多项式，所以其对应项162 12)43()3xba系数分别相等即有由、解得，a1，b1，代入，等式成立 a1，另一个因式为 32x点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视【易错例题分析】例 9 分解因式： 221035yab错解：
11、105(2)，515，551(2)23，7 原式(5ab5y)( 2ab5y) 警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤正解： 515，105(2) ， 551 (2)23 原式(ab5y)(5 ab2y) 【同步练习】一、选择题1 如果 ，那么 p 等于 ( )(2 bxaqpxAab Bab Cab D(ab)2如果 ，则 b 为 ( )305)(22 A5 B6 C5 D63多项式 可分解为(x5)(xb) ，则 a，b 的值分别为 ( )a32A10 和2 B10 和 2 C10 和 2 D10 和24不能用十字相乘法分解的是 ( )A B2x xx3102C D 865y5分解结果等
12、于(xy4)(2x2y5)的多项式是 ( )A 20)(13)yB (2xxC )()yyD 209(22x6将下述多项式分解后，有相同因式 x1 的多项式有 ( ) ； ； ；72x32652x ； ； 95485x14A2 个 B3 个 C4 个 D5 个二、填空题87 _1032x8 (ma)( mb)65a_，b_9 (x3)(_)32x10 _ (xy)(_)211 22 _)_)amn12当 k_时，多项式 有一个因式为(_)kx73213若 xy6， ，则代数式 的值为_61323xyy三、解答题14把下列各式分解因式：（1） ； （2） ；6724x 36524x（3） ； （
13、4） ；415y687ba（5） ； （6） 234a 424915把下列各式分解因式：（1） ；（2） ；2)(x9)2(x（3） ；31（4） ；60)(7)(22xx（5） ；8（6） 4)2(1)(ba16把下列各式分解因式：（1） ；xba)(2（2） ；)(qpqpx（3） ；81023yxy（4） ；342x9（5） ；120)7)(23(2 xx（6） 4yyy17已知 有因式 2x5，把它分解因式6923xx18已知 xy2，xya4 ， ，求 a 的值63y参考答案【同步练习】1D 2B 3D 4C 5A 6C7(x 5)(x2) 81 或6，6 或 1 92x 110xy
14、，x2y 11 ， a,24mn122，3x1 或 x2 131714 （1） 原式 )6(1)()(2xx（2） 原式 49)(3)(2xx（3） 原式 )162y4()2(xyx（4） 原式 )833ba)()( 2222 baba（5） 原式 )456)3(12（6） 原式 )974242ba)(4(2ba)3(15 （1） 原式 2(2xx10)1(3)(xx（2） 原式 32)(2xx13（3） 原式 )3213()2( 22 xxxx)1()45(2x（4） 原式 5(22xx)3(x（5） 原式 )12(8(2xx)14)(x（6）原式 )(62(ba16 （1） 原式 1()x（2） 原式 )(qpqpx)(22（3）原式 )8103(yxyx)24)2(2yxx)(3(（4） 原式 310422 yxyx)(3)1(2yxx（5） 原式 120)4()2(x5)6(2xx11120)5(2x)5(x6)(22x)(15x（6） 原式 42222 1)(yxy3)(4(2xyx)252y()(2xyx17提示： )5()60197(23x)(412xx18 )223yy，)(2xyx又 ，xya4， ，263yx 26)(32解之得，a7
