1、1分式求值的技巧点拨在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。一、巧用配方法求值例 1 已知 求 的值。01x524x1解：由 ，由此得2知 5 2)x1(x24527)(2说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。二、巧用因式分解法求值例 2 先化简，再求值：。其中 ， 。1nm)nm( 222 231231n解：原式= )()(2nm1n)( ，231231n2 ，1)23)(mn 4)23()(nm 4原 式说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其
2、是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。三、巧用整体代入法求值例 3 已知 ，求 的值。3b1aba2解：由 变形得 ，代入所求式得：3原式 ab2)(353a6说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。四、巧设参数（辅助未知数）求值例 4 已知实数 x、y 满足 x:y=1:2，则 _。yx3解：设 ，则 ， ，故原式k21k231k2说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。五、巧用方程（或方程组
3、）求值例 5 已知 ， ，a 、b、c 均不为 0，求0cb3a06ba3的值。2233acba4解：解方程组 ，得0c6ba3c3b4a原式 2223c1)c()4(= 31说明：将已知的等式看成方程（或方程组） ，先用其中的一个字母表示出其他的两个字母，并代入所求的分式进行运算是本题求解的关键。六、巧用变形方法求值例 6 已知 ，且 ，则0zyxxyz 22222 zyx1z1x1=_。解：由已知条件可得 ， ， ，代入所求式，得：)zy(x)zx()yx(原式 222222 )(1)z(z1)(zy1 2222222 yxyxzxzz 0xyz2)11(说明：当题目中所提供的式子有等于
4、0 的条件出现时，通过把所求分式进行变形，使之出现相应的式子是解答此类问题的关键。七、挖掘隐含条件，巧妙求值4例 7 若 ，则 =_。09x23x652解： ，2但考虑到分式的分母不为 0，故 x=3所以，原式 3x)(2说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。八、巧用特值法求值例 8 已知 ，则 =_。6z5y4xz34yx2解：此题可直接令 x=4，y=5，z=6，代入得：原式 632187说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。九、利用倒数法求值例 9 已知 ，求 的值。123x )2x5(4x3解：原式 )5(42)3x(2
5、1)x(29)x(3 125 123x 23x1原式= )(说明：在进行某些分式求值时，有时会出现条件或所求分式不易化简变形的问题，但如果把该式的分子、分母颠倒后，变形就会容易了，此类问题通常采用倒数法来解决。在解题时要注意灵活掌握。6分式求值的变形方法在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、应用分式的基本性质例 1 如果 ，则 的值是多少?2x241x解：由 ，将待求分式的分子、分母同时除以 ，得0 2x原式=. .2222113()xx2、倒数法例 2 如果 ，则 的值是
6、多少?x241x解：将待求分式取倒数，得 422221()3xxx原式= .33、平方法例 3 已知 ，则 的值是多少？12x21x解：两边同时平方，得 2224,4.x4、设参数法例 4 已知 ，求分式 的值.035abc223abc解：设 ，则2k.,akbc原式=22223536.()()53kkk例 5 已知 求 的值.,abcabc解：设 ，则k7,.abkcak ，3c 31,k abc原式= .5、整体代换法例 6 已知 求 的值.13,xy2xy解：将已知变形，得即,yx原式= 2()32()33.5xyyxy6、消元代换法例 7 已知 则 .1,abc1abcca解： 原式=
7、 11abbbaab1.b7、拆项法例 8 若 求 的值.0,ac11()()()3abccab解：原式= 1()b11()()accabab1()b0c8原式=0.8、配方法例 9 若 求 的值.13,13,abc221abcabc解：由 得 ., 222abcab1()()()c20原式= .169分式求值问题亮相中考分式的考点中，求值问题是一个重要考点之一。它们在中考中以不同的形式，展现了分式的特色，受到同学们的青睐。现将这些题型归纳如下，仅供学习时参考。1、分式的值为 0 作条件，求符合题意的字母的值例 1、若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ）12xA. 1 B. -1 C. 1
8、D.2 （ 2008 年宜宾市）分析：分式的值为 0 的条件是：分式的分子等于 0，但是，分式的分母不能是 0，这两个条件缺一不可。所以，x-2=0，且 x2-10，所以，x=2，当 x=2 时，x 2-1= 22-1=30，因此，符合题意的 x 的值是 2.解：选 D。点评：根据分子是 0，求得字母的值后，只需把这个值代入分母中，验证分母的值是否为 0，就可以下结论。使分母为 0 的值，一定要舍去，使分母不为 0 的数，就是所求。2、以分式方程的解为条件，求符合题意的字母的值例 2、方程 的解是 （08 威海市）4235xx分析：这类问题详细的解答过程，实际上就是解这个分式方程。因为，3-2
9、x=-（2x-3） ，所以，原方程变形为： - =4，32x所以， =4，即 x-5=8x-12，325x解得：x=1，当 x=1 时，2x-3=2-3=-10，所以，x=1 是原方程的解。解：方程的解是 x=1.点评：解分式方程时，一定不要忘了验根。检验的方法有两种，一种是代入分式中各个分母中逐一验证，使每一分母都不是 0 的值，是原方程的根，否则不是；一种是代入最简公分母中检验，使最简公分母不是 0 的值，是原方程的根，否则不是；3、以分式方程无解为条件，求符合题意的字母的值10例 3、当 时，关于 的分式方程 无解。 （2008 襄樊市）mx213xm分析：分式方程无解，也可以说成是，根
10、是原方程的增根。而产生增根的原因，就是未知数取了使分式的分母为 0 的值。把这条思路倒过来，就可以求字母的值了。具体的步骤就是：1、找出分式方程的各个分式的分母；2、令各个分母都等于 0，求得未知数的值，逐一不要漏落；3、去分母，把分式方程转化成整式方程；4、把 2 中求得的未知数的值逐一代入整式方程，分别求得待定字母的值。所以，该题就可以这样求解：因为，分式的分母是 x-3，所以，x-3=0，解得，x=3，方程两边都乘以 x-3，得：2x+m=（-1）(x -3)，把 x=3 代入整式方程，得 ：23+m=（-1）(3 -3)，解得：m=-6.解：当 m=-6 时，关于 的分式方程 无解。x
11、213xm点评：在将分式方程转化成整式方程的过程中，同学们只转化，不要作过多的化简，否则，就会浪费时间，你仔细体会体会，是否有道理。4、以分式方程为条件，求分式的值例 4、已知 13xy，则代数式 214xy的值为 （2 008 年 芜 湖 市 ）分析：在这个分式方程中，有两个未知数，但是却只有一个方程，所以，我们想一一求得x、y 的值，后代入求值的思路看来是行不通了。还有其他的办法吗？有，肯定有。这就是用一个代数式表示另一个整体代数式，达到分式中，只有一个代数式的整体表示，后通过约分的方法求得值。具体思路如下：因为， =3，所以，x0，y0，xy0，x1y所以， =3，即 y-x=3xy，所
12、以，x-y=-3xy，所以， = = = =4.yx214xy2)(14xy2)3(1450解：原式的值是 4.11点评：在解答这类问题时，用整体的思想是解题的关键。5、以整式方程为条件，求分式的值例 5、若 ，则 的值等于（ ） （2008 苏州）20x31)(22xA B C D 或33分析：解答该类问题的最佳思路是，用常数项表示含字母的代数式这个整体。常使问题的求解，显得那么轻松。解：因为，x 2-x-2=0，所以，x 2-x=2， （x 2-x） 2= 22=4，所以， = = ，31)(24)31(2所以，选择 A。点评：这是整体思想在分式问题中的具体应用。6、化简求值例 6、请先将
13、下式化简,再选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值.（2008 年宜宾市）.12)1(aa分析：这是以前化简求值题的变形题。但是，它又赋予问题一种新形式，给同学们一种耳目一新的感觉，特别是让同学们自主选择数值求值，更是体现了新课程学生主体的理念。同时，也给同学们的选择设下了一个“陷阱” ，这就是你所取的数，必须要使原来的分式有意义，这一点，同学们往往会被“胜利”冲昏头脑，而错选数值。在这里你绝对不能选数字 1.解：原式= 21()a1a当 a=2 时，原式=2-1=1.点评：因为，所取的数值不同，所以，最后的答案也是不一样的。7、无关求值例 7、 、在解题目：“当 时，求代数式 的值”时，聪
14、194x2241xx聪认为 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果你认为他说的有理吗？请说x明理由 （2008 年巴中市）分析：化简后的结果是某一个固定的常数，就与 x 的取值无关。12解：聪聪说的有理2241xx2()()xx1所以，只要使原式有意义，无论 取何值，原式的值都相同，为常数 1x点评：先认真进行化简，是解题的关键。8、纠错求值例 8、有一道题：“先化简再求值： ，其中 ”，小明22x1X1)x（ =208做题时把“ ”错抄成了“ ”，但他的计算结果也是正确，请你通过x=208=08计算解释这是怎么回事？（2008 年桂林市）分析：严格遵循先化简后求值的思想进行解题。问题就
15、会显得轻松。解：因为， 22x1X1)x（= （x-1） （x +1） （=(x-1)2+2x =x2+1，因为，不论是 ，还是 ，x08=208都有 x2=2008，所以，小明虽然把数值抄错，但他的计算结果也是正确。点评：巧设悬念，激好奇，打破砂锅，问到底。这正是学习数学的优秀品质。13分式拓展题1、 已知： .32的 值， 求 ： acbcba2、 已知： .的 值， 求 ： xzyzxyxz3、 已知： .1251542 的 值， 求 ： aa4、 已知： .03362 的 值， 求 ： xx5、 已知： ， .14） 的 值（求 ： 2216、 已知： 的值.zyxzyxxzyx )2
16、.()(432 的 值， 求 ：、7、 已知： 的值.11 cbacybza， 求 ：、8、 已知： 、 ，求：0bc0.1122222 的 值caba9、 已知： ，求：zcybx、 .)1()(的 值zyx10、已知： ，且 ，求：21a02ba.的 值ba11、已知： ，求：0cb .222 的 值cc12、已知： ，且 , ,求：xyz1zyx1zyx .1的 值zyx13、已知： ，且 , ,0222求： .11的 值xyzxzxy14、已知： ，且 ，22cba 922cbacacb14求： .的 值cba15、已知： ，求： 的值.（n 是正整数）21xx116、已知： ，求： 的值.（n 是正整数yy17、已知： ， ，用 .21axa3yx的 代 数 式 表 示18、已知： ， ，用 .y的 代 数 式 表 示19、已知： .12132 的 值， 求 ： aa20、已知： ，求： 的值.bc cba21、已知： ，解关于 的方程：31x 2093131caxbxax22、已知 是三个正数，且满足 ；ca、 c证明： 这三个数中必有两个数相等.b、
