1、-卷积公式的推广及应用摘要：将概率论中用于求两个连续型随机变量和的概率密度函数的卷积公式进行了推广，推广后的公式可以用于求形如 0 abbYaXZ 的二维连续型随机变量函数的概率密度函数。对推广后的公式首先给出了证明，然后将推广后的公式应用于求解具体的算例，从而验证了公式的有效性。关键词：随机变量；二维随机变量函数;概率密度函数；卷积公式；1. 引言：大学本科阶段大多理科及工科专业要开设概率论与数理统计课程。在概率论的学习中，求二维连续型随机变量函数的概率密度函数既是一个重点问题也是一个难点问题。很多概率教材都给出了求形如 YXZ 的二维连续型随机变量函数Z的概率密度函数 zf 的卷积公式【1
2、】。但是对于形如 0 abbYaXZ 的二维连续型随机变量函数的概率密度函数在求解的时候并没有给出公式，在求解时一般采用的方法是现根据定义求出Z的分布函数再求其密度函数。也有的概率书上给出了变量变换法。本文旨在将求二维连续型随机变量函数的卷积公式进行推广，从而给出求形如 0 abbYaXZ 的二维连续型随机变量函数的概率密度函数的公式以简化计算。2. 命题及证明命题：设 ,X Y 是二维连续型随机变量，其密度函数为 ,f x y ，则随机变量函数 0 abbYaXZ 的密度函数为 1 ,z byf z f y dya a 或者 1 , z axf z f x dxb b 证明：（情形一） 0,
3、 0a b 时，Z的分布函数为 ,ax by zF z P aX bY z f x y dxdy （*）当 0, 0a b 时，ax by z 所表示区域如图一：从而可将二重积分转化为下面的二次积分进行求解：（*）= ,z byady f x y dx 或者 ,z axbdx f x y dy 对分布函数 F z 求导可得到如下密度函数：2 1, ,z by z by z byf z f y dy f y dya a a a 或者 1, ,z ax z ax z axf z f x dx f x dxb b b b xyy ax by z 图一(情形二) 0, 0a b 时，Z的分布函数为 ,
4、ax by zF z P aX bY z f x y dxdy （*）当 0, 0a b 时，ax by z 所表示区域如图二：从而可将二重积分转化为下面的二次积分进行求解：（*）= ,z byady f x y dx 或者 ,z axbdx f x y dy 对分布函数 F z 求导可得到如下密度函数：3 1, ,z by z by z byf z f y dy f y dya a a a 或者 1, ,z ax z ax z axf z f x dx f x dxb b b b = 1 , z axf x dxb b y xax by z 图二同样考虑 0, 0a b 和 0, 0a b
5、的情形可得公式： 1 ,z byf z f y dya a 或者 1 , z axf z f x dxb b 3. 例题解析例题1.设二维随机变量 ,X Y 的概率密度为 1 0 1,0 , 0 x y xf x y 其他求 2Z X Y 的概率密度函数 f z 。yy4解：（方法一）由公式 1 , z axf z f x dxb b 得 ,2f z f x x z dx 由已知： 1 0 1,0 2,2 0 x x z xf x x z 其他即 1 0 1, 2,2 0 x x z xf x x z 其他从而有:（1） 0z 时, ,2f z f x x z dx =0（2）0 1z 时,
6、,2f z f x x z dx = 21 2zz zdx （3）1 2z 时， 121 1 2z zf z dx （4） 2z 时， ,2f z f x x z dx =0（方法二）由公式 1 ,z byf z f y dya a 得 1 ,2 2z yf z f y dy 由已知： 1 0 1,0, 2 22 0 z y z yyz yf y 其他即 11 0 , 2, 22 0 y y z yz yf y 其他从而有：（1） 0z 时， 1 ,2 2z yf z f y dy =05（2）0 1z 时， 01 1, 12 2 2 2zz y zf z f y dy dy （3） 1 2z
7、 时， 201 1 2, 1 12 2 2 2 2zz y z zf z f y dy dy （4） 2z 时， 1 ,2 2z yf z f y dy =0比较方法一和方法二，分别用命题中给的两个公式求解，得到了相同的结果。这也进一步验证了命题所给结论的有效性。Extension and application for the Convolution formula(1 Department of Mathematics andstatistics ,SuzhouUniversity,SuzhouAnhui 234000,2 Experimentalmiddleschool, SuzhouA
8、nhui 234000)Abstract: The article has given the extension about the convolution formula. The new formulamay give two-dimensional random variable functions probability density function for 0 abbYaXZ . Firstly, this paper gives the formulas identification. Then, an example isillustratedto show that the formula proposedin this paper is feasible andeffective.Key words: random variable; two-dimensional random variable function; probability densityfunction;convolution formula;参考文献:1魏宗舒，概率论与数理统计教程M,高等教育出版社，2008,4：133134.2茆诗松，程一鸣，濮晓龙，概率论与数理统计教程M，高等教育出版社，2011,2:167-168.
