1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. （ D ）31iA B C D212i2i2i【解析】解法一： 34i ii解法二： ，解得331311 abiabiiabiiabi21ab故 2i2.设集合 ， 若 ，则 （ C ）,4A240xmABA B C D1,31, 1,31,5【解析】解法一： 1 是方程 的解，将 代入方程得240xx3m 的解为 或 ， 2430Bx0342x 1,3B解法二： 1 是方程 的一个根， 由韦达定理可知：A2xm
2、14x解得： ，故 13x,33.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ B ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【解析】一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，即 ；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，7381S即 ，塔的顶层为 ；由等比数列前 项和 可知： ，2q1an11nnaq17381naS解得 .13a24.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆
3、柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ B ）A B C D90634236【解析】从三视图可知：该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半或22113063V总 上 221343V切割前圆柱 切割中 切割后几何体5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ A ）xy230xy2zxyA B C D15919【解析】根据约束条件画出可行域（图中阴影部分）, 当直线 l: 平移到点 A 时， 最-2y=x+z63， Z小，将点 A 的坐标代到目标函数 ，可得 ，即 .63， 2Zx5Zmin15lAy = -32x+3y-3=0 2x-3y+3=0 xOCB36.安排 3 名志
4、愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【解析】只能是 1 个人完成 2 份工作，剩下 2 人各完成一份工作由此把 4 份工作分成 3 份再全排列得 34A67.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ D ）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【解析】四人所知的
5、信息分别为各自看到的，老 师所说的及最后甲 说的话甲不知自己成绩乙、丙中必有一 优一良， （若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）乙看了丙成绩，知自己成绩 丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ B ）1aSA2 B3 C4 D5【解析】执行第一次循环： ；1S12K执行第二次循环： ；2a23执行第三次循环： ；3S314执行第四次循环： ；42a45K执行第五次循环： ；53S516执行第五次循环： ；667当 时，终止循环， 输出 ，67K3S49.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为C:21xyab0ab24xy2，
6、则 的离心率为（ A ）A2 B C D3223【解析】根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 ，根据直线与圆的位置关系可得圆心byxa到渐近线的距离为 ，即 ，解得 .20， 3231ba2e10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线1CAC0A 1C与 所成角的余弦值为（ C ）1A B C D325053【解析】解法一： ， ， 分别为 ， ， 中点，则 ， 夹角为 和 夹角或其MNPA1B1ABMNP补角（异面线所成角为 ）可知 ， ，作 中点 ，则02， 152MN12NPCBQ可知 为 直角三角形 ， .PQ QA中，ABC22cosAB，1417C则 ，则 中，72MP 21
7、MP则 中，PMN22cosNPPH 2225105又异面线所成角为 ，则余弦值为 02， 1055解法二：如图所示，补成直四棱柱 1ABCD则所求角为 2011 11, cos63,5BCDCDAB易得 ，因此 ，故 选 C.21211cos511.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ A ）2x21()xfxae()fxA. B. C. D.113 35e【解析】 导函数21xfxae21xfxae ， 0f12ef 2xfx令 ， ，fx121x当 变化时， ， 随变化情况如下表：ffx,22,11,f+ 0 - 0 +fx极大值 极小值由上表可知： 极小值为1)1(02e注：可导函数
8、 在点 处取得极值的充要条件是 ，且在 左侧和右侧 的符xfy0 0xf0xxf号不同。612.已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是（ ABC ）（PCBAB ）A. B. C. D.23431【解析】解法一（几何法）：如图（ 为 中点），则 ，PDCBC PADCPBA2要使 最小，则 , 方向相反，即 点在线段 上，则A，即求 最大值，22min 又 ，3P则 ，42AD则 342minP解法二（解析法）：以 中点为坐标原点，建立如 图坐标系 BC ， ， 设 ，03A， 10， ， Pxy， ,yxP, C,122y）（则其最小 值为 ，234xy
9、342此时 ， 0二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽0.2 10到的二等品件数，则 D【解析】依题意，随机变量 ，1,.XB1.96DXnp14.函数 （ ）的最大值是 23sincos4fxx0,2PDCBA7【解析】 ，23sincos0,42fxx22sincos1x 设 ，21co3fst,1t 则当 时， 取最大值 124fxt2t32tfx15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 nanS3a410S1nkS【解析】 ， ， 410S2314235 ， 3anaN 12n
10、nS21nS21nSn 1 2.3 1k n 2,1ni NS注：本题考查基础概念，但有一部分考生会 丢掉 这个条件，此处属于易错点。nN16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 若 为FC:28yxCFy的中点，则 【解析】解法一：如图 则 ，焦点为 ，准线28yx4p20，, 为 、 中点，故易知线段 为梯形:2lxMFNBM中位线， ， ，中位线ACA3又由定义 ，且由题意可得 ，BFN 622BFNF解法二： ， 10Mx 6212MxM解法三：抛物线焦点为 ，设 ，那么中点 ，点 在抛物线上，所以),2(F),(a),1(alFNMCBAOyx8， 所以 ，2
11、438422aa )24,0(N62402F三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分） 的内角 的对边分别为 ，已知 ABC, ,abc2sin()8sinBAC(1)求 cos(2)若 ， 面积为 2，求 6a.【解析】（1）利用三角形内角和定理可知 ACB 21cossin8i4(cs)B ， ，22ico26()1整理得 ， （舍去）， (17s5)cs10BcosB15cos7B（2）由可知 8in ， ， ， ，ABCS
12、si2ac8217ac1ac ，由余弦定理得 ，15cos75b225b ， ，22()acb6ca231718.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖9法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中
13、位数的估计值（精确到 0.01）)(2kKP0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.82822()(nadbc【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于 ” 为事件50kgB“新养殖法的箱产量不低于 ”为事件 C0.4.3.240.15.2PB0.66858C故 49.6.)(PBA（2） 旧养殖法的箱 产量低于 50kg 的有 1000.62=62 箱，不低于 50kg 的有 38 箱，新养殖法的箱产量不低于 50kg 的有 1000.66=66 箱，低于 50kg 的有 34 箱，得到 22 列联表如下：箱产量0.50，不低于 55kg 的频率为0.0465+0.01
14、05+0.0085=0.320.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于 50kg 到 55kg 之间，设新养殖法箱产量的中位数为 x，则有（55-x）0.068+0.0465+0.0105+0.0085=0.5010解得 x=52. 3529因此，新养殖法箱产量的中位数的估 计值 52. 35。19.（12 分）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，ABCDPPAABCD， ， 是 的中点。BCA2190E（1）证明：直线 平面/E（2）点 在棱 上,且直线 与底面 所成锐角为 ,求二面角 的余弦MMo45M值 zyxMMOFPAB C DE【解析】（1）令 中点 为 ，连结 ，
15、， PAFEBFC ， 为 ， 中点， 为 的中位线， EDPAPAD 12EFAD又 ， 90B又 ， ， 12C12B BC四边形 为平行四边形， EFEF又 平面 ， 平面PAPA（2）令 中点为 ，连接 ， ,则 ，四 边形 为正方形DOOO 为等边三角形 D又面 面 ，面 面 = ， 面BCBCPAD 面 面 PAA在直角三角形 中，过点 作 ，垂足 为 ,则 MM11 面 面POABCDMABCD所以直线 与底面 所成锐角为 ,则 ，即45MBM设 ，则 , , ,123PO3tanCOP ,则60在直角三角形 中 ,得 ，则BC 22CB 2 26解法一：如图，以 中点 为原点，
16、建立空间直角坐标系。ADO， ， ， ， ， (0)O， ， (01)， ， (10)， ， (0)， ， (10)D， ， (3)P， ， .21M， ， 26， ，设平面 的法向量 ,AB11zyxm，261，AM01，AB由 ，即 得01由 ，即 得 ，令 M1602yz160， m设平面 的法向量 . ,ABDxn，)2(，AD)1(，AB由 ，即 得02由 ，即 得 ，令 y12z0，n 5046,cosnm 二面角 的余弦 值为 MABD1解法二：在平面 中过 作 ，垂足 为 ,连接 ，则 CABGMG1BC 面 ， 面 CAB又 , 面 , 面 面 ，所以 为二面角 的平面角AB
17、D12 510261cos MG 二面角 的余弦 值为 ABD0520. （12 分）设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，垂足为OMC21xyMx，点 满足 。NPN2(1)求点 的轨迹方程；(2)设点 在直线 上，且 。证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点Q3x1PQPOQlC。F【解析】解法一：设 ， , ，则： .0,Mxy0Nxy ),0(),(0yNMyx又 ,所以： ，则： .NP202,2又 在椭圆 上，所以： 。0,xyC01xy因此点 的轨迹方程为： .2设点 ， ， ，(3)Qy， ()Pxy， (0)Q由已知： 1),3, pppyxO得 122
18、px又由（1）知 ，故yQp设直线 ： ，因为直线 与 垂直Q3xlO3lQky(0)故直线 方程为 ，l()PQyy13令 ，得 ， ，0y3()PQPyx13PQPyxQpyx31 3pxp由椭圆 ： ，可知左焦点 ，此时过点 且垂直于 的直线 过C21y）（ 0,1FOl的左焦点 。F当 时，点 ，0Qy0,3()Pxy，由 得1,)(ppyxPO 132ppyx又由（1）知 ，故22点 在 轴上 过点 且垂直于 的直线 过点0,3OQl）（ 0,F综上，过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 。OQlC简化解法：设点 ， 由已知：()Qy， ()Pxy， 1),3(),( pQppyxy
19、xP得 又由（1）知 ，故322pppx 22p 3由椭圆 ： ，可知左焦点Cy）（ 0,F 033),(),1( QpQp yxyxOQPF所以 ，即过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 。POlCF解法二： 椭圆 的参数方程为： （ 为参数）.C2cosinxy设 ， , ，2cos,iM0Nxy则： , .又yxNPsi,MNMP2所以： ，则 .cs,2ncos,sinxy因此点 的轨迹方程为： .xy设 ， , ,则 ，2cos,inP13Q0Fsin2,coOP, ， .13yOQ sin2,cos2y ,1又 所以：14221 12cos,in32cos,y2sin32cossi
20、ni1y即： .1csin3那么： sin2cos3,sin2,co 11yyOQPF ，则 .即过 垂直于 的直线 过椭圆 的左焦点 。03OQPFlCF21.（12 分）已知函数 且 .2()ln,fxax()0f（1）求 ；a（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .()f 0220()efx【解析】由题知： ，且 ，所以： .()lnfxax()f1ln0ax即当 时， ；当 时， ；0,11,ln当 时， 成立.xl0x令 ， ，ng1xg当 时， ， 递减 ， ，0,1xx0g所以： ，即： .所以： ；ll1a当 时， ， 递增 ， ，,x0gx1x所以： ，即： .所以： ；1
21、lnl1综上： .a（2）由(1)知： ， .()lfxx2lnfx设 ，则 .2ln115当 时， ；当 时， .10,2x0x1,20x所以 在 递减，在 递增.,又 ， ， ，20e10所以 在 有唯一零点 ，在 有唯一零点 1，x,0x1,2且当 时， ；当 时， ；0,0,0x当 时， .又 ，所以 是 的唯一极大值点.1xxfx()fx由 得 ，故 .由 得 .0f0ln21001,1014fx因为 是 在 的唯一极大 值点，由 ， 得x()f, ,efe所以 .120fe220()efx（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题
22、计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极xoyx 1C坐标方程为 cs4（1） 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ,求点 的轨迹 的M1CPOM|16OP2直角坐标方程；（2）设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值A(2,)3B2CAB【解析】（1）设 点在直角坐标系下坐标为 ，由 题意 ，曲线 的直角坐标方程为P,xy0x14x16因为 三点共线，所以 点的坐标为 ，代入条件 得：,OPM4,yx16OMP，化 简得： 221616yx2(0)所以点 的轨迹 的直角坐标方程为P2
23、C42xyx（2）将点 的极坐标 化为直角坐标 , 点 在圆 上A(,)3(13)A(,)2()4y记曲线 圆心 到 的距离为20Od直线 的方程 为 ，则 ，不难得到:Oxy11()2(3)2ABSdr所以 面积的最大值为23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 ，证明：30,2ab（1） ；5()4ab（2） 【解析】（1）解法一： 5653253() ()2ababab3263() 4解法二： 2553534ab a又 ，所以 0,20abba当 时，等号成立所以， ，即 5405()4（2）解法一：由 及 得30,2ab2ab2()()3ab17223()()44abab所以 2ab解法二：由 及 得30,2()4ab3223234,ababab所以 ，因此 。382
