1、一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心 1. () , () () . 3. 00 ( ) , tt tt T t xm m x 用导数描述某些物理量 速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。 2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔 0，t 内转过的角度 则物体在时刻的 角速度 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度 与时间 的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T(t). 3.一根杆从一端 点算起， ， 段干的质量为 则杆在点x处的 线密 () , () . 5. TC ( T ) = q ( T ) . 6.
2、(), (). QQt Qt T wwtt wt 度是 (x)=m(x). 4.一根导线在 0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为 则导线 在时刻t的电流强度I(t)= 某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度 时所需的热量为q(T), 则物体在温度 时的比热 某力在 0,t 时间内作的功 则时刻的功率为 例 1 . 2 2 12 , 5 360 , ( ) , 2 M 55 , 12, 360 , ( ) , ( ) 5 22 cm AB AM M A x gm x x xmk m xxm xx 2 设有长为 的非均匀杆 部分的质量与动点 到端点 的距离 的平方 成正比，杆的全部质量为 则
3、杆的质量的表达式 杆在任一点处的线密度 (x)= 5x 解：m(x)=kx 令 得 所以 (x)=变力作功：变力 () Fx沿直线运动从 a 到 b所作的功 () b a wF x d x 5 0 1. 5 3 0 5 0 5 , 2 9.8 3 , 88 2 88 2 8 mm x x x x dx dx x m dx kN dw dx x wx d x 例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为 ，底圆半径为 ，桶内盛满了水，试问要把桶内的 水全部吸出需作多少功？ 解： 作 轴如图所示 取深度 为积分变量，它的变化区间为 ， 相应于 ，上任一小区间 的一薄层水的高度为 ，因此如 的单位为 ， 这
4、薄层水的重力为 把这层水吸出桶外需作的功近似为 所求的功为 25 8 2 3462( ) 2 kJ 2. 2 1, 2 , 1 2 ,2 2 Rl R xR x x RxRxd x xxd x R 例2(2)（功 ）设有一半径为 ，长度为 的圆柱体平放在深度为 的水池中， （圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（ ）现将圆柱体从水中 移出水面，问需作多少功？ 解： 分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至 处，计算位于 上的 体积微元移至 时所作的微元功。由于在水面上方与下方 所受力不同，所以应分开计算，注意到介于 与 之间的体积微元为 22 22 22 22 22 3 0 2() 2( 1
5、) ( ) 2 ( ) 4( 21 ) ( 21 ) RR RR R xdxl lR xdx Rx Rx wl RxRxd xlRxRxd x lR R x dx lR 长宽高 它在水面下方需移动 ，上方需移动 31 1 4 3 4 1 3 1 例2(3)（功 ）、设半径为 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 ，现将球从 水中取出， 问要作多少功？ 解法一：分析：把球的质量 集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质 量为 的质点向上移动距离为 时变力所作的功，问题归结为求出变力， 即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为 球受的重力 球的体积，球受的浮力 沉在水中部分的体积 它
6、的合力 球露出水面部分的体积。 当球心向上移动距 2 2 0 126 0 (0 1) 22 (1 ) ( ) 333 22 1 1 1 3 () () 3 3 3 2 12 12 h hh h zd z h h whd h 离 时， ，球露出水面部分的体积为 因此，球从水中取出要作的功为 12 13 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 , ) 1 ( , 1 , 0 ) 1 ( ) 1 ( , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 1 ( , 0 , 1 1 0 2 0 1 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 dx x dx x x
7、w w w dx x w dx x dw dx x dx x x dx x x w dx x x S F dw x dx x dx x x x 对整个球做的功为 于是对上半球作的功为 ，需作功 移动的距离为 当球从水中取出时，它 其重量为 相应的球体中的薄片， 上小区间 片即 任取上半球中的微元薄 为 于是，对下半球作的功 作功 处需 此薄片移至离水面高为 ，当球从水中取出时， 在水中浮力与重力相等 其重量为 相应的球体中的薄片， 上的小区间 薄片即 的微元 球心，任取下半球取中 心，方向向上，原点为 轴垂直水平面并通过球 取 分析：微元法 解法二、 3 4 . 0.2 500 / 1 0.2
8、 2 , , 0 mk g m m yydy R 例2(4)（功 ）要将一半径为 ，密度为 浮于水面的木球提高水面， 问需要作功多少？ 分析：根据浮力定律知道球的上半部浮于水面下半部没于水中，（由浮力定律 比重 水的比重），所以只要提高 即可将此球提离水面，由于在整个 过程中浮力与提力都在作功，所以应有提力所作的功 克服重力所作的功 浮 力所作的功 解：建立坐标如图，取 则对应于此小区间，浮力 22 0 22 4 3 () ( ) ( ) 1 ( ) 12.315( ) 4 4 500 (0.2) 9.8 0.2 12.315 20.525( ) 3 R dw ydF yg dm yg dV
9、yg R y dy Wg y Ry d yg R k J WWW k J WWWWWW 浮 浮 重浮 提 下重 浮 重 浮 提上 重 作功的功元素为 从而有 与前例类似：5. S Sa b x k PV kP V kP V k Vx SP xS kk FpS S xS x 例2(5)（ 功 ）在底面积为 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下， 由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积 ）从点 处推移到点 处，计算 在移动过程中， 气体压力所作的功？ 解：取坐标系为图， 活塞的位置可以用坐标 来表示，由物理学知道，一定量的气体在等温条件下， 压强 与体积 的乘积是常数 ，即 ，或 ， 作
10、用在活塞上的力： 在气体膨 , , , , ln b a Vx xa b x x d x a b kk xx d xF d xd wd x xx kb wd xk xa 胀过程中，体积 是变的，因而 也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的 取 为积分变量，它的变化区间为 ，设 为 上的任一小区间，当活塞 从 移动到 时，变力 所作的功近似于 即 3 222 22 2 6. 1 0 8 / 4 4.20 , , 10 ( 10) 20 8(2 0 ) 8( 2 0 mk N m m xm xx x x dx dx x x x dw x x x dx x 例2(6)（功 ） 一球形贮液灌，半径为
11、，盛有比重为 的某种液体， 液面距离 灌顶部出口 ，（如图所示）已将灌中全部液体从顶部出口抽出，需作多少功？ 解：作 轴通过球心且正向铅直向下，原点在灌顶部出口处，长度单位取为 ， 取 为积分变量， 考察 上液体，高度为 底圆半径为 3 20 20 23 44 )( 311296 8 (20 ) 325990( ) 3 * xd x wd w xxd x k J xx 比重 体积 路程） 本题也可选择 轴的原点在球心，这时变量 的范围和功元素的表达式都要随之改变水压力 () hP g hg Ah PpA p 从物理学知道，在水深为 处的压强为 ， 是水密度， 是重力加速度， 如果有一面积为 的
12、平板水平地放放置在水深为 处，那么，平板一侧所受的 水压力为 ， 压强 面积，如果平板铅直放置在水中，那么，由于水深 不同的点处压强为 不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述方法计算， 此时一般用微元法22 22 3 0 1 , , 2 2 2 3 R R x x dx dP dP gx R x dx g Pg x Rx d xR 例3(1)（水压力）、一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径 为 ，水的密度为 ，计算桶内的一个端面上所受的压力. 解：取坐标系如图 桶的一个端面为圆片，所以现在要计算的是当水平面通过圆心时，铅直放置的 一个半圆片的一侧所受的水压力， 考察 上所受的
13、压力 压强 面积 3 2 2 2 1 2. 1 21 1 / 11 2 1 1 , 2 2 1 32 21( ) 15 m mm t m x ky m m k x y x x dx dP x ydx x x dx Px xd xt x 例3(2)（水压力 ）灌溉涵洞的断面为抛物线拱形，在水面高出涵洞顶点为 时， 求涵洞闸门 （底面宽为 ，高为 ）所受的水压力（水的比重 ） 解：建立坐标系如图 该抛物线的方程为 ，由条件，闸门高为 ，宽为 ， 考察在 上的压力， 压强 面积 这里压强 比重 3 1/mx g 水深 吨 水深 ，最后压力单位吨与前例有区别 比重 密度 10 0 3 . 20 12
14、10 10 6 2 ,1 0 01 01 06 5 , 1 2 2( 1 0 ) 5 21 2 (10 ) 733 53 xy AB y x xxdx x dP xdS x ydx x x dx Pxx d x 例3(3)（水压力 ）有一形状为等腰梯形的闸门，二水平面的长分别为 米和 米 高为 米，若较长边位于水的自由表面，计算水对闸门的压力 解：建立坐标系如图 所在的直线方程： 即 在 上，压强 水的比重 水深 压力 吨22 22 4. 0 . 4 , 6 1 , , , 2() s i n 2 2( ) s i n 2 ( R R Rm Hm xy y y d y R R dF pdA g
15、h xdy g H R y R y dy Fg HR yRy d yg H R 例3(4)（水压力 ） 半径为 的圆形薄板，与液面成夹角为 斜沉于水中 上缘距水平为 ，求薄板一侧所受的压力. 解：取圆心为原点 平行液面的半径为 轴 建立相应的 轴 对应水平小条的压力为 2 3 sin ) 0.4 1 1000 / , 9.8 5911.22( ) 6 R RmHm k g m g F N 以 ， ， ， 代入得 2 1 5 02. .7% 5:4 .1 2( II l ABCD AB h yx Pg h 例3(5)（水压力 ）、（ ） 某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 为对称轴，闸门的上部
16、为矩形 ， 下部由二次抛物线与线段 所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩 形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 ，闸门矩形部分的高 应为多少米？ 解法一：建立坐标系如图， 为水的密度，则抛物线方程为 闸门矩形部分承受的水压力 1 2 1 1 2 0 2 1 12 2 1 ) .3 12 2(1) 4( ) 31 5 551 ,2 12 443 4( ) 31 5 2 h ydy gh Pg hyy d yg h Ph hh P h h 闸门下部水承受的水压力为 解得： ， ， （舍去） 故引力 由物理学知道，质点分别为 2 1 m m， ，相距为 的两质点间的引力的大小为 2
17、 2 1 m m G F ，其中 G为引力常数，引力的方向沿着两质点的连线方向 如需计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的， 且各点对该点的引力的方向也是变化的，因此就不能用上述公式来计算 22 3 22 2 22 2 (1 , , () cos ) ( xx x x l am M md y y y dy y y dy dy F G ay am dy FFd F G ay aa dF F F F r ay am dy FG a 例4(1)引力）、设有一长度为，线密度为 的均匀的细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点 ，试计算该棒对质点的引力 解：建
18、立坐标系如图 考察 上引力微元， 上的质量为 ， 在水平方向分力 的近似值， （ 2 3 22 2 2 2 21 4 ) 0 2 *, ) l l y Gm l dy a al y F Gm ll l a M 由对称性知，引力在铅直方向的分力为 当细直棒的长度 很大时，可视 趋于无穷，此时，引力的大小为 （ 方向与细棒垂直且由 指向细棒 222 222 23 2. 9 0 1 1 1 ,( 0 1 ) 0 (,) 1 , xy Z xyzz xy FF xyz dV kdV z zd F k d Vx y z 例4(2)（引力 ） 设有顶角为 ，高为的正圆锥体，密度为，求正圆锥体与位于 圆锥体
19、顶点质量为的质点之间的引力. 解：建立坐标系如图 正圆锥方程为 根据对称性可知，所求引力在 轴， 轴上的分力 取包含点 的体积微元 ，则此微元与原点处质量为的质点间的引力为 ，并且它在 轴的方向的分力 其中 211 1 31 3 22 2 00 0 22 12 2 2( 1) 2 2 () ( 1) z r zz d zr F k dV k d rdr k dr k rz r 其中 表示所讨论的锥体 22 0 3 , () , , 0 ()() l xl x mak km l aa l xd x d Md x mdM km dF k dx x l ax ax dF 例4(3)（引力 ）在 轴上
20、有一线密度为常数 ，长度为的细杆，在 轴上还有 一质量为 的指点道干右端的距离为 一直引力常数为 ，则质点和细杆 之间引力的大小为 解： 用微元法，在细杆上 处去长为 的一小段，其质量为 则 质点与这一小段细杆之间的引力大小为 求积分，即得质点和细杆之间引力的大小为 F= 0 2 () () l km km l dx ax aal 质心 22 22 22 2 :( ) , / ) (,) , 1( ) 1( ) , 1( ) 1( ) ()1 () , 1 () , 1( ) bb y ax a bb aa bb xy aa b a Lyfxaxb k gm xy xfx d x yfx d
21、x M M xy MM fxd x fxd x Mf xf x d x Mxf x d xL xy Mf x d x l 设光滑曲线 具有均匀线密度（ 该曲线的质量中心为 则有 其中 表示 对 轴与 轴的静力矩 为该曲 2 2 22 221( ) 22( ) 1( ) , 1( ) 1( ) , b y a b x a xy bb aa l xl x f x dx S yl f x f x dx S SS yfx d xxfx d x yl ll 线的质量， 为弧长。 同时可得到 其中 分别表示曲线L绕x轴与绕y轴旋转而成的旋转体侧面积， 这一结论称为古尔金第一定理。 均匀密度条件下的质量中心
22、坐标实质上与密度无关，所以又称为几何中心或形心。 形心的计算公式： x 是弧长。 实 () 0, () b a b a xxd x yx xdx 际应用中可依据曲线方程的形式，取弧长的相应计算公式 直角坐标方程、参数方程或极坐标方程。 若曲线为x轴上直线段a x b,密度函数为 = (x), 则2 2 22 2 22 2 1. 1 0, 1 22 24 , a a x la x ax d x aa ax y aa yaa 2 例（质心 ）求平面圆弧y= a 的形心 解：显然x 本题若用古尔金第一定理得到2 2 () 0, 0 , B ,( ) , ,( ) , hA B xhA x xh AB
23、 x x kx AB x x dx xdx kxdx 例2 质心2 设长度为 的细杆 上任一点处的密度与该点到细杆A端的距离的 平方成正比,比例系数为k0,求该细杆的质心坐标. 解: 沿细杆AB的方向并以细杆A端为坐标建立坐标系Ox,如图, 于是细杆AB上各点的坐标满足 且 端对于 端对应于 细杆 上点 处的密度为 把细杆 上从点 到点 的一小段看成 一个质点 则该质点的质量为 故 3 00 2 00 () 3 4 () 3 A, 44 hh hh AB x x dx kx dx h x xdx kxdx hh AB 细杆 的质心坐标 即细杆 的质心坐标在杆上距离 端 距离B端 处 2 2 (
24、) (,) , 0 (), / ) 1 () () 2 ,( ). () () 2, 2 b b b a a bb a aa yx xy yfx Dx yaxbyfx k gm fxd x xf x dx xyf x d x M fxd x fxd x xA V yA V VV D 对均匀密度薄板的质量中心有如下公式 设 为 a,b 上的连续非负函数，考虑形如区域 其面密度为 （ 质量中心 其中 为该均匀薄板的质量 由此还可以推得古尔金第二定理： 其中 ， 分别表示区域 x 绕 轴与绕y轴旋转一周生成旋转体的体积.2 2 22 2 2 2 2 33 04 0 256 1 (4 ) 88 15 2 ,0 32 55 (4 ) 3 yx xd x y xd x 例（质心 ）一面密度为 的均匀薄板由 围成，求此薄板的质量中心。 解：由对称性，质心x的坐标为 ，只需求y 质心（ ，）
