1、1题组训练 13 函数与方程1函数 f(x)x 的零点个数是( )4xA0 B1C2 D无数个答案 C解析 令 f(x)0，解 x 0，即 x240，且 x0，则 x2.4x2(2017郑州质检)函数 f(x)lnx 的零点的个数是( )1x 1A0 B1C2 D3答案 C解析 y 与 ylnx 的图像有两个交点1x 13函数 f(x)1xlog 2x的零点所在的区间是( )A( ， ) B( ，1)14 12 12C(1，2) D(2，3)答案 C解析 因为 y 与 ylog 2x的图像只有一个交点，所以 f(x)只有一个零点又因为 f(1)1x1，f(2)1，所以函数 f(x)1xlog
2、2x的零点所在的区间是(1，2)故选 C.4(2018湖南株洲质检一)设数列a n是等比数列，函数 yx 2x2 的两个零点是a2，a 3，则 a1a4( )A2 B1C1 D2答案 D解析 因为函数 yx 2x2 的两个零点是 a2，a 3，所以 a2a32，由等比数列性质可知a1a4a 2a32.故选 D.5若函数 f(x)2 x a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a的取值范围是( )2xA(1，3) B(1，2)C(0，3) D(0，2)答案 C2解析 由条件可知 f(1)f(2)0，即1elnx1，可解得 x ，所以，当 0 时，函数 g(x)单调递增，由此可知当 x 时，g(
3、x) min .在1e 1e 1e同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示，据图可得 0)的解的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 (数形结合法)a0，a 211.而 y|x 22x|的图像如图，y|x 22x|的图像与 ya 21 的图像总有两个交点8(2017东城区期末)已知 x0是函数 f(x)2 x 的一个零点若 x1(1，x 0)，11 xx2(x 0，)，则( )Af(x 1)0Cf(x 1)0，f(x 2)0，f(x 2)0答案 B解析 设 g(x) ，由于函数 g(x) 在(1，)上单调递增，函数 h(x)11 x 11 x 1x 132 x在(1，)
4、上单调递增，故函数 f(x)h(x)g(x)在(1，)上单调递增，所以函数 f(x)在(1，)上只有唯一的零点 x0，且在(1，x 0)上 f(x1)0，故选 B.9设方程 10x|lg(x)|的两个根分别为 x1，x 2，则( )Ax 1x21 D00 Df(x 0)的符号不确定答案 A解析 因为函数 f(x)2 xlog x在(0，)上是增函数，a 是函数 f(x)2 xlog x的1212零点，即 f(a)0，所以当 00，01，故选 A.12若函数 yf(x)(xR)满足 f(x2)f(x)且 x1，1时，f(x)1x 2，函数 g(x) 则函数 h(x)f(x)g(x)在区间lgx，
5、 x0， 1x， x1.其中的真命题是( )Ap 1，p 3 Bp 2，p 3Cp 1，p 4 Dp 3，p 4答案 D解析 由( )xsinx10，得 sinx1( )x，令 f(x)12 12sinx，g(x)1( )x，在同一坐标系中画出两函数的图像如图，12由图像知：p 1错，p 3，p 4对，而由于 g(x)1( )x递增，小于 1，12且以直线 y1 为渐近线，f(x)sinx 在1 到 1之间振荡，故在区间(0，)上，两者的图像有无穷多个交点，所以 p2错，故选 D.15若函数 f(x) 有两个不同的零点，则实数 a的取值范围是2x a， x 0，lnx， x0， )5_答案 (
6、0，1解析 当 x0时，由 f(x)lnx0，得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点，则当 x0时，函数 f(x)2 xa 有一个零点令 f(x)0，得 a2 x.因为 00， )_答案 3， ， 1214 2解析 由题意知 f(f(x)1，所以 f(x)2 或 f(x) ，则函数 yf(f(x)1 的零12点就是使 f(x)2 或 f(x) 的 x值解 f(x)2，得 x3 或 x ；解 f(x) ，12 14 12得 x 或 x .12 2从而函数 yf(f(x)1 的零点构成的集合为3， ， 1214 217判断函数 f(x)4xx 2 x3在区间1，1上零点的个数，并说明理由23
7、答案 有一个零点解析 f(1)41 0，23 133f(x)在区间1，1上有零点又 f(x)42x2x 2 2(x )2，92 12当1x1 时，0f(x) ，92f(x)在1，1上是单调递增函数f(x)在1，1上有且只有一个零点18已知函数 f(x)4 xm2 x1 仅有一个零点，求 m的取值范围，并求出零点答案 m2，零点是 x0解析 方法一：令 2xt，则 t0，则 g(t)t 2mt10 仅有一正根或两个相等的正根，6而 g(0)10，故 m2 4 0， m20. )m2.方法二：令 2xt，则 t0.原函数的零点，即方程 t2mt10 的根t 21mt.m t (t0)t2 1t 1
8、t有一个零点，即方程只有一根t 2(当且仅当 t 即 t1 时取等号)，1t 1t又 yt 在(0，1)上递减，在(1，)上递增1tm2 即 m2 时，只有一根注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数1(2018郑州质检)x表示不超过 x的最大整数，例如2.92，4.15，已知f(x)xx(xR)，g(x)log 4(x1)，则函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 作出函数 f(x)与 g(x)的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选 B.2函数 f(x)xcos2x 在区间0，2上的零点的个数为( )A2 B3C4 D5答案 D解析 借助余弦
9、函数的图像求解f(x)xcos2x0x0 或 cos2x0，又 cos2x0 在0，2上有 ， ， ， ，共 4个根，故原函数有 5个零点434 54 743方程 2x x 23 的实数解的个数为( )A2 B3C1 D4答案 A7解析 构造函数 y2 x 与 y3x 2，在同一坐标系中作出它们的图像，可知有两个交点，故方程 2x x 23 的实数解的个数为 2.故选 A.4函数 f(x)e x3x 的零点个数是( )A0 B1C2 D3答案 B解析 由已知得 f(x)e x30，所以 f(x)在 R上单调递增，又 f(1)e 1 30，因此 f(x)的零点个数是 1，故选 B.5设函数 f(
10、x) xlnx，则函数 yf(x)( )13A在区间( ，1)，(1，e)内均有零点1eB在区间( ，1)，(1，e)内均无零点1eC在区间( ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点1eD在区间( ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点1e答案 D解析 方法一：令 f(x)0 得 xlnx.作出函数 y x和 ylnx 的图13 13像，如图，显然 yf(x)在( ，1)内无零点，在(1，e)内有零点，故选1eD.方法二：当 x( ，e)时，函数图像是连续的，且 f(x) 0，f(1) 0，f(e) e10，f(2)3log 2220，f(4) log 24 0） ，2x 1 （ x 0）
11、 )A0 B1C2 D3答案 D解析 依题意，在考虑 x0时可以画出 ylnx 与 yx 22x 的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当 x0 时，函数 f(x)2x1 与 x轴只有一个交点，所以函数 f(x)有 3个零点故选 D.8如果函数 f(x)axb(a0)有一个零点是 2，那么函数 g(x)bx 2ax 的零点是_答案 0，12解析 由已知条件 2ab0，即 b2a.g(x)2ax 2ax2ax(x )，12则 g(x)的零点是 x0，x .129(2018东营模拟)已知x表示不超过实数 x的最大整数，如1.81，1.22.x 0是函数 f(x)lnx 的零点，则x 0等于_2x答
12、案 210(2016山东)已知函数 f(x) 其中 m0.若存在实数 b，使得|x|， x m，x2 2mx 4m， xm， )关于 x的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m的取值范围是_答案 (3，)解析 f(x) 当 xm时，f(x)x 22mx4m(xm) 24mm 2，|x|， x m，x2 2mx 4m， xm， )其顶点为(m，4mm 2)；当 xm 时，函数 f(x)的图像与直线 xm 的交点为 Q(m，m)当即 00，4m m2 m， )的图像有一个或两个不同的交点，不符合题意；当 即 m3时，函数 f(x)4m m20， )的图像如图 2所示，则存在实数 b满足 4mm 2bm，使得直线 yb 与函数 f(x)的图像有三个不同的交点，符合题意综上，m 的取值范围为(3，)1
