1、192 用样本估计总体知识梳理1用样本的频率分布估计总体分布(1)频率分布：样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布(2)作频率分布直方图的步骤：求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于 1.(3)频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分
2、的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线(4)茎叶图：统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且2可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；有两组数据时，写在中间；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧2样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数(2)方差和标准差方差和标准差反映了
3、数据波动程度的大小方差： s2 (x1 )2( x2 )2( xn )2，1n x x x 标准差：3s .1nx1 x 2 x2 x 2 xn x 2(3)关于平均数、方差的有关性质若 x1， x2， xn的平均数为 ，那么 mx1 a， mx2 a， mxn a 的平均数为 mx a.x 数据 x1， x2， xn与数据 x1 x1 a， x2 x2 a， xn xn a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变若 x1， x2， xn的方差为 s2，那么 ax1 b， ax2 b， axn b 的方差为 a2s2.(4)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动
4、的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差，方差越小，数据的离散程度越小，越稳定3各种统计表的优点与不足诊断自测1概念思辨(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大( )4(2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了( )(3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A3P70例题)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分茎叶
5、图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A91.5 和 91.5 B91.5 和 92C91 和 91.5 D92 和 92答案 A解析 这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96，中位数是 91.5，91 922平均数 91.5.故选 A.x 87 89 90 91 92 93 94 968(2)(必修 A3P82T7)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5答案 C解析
6、 由图可得， 甲 6， 乙 6，故 A 错误；甲x 4 5 6 7 85 x 35 6 95的成绩的中位数为 6，乙的成绩的中位数为 5，故 B 错误； s 2， s 2.4，故 C 正确；2甲 2乙甲的成绩的极差为 4，乙的成绩的极差也为 4，D 错误故选 C.3小题热身(1)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x， y 的值分别为( )A2,5 B5,5 C5,8 D8,8答案 C解析 由茎叶图及已知得 x5，又乙组数据的平均数为 16.8，即16.8，解得 y8，故选 C.9 15 10
7、 y 18 245(2)(2018济南调研)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，上图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6人，则第三组中有疗效的人数为_答案 12解析 全体志愿者共有： 50(人)，200.24 0.1616所以第三组有志愿者：0.3615018(人)第三组中没有疗效的有 6 人，有疗效的有 18612(人)题型 1 样本数字特征的计算及应用
8、某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两 典 例个小组往年研发新产品的结果如下：(a， b)，( a， )，( a， b)，( ， b)，( ， )，( a， b)，( a， b)，( a， )，( ， b)，b a a b b a (a， )，( ， )，( a， b)，( a， )，( ， b)，( a， b)，b a b b a 其中 a， 分别表示甲组研发成功和失败； b， 分别表示乙组研发成功和失败a b (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企
9、业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率(1)直接用公式求解；(2)按古典概型求解解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1.其平均数为 甲 ；x 1015 23方差为 s .2甲115(1 23)210 (0 23)25 29乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为 乙x ；915 35方差为 s .2乙115(1 35)29 (0 35)26 625因为 甲 乙 ， s ，因此可看出 A 药的疗效更好x y (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，
10、A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效710的试验结果有 的叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好.710题型 3 频率分布直方图10角度 1 求频率或频数(2016山东高考)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)， 典 例制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )A56 B60 C120 D140首先求 22.530 范围上的频率
11、，即求第三、四、五直方图的面积，再求人数答案 D解析 由频率分布直方图知这 200 名学生每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率为1(0.020.10)2.50.7，则这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数为 2000.7140，故选 D.角度 2 利用频率分布直方图估计总体(2016四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水 典 例方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图11(1)求直方图中 a 的值
12、；(2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数解 (1)由频率分布直方图可知：月均用水量在0,0.5)内的频率为 0.080.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由 1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5 a0.5 a，解得 a0.30.(2)由(1)知，该市 100 位居民中月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06 十0.040.020.12.由以
13、上样本的频率分布，可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3000000.1236000.(3)设中位数为 x 吨，因为前 5 组的频率之和为 0.040.080.150.210.250.730.5.又前 4 组的频率之和为 0.040.080.150.210.482205 元，所以农民工 2012 年的人均月收入比2011 年的少了，是错误的，故 C 错误；由条形统计图可得出，2009 年到 2013 年这五年中2013 年农民工人均月收入最高故 D 正确故选 C.6.某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示以组距为 5 将数据分
14、组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40时，所作的频率分布直方图是( )18答案 A解析 解法一：由茎叶图知，各组频数统计如表：此表对应的频率分布直方图为选项 A.故选 A.解法二：选项 C、D 组距为 10 与题意不符，舍去，又由茎叶图知落在区间0,5)与5,10)上的频数相等，故频率、频率/组距也分别相等，比较 A、B 两个选项知 A 正确故选 A.7如图所示，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 Ax 和 B，样本标准差分别为 sA和 sB，则( )x 19A. A B， sAsB B. AsBx x x x C. A B， sAsB，故选 B.8(
15、2017广东肇庆一模)图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A1， A2， A14.图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是( )20A7 B8 C9 D10答案 D解析 该程序的作用是求考试成绩不低于 90 分的次数，根据茎叶图可得不低于 90 分的次数为 10.故选 D.9(2017吉林模拟)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是 ( )A15 名女生成绩的平均分为 78B17 名男生成绩的平均分为 77C女
16、生成绩和男生成绩的中位数分别为 82,80D男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重答案 C解析 15 名女生成绩的平均分为(909380808282838385707173756657)78，A 正确；11517 名男生成绩的平均分为21(9393968082838686887174756262685357)77，117故 B 正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D 正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为 80，C 错误故选 C.10(2015全国卷)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单
17、位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D解析 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确；20042006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，
18、故 D 错误故选 D.二、填空题11(2017聊城模拟)某校女子篮球队 7 名运动员身高(单位：厘米)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为 175 cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么 x 的值为_答案 2解析 由题意有：175718021705112 x45 x2.12某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频22率分布直方图，其中直方图从左至右的前 3 个小矩形的面积之比为 123，则购鞋尺寸在39.5,43.5)内的顾客所占百分比为_答案 55%解析 后两个小组的频率为(0.03750.0875)20.25，所以前 3 个小组的频率为1
19、0.250.75，又前 3 个小组的面积比为 123，即前 3 个小组的频率比为 123.所以第三小组的频率为 0.750.375，第四小组的频率为31 2 30.087520.175，所以购鞋尺寸在39.5,43.5)的频率为 0.3750.1750.5555%.13从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示(1)直方图中 x 的值为_；(2)在这些用户中，用电量落在区间100,250)内的户数为_答案 (1)0.0044 (2)70解析 (1)由频率分布直方图知200,250)小组的频率为1(0.00240.00360.
20、00600.00240.0012)500.22，23于是 x 0.0044.0.2250(2)数据落在100,250)内的频率为(0.00360.00600.0044)500.7，所求户数为 1000.770.14已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7， a， b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为 10.5，若要使该总体的方差最小，则 a， b 的取值分别是_答案 10.5,10.5解析 中位数为 10.5， 10.5，即 a b21.a b2 10，x 2 3 3 7 a b 12 13.7 18.3 2010 s2 (210) 2(310) 22(710) 2(
21、 a10) 2( b10) 2(1210)1102(13.710) 2(18.310) 2(2010) 2令 y( a10) 2( b10) 22 a242 a2212 2 ，(a212) 12当 a10.5 时， y 取最小值，方差 s2也取最小值 a10.5， b10.5.三、解答题15(2017福建八校联考)某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；(2)若规定成绩大于等于 115 分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；(3)从甲班中 130 分以上的 5 名同学中随机抽
22、取 3 人，求至多有 1 人的数学成绩在 140分以上的概率解 (1)由所给的茎叶图知，甲班 50 名同学的成绩由小到大排序，排在第 25,26 位的24是 108,109，数量最多的是 103，故甲班数学成绩的中位数是 108.5，众数是 103；乙班 48 名同学的成绩由小到大排序，排在第 24,25 位的是 106,107，数量最多的是 92和 101，故乙班数学成绩的中位数是 106.5，众数为 92 和 101.(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为 20，优秀率为 ；乙2050 25班中数学成绩为优秀的人数为 18，优秀率为 .1848 38(3)将分数为 131
23、,132,136 的 3 人分别记为 a， b， c，分数为 141,146 的 2 人分别记为m， n，则从 5 人中抽取 3 人的不同情况有abc， abm， abn， acm， acn， amn， bcm， bcn， bmn， cmn，共 10 种情况记“至多有 1 人的数学成绩在 140 分以上”为事件 M，则事件 M 包含的情况有abc， abm， abn， acm， acn， bcm， bcn，共 7 种情况，所以从这 5 名同学中随机抽取 3 人，至多有 1 人的数学成绩在 140 分以上的概率为P(M) .71016(2018安徽黄山模拟)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站
24、点于 2016 年 8月某日起连续 n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 n， m 的值，并完成频率分布直方图；(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100和(150,200的监测数据中，用分层抽样的方法抽25取 5 天，从中任意选取 2 天，求事件 A“两天空气质量等级都为良”发生的概率解 (1)0.00450 ， n100，20n2040 m105100， m25.0.008； 0.005； 0.002； 0.001.4010050 2510050 1010050 510050由此
25、完成频率分布直方图，如图：(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数 x250.00450750.008501250.005501750.002502250.0015095，0,50的频率为 0.004500.2，(50,100的频率为 0.008500.4，中位数为 50 5087.5.0.5 0.20.4(3)由题意知在空气质量指数为(50,100和(150,200的监测天数中分别抽取 4 天和 1天，在所抽取的 5 天中，将空气质量指数为(50,100的 4 天分别记为 a， b， c， d；将空气质量指数为(150,200的 1 天记为 e，从中任取 2 天的基本事件为( a， b)，(a， c)，( a， d)，( a， e)，( b， c)，( b， d)，( b， e)，( c， d)，( c， e)，( d， e)，共 10 个，其中事件 A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为( a， b)，( a， c)，( a， d)，(b， c)，( b， d)，( c， d)，共 6 个，所以 P(A) .610 35
