1、186 双曲线知识梳理1双曲线的定义平面内与两个定点 F1, F2(|F1F2|2 c0)的距离的差的绝对值为常数(小于| F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 P M|MF1| MF2|2 a,| F1F2|2 c,其中 a, c为常数且 a0, c0:(1)当 ac时, P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1( a0, b0)x2a2 y2b2 1( a0, b0)y2a2 x2b2图形2续表3必记结论(1)焦点到渐近线的距离为 b.(2)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线,其方程可写作:x2
2、y2 ( 0)(3)等轴双曲线离心率 e 两条渐近线 y x相互垂直2诊断自测1概念思辨(1)平面内到点 F1(0,4), F2(0,4)距离之差等于 6的点的轨迹是双曲线( )(2)双曲线方程 (m0, n0, 0)的渐近线方程是 0,即x2m2 y2n2 x2m2 y2n2 0.( )xm yn(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 .( )2(4)若双曲线 1( a0, b0)与 1( a0, b0)的离心率分别是 e1, e2,则x2a2 y2b2 y2b2 x2a23 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)( )1e21 1e2答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)
3、(选修 A11P 53T3)已知椭圆 1 和双曲线 y21 有公共的焦点,那么双x28 y25 x2m曲线的渐近线方程是( )A x y B y x36 36C x y D y x22 22答案 D解析 由椭圆 1 和双曲线 y21 有公共的焦点,得 m185.所以x28 y25 x2mm2,所以双曲线方程为 y21,所以双曲线的渐近线方程为 y x.故选 D.x22 22(2)(选修 A11P 51例 3)已知中心在原点,焦点在 y轴的双曲线的渐近线方程为 yx,则此双曲线的离心率为_12答案 5解析 因为焦点在 y轴的双曲线的渐近线方程为 y x,所以 ,即 b2 a.由12 ab 12c
4、2 a2 b2,得 c2 a24 a25 a2,即 5,所以 e .c2a2 ca 53小题热身(1)(2014全国卷)已知 F为双曲线 C: x2 my23 m(m0)的一个焦点,则点 F到 C的一条渐近线的距离为( )A. B3 3C. m D3 m3答案 A解析 由题意知,双曲线的标准方程为 1,其中 a23 m, b23,故 cx23m y23 ,不妨设 F为双曲线的右焦点,故 F( ,0)其中一条渐近线的方a2 b2 3m 3 3m 3程为 y x,即 x y0,由点到直线的距离公式可得 d ,故选 A.1m m |3m 1|1 m2 3(2)(2016山东高考)已知双曲线 E: 1
5、( a0, b0)若矩形 ABCD的四个顶点x2a2 y2b2在 E上, AB, CD的中点为 E的两个焦点,且 2|AB|3| BC|,则 E的离心率是_答案 2解析 由已知得| AB| CD| ,| BC| AD| F1F2|2 c.2b2a4因为 2|AB|3| BC|,所以 6 c,4b2a又 b2 c2 a2,所以 2e23 e20,解得 e2 或 e (舍去)12题型 1 双曲线的定义及应用(2017湖北武汉调研)若双曲线 1 的左焦点为 F,点 P是双曲线右 典 例 1 x24 y212支上的动点, A(1,4),则| PF| PA|的最小值是( )A8 B9 C10 D12利用
6、双曲线定义得到|PF| PA|2 a| PB| PA|,再利用| PA| PB| AB|求出最小值答案 B解析 由题意知,双曲线 1 的左焦点 F的坐标为(4,0),设双曲线的右焦点x24 y212为 B,则 B(4,0),由双曲线的定义知| PF| PA|4| PB| PA|4| AB|4459 ,当且仅当 A, P, B三点共线且 P在 A, B之间时取等号4 12 0 42| PF| PA|的最小值为 9.故选 B.(2018河北邯郸模拟)设动圆 C与两圆 C1:( x )2 y24, C2:( x ) 典 例 2 5 52 y24 中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心 C的轨迹方程为_
7、根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差,然后用定义法求解答案 y21x24解析 设圆 C的圆心 C的坐标为( x, y),半径为 r,由题设知 r2,于是有Error!或Error!| CC1| CC2|42 | C1C2|,即圆心 C的轨迹 L是以 C1, C2为焦点,4 为实轴5长的双曲线, L的方程为 1,x2(42)2y252 (42)2即 y21.x24方法技巧1 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用5(2)技巧:经常结合| PF1| PF2|2 a,运用平方的方法,建立它与| PF1|PF2
8、|的联系2应用双曲线定义需注意的问题(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值” ,否则轨迹是双曲线的一支;二是“常数”小于| F1F2|,否则轨迹是线段或不存在(2)求双曲线方程时,注意用标准形式冲关针对训练1(2017衡水模拟)已知 ABP的顶点 A, B分别为双曲线 C: 1 的左、右焦x216 y29点,顶点 P在双曲线上,则 的值等于( )|sinA sinB|sinPA. B. 45 74C. D.54 7答案 A解析 由 1 得 a4, b3, c5.结合双曲线定义及正弦定理得x216 y29 ,故选 A.|sinA sinB|sinP |PA| |PB|AB| 2a2c 452
9、已知双曲线 1 上有一点 P, F1, F2是双曲线的焦点,且 F1PF2 ,则x216 y29 3PF1F2的面积为_答案 9 3解析 由题意,得| F1F2|2 10.16 9因为Error!所以| PF1|PF2|36.所以 S PF1F2 |PF1|PF2|sin 9 .12 3 3题型 2 双曲线的标准方程及应用(2018兰州检测)已知双曲线 1( b0),以原点为圆心,双曲线的实 典 例 x24 y2b2半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A, B, C, D四点,四边形 ABCD 的面积为2b,则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x24 4y23C.
10、 1 D. 1x24 y24 x24 y2126本题采用方程法答案 D解析 不妨设 A(x0, y0)在第一象限,由题意得Error!由得 x ,20164 b2所以 y ,20b24 164 b2 4b24 b2由可得 b212.所以双曲线的方程为 1.故选 D.x24 y212条件探究 1 若将典例中条件变为“以| F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)” ,求双曲线的方程解 因为以| F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以 c5, .ba 43又 c2 a2 b2,所以 a3, b4,所以此双曲线的方程为 1.x29 y216条件探究 2 若将典
11、例中变为“双曲线过点(2,1),且双曲线与椭圆 y21 共焦x24点” ,求双曲线的方程解 椭圆 y21 的焦点坐标是( ,0)设双曲线方程为 1( a0, b0),x24 3 x2a2 y2b2所以 1, a2 b23,解得 a22, b21,所以所求双曲线方程是 y21.4a2 1b2 x22方法技巧双曲线标准方程的求解方法1定义法2待定系数法提醒:利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数 a, b, c的方程并求出 a, b, c的值与双曲线 1,x2a2 y2b2有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 ( 0)x2a2 y2b2冲关针对
12、训练1已知双曲线 1( a0, b0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与直线x2a2 y2b2 52x y0 垂直,则双曲线的方程为( )A. y21 B x2 1x24 y247C. 1 D. 13x220 3y25 3x25 3y220答案 A解析 由题意得 c , ,则 a2, b1,所以双曲线的方程为 y21.故选5ba 12 x24A.2(2018福建漳州模拟)已知双曲线 C: 1( a0, b0)的左、右焦点为x2a2 y2b2F1, F2, P为双曲线 C右支上异于顶点的一点, PF1F2的内切圆与 x轴切于点(1,0),且 P与点 F1关于直线 y 对称,则双曲线的方程为_
13、bxa答案 x2 1y24解析 设点 A(1,0),因为 PF1F2的内切圆与 x轴切于点(1,0),则|PF1| PF2| AF1| AF2|,所以 2a( c1)( c1),则 a1.因为点 P与点 F1关于直线 y 对称,所以 F1PF2 ,且 b,结合bxa 2 |PF1|PF2| ba|PF1| PF2|2,| PF1|2| PF2|24 c244 b2,可得 b2.所以双曲线的方程为x2 1.y24题型 3 双曲线的几何性质角度 1 与双曲线有关的范围问题(多维探究)(2015全国卷)已知 M(x0, y0)是双曲线 C: y21 上的一点, F1, F2 典 例 x22是 C的两
14、个焦点若 0, b0),则 A( a,0), B(a,0),不妨x2a2 y2b2设点 M在第一象限内,则易得 M(2a, a),又 M点在双曲线 E上,于是3 1,可得 b2 a2, e .故选 D.2a2a2 3a2b2 1 b2a2 22(2018成都统考)已知 ab0,椭圆 C1的方程为 1,双曲线 C2的方程为x2a2 y2b2 1, C1与 C2的离心率之积为 ,则 C2的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 32A x y0 B. xy02 2C x2y0 D2 xy0答案 A解析 设椭圆 C1和双曲线 C2的离心率分别为 e1和 e2,则 e1 , e2 .a2 b2a a2
15、b2a10因为 e1e2 ,所以 ,即 4 ,所以 .32 a4 b4a2 32 (ba) 14 ba 22故双曲线的渐近线方程为 y x x,ba 22即 x y0.故选 A.2题型 4 直线与双曲线的综合问题以 P(1,8)为中点作双曲线为 y24 x24 的一条弦 AB,求直线 AB的方程 典 例 1本题采用“点差法” 解 设 A(x1, y1), B(x2, y2),则Error!( y1 y2)(y1 y2)4( x1 x2)(x1 x2),弦 AB的中点是 P(1,8), x1 x22, y1 y216.16( y1 y2)8( x1 x2),直线 AB的斜率为 ,y1 y2x1
16、x2 12直线 AB的方程为 y8 (x1),12即直线 AB的方程为 x2 y150.已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0),右顶点为( ,0) 典 例 2 3(1)求双曲线 C的方程;(2)若直线 l: y kx 与双曲线 C恒有两个不同的交点 A和 B,且 2(其中 O2 OA OB 为原点),求 k的取值范围(2)直线与双曲线联立,用设而不求的方法,列出不等式,然后求解解 (1)设双曲线方程为 1( a0, b0)x2a2 y2b2由已知得 a , c2,于是 a2 b22 2, b21,故双曲线 C的方程为 y21.3x23(2)将 y kx 代入 y21,得2x23(13
17、k2)x26 kx90.2由直线 l与双曲线交于不同的两点,得Error!即 k2 且 k22,得 xAxB yAyB2.OA OB xAxB yAyB xAxB( kxA )(kxB )2 2( k21) xAxB k(xA xB)22( k21) k 2 91 3k2 2 62k1 3k2 .3k2 73k2 1于是 2,即 0,3k2 73k2 1 3k2 93k2 1解得 0, b0)的位置关系的分析:x2a2 y2b21代数法Error!消去 y,得( b2 a2k2)x22 kma2x a2(m2 b2)0.(1)二次项系数为 0时,直线 L 与双曲线的渐近线平行或重合(k ba)
18、重合:无交点;平行:有一个交点(2)二次项系数不为 0时,上式为一元二次方程, 0直线与双曲线相交(两个交点); 0直线与双曲线相切; 0, m20),即x24 y25 1,双曲线与椭圆 1 有公共焦点,4 k5 k123,解得 k1,故双x24k y25k x212 y23曲线 C的方程为 1.故选 B.x24 y25解法二:椭圆 1 的焦点为(3,0),双曲线与椭圆 1 有公共焦点,x212 y23 x212 y23 a2 b2(3) 29,双曲线的一条渐近线为 y x, ,联立可解得52 ba 52a24, b25.双曲线 C的方程为 1.x24 y25故选 B.3(2017全国卷)已知
19、双曲线 C: 1( a0, b0)的右顶点为 A,以 A为圆心,x2a2 y2b2b为半径作圆 A,圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M, N两点若 MAN60,则 C的离心率为_答案 233解析 如图,由题意知点 A(a,0),双曲线的一条渐近线 l的方程为 y x,即babx ay0,点 A到 l的距离 d .aba2 b2又 MAN60, MA NA b, MAN为等边三角形, d MA b,即 b, a23 b2,32 32 aba2 b2 32 e .ca a2 b2a2 2334(2018兰州诊断)若双曲线 1( a0, b0)一条渐近线的倾斜角为 ,离心x2a2 y2b2 31
20、4率为 e,则 的最小值为_a2 eb答案 263解析 由题意,可得 k tan .ba 3 3 b a,则 a2 , e 2.3b23 1 b2a2 2 .a2 eb b23 2b b3 2b b32b 263当且仅当 b26, a22 时取“” 重点保分 两级优选练A级一、选择题1(2018唐山统考)“ k25,“ k4.由于双曲线的实轴长为 2小于 4,因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在 x轴上方或 x轴下方两种情况综上所述,共有三条直线满足条件,故选 C.5(2016浙江高考)已知椭圆 C1: y21( m1)与双曲线 C2: y21( n0)的焦x2m2 x2n2点重合, e1,
21、 e2分别为 C1, C2的离心率,则( )A mn且 e1e21 B mn且 e1e21 D m0, m1可得 mn,且n2 1n2 1nm220.从而 e e ,则 e e 1 121 2m2 1n2 1m2n2 m2 12m2m2 2 212 m2 12m2m2 20,即 e1e21.故选 A.1m2m2 26(2017福建龙岩二模)已知离心率为 的双曲线 C: 1( a0, b0)的左、52 x2a2 y2b2右焦点分别为 F1, F2, M是双曲线 C的一条渐近线上的点,且 OM MF2, O为坐标原点,若S OMF216,则双曲线的实轴长是( )A32 B16 C84 D4答案 B
22、解析 由题意知 F2(c,0),不妨令点 M在渐近线 y x上,由题意可知ba|F2M| b,所以| OM| a.由 S OMF216,可得 ab16,即 ab32,bca2 b2 c2 b2 12又 a2 b2 c2, ,所以 a8, b4, c4 ,所以双曲线 C的实轴长为 16.故选 B.ca 52 57(2018湖南十校联考)设双曲线 1 的两条渐近线与直线 x 分别交于x2a2 y2b2 a2cA, B两点, F为该双曲线的右焦点若 60 AFB90,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A(1, ) B( ,2)2 2C(1,2) D( ,)2答案 B解析 双曲线 1 的两条渐近线方
23、程为 y x, x 时, y ,不妨设 Ax2a2 y2b2 ba a2c abc, B ,(a2c, abc) (a2c, abc)60 AFB90, kFB1, 1, 1, 1,1 e213, 33 33abcc a2c 33 ab 13 a2c2 a2 2e2.故选 B.8(2017福建漳州八校联考)已知椭圆 C1: 1( a1 b10)与双曲线 C2: x2a21 y2b21 x2a2171( a20, b20)有相同的焦点 F1, F2,点 P是两曲线的一个公共点, e1, e2分别是两y2b2曲线的离心率,若 PF1 PF2,则 4e e 的最小值为( )21 2A. B4 52C
24、. D992答案 C解析 由题意设焦距为 2c,令 P在双曲线的右支上,由双曲线的定义知|PF1| PF2|2 a2,由椭圆定义知| PF1| PF2|2 a1,又 PF1 PF2,| PF1|2| PF2|24 c2, 2 2,得| PF1|2| PF2|22 a 2 a ,21 2将代入,得 a a 2 c2,21 24 e e 2 ,当且21 24c2a21 c2a2 4a21 a22a21 a21 a22a2 52 2a2a21 a212a2 52 2a2a21a212a2 92仅当 ,即 a 2 a 时,取等号故选 C.2a2a21 a212a2 21 29(2017青州市模拟)已知
25、中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 F1, F2,这两条曲线在第一象限的交点为 P, PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若| PF1|10,记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1, e2,则 e1e2的取值范围是( )A. B.(13, ) (15, )C. D(0,)(19, )答案 A解析 设椭圆和双曲线的半焦距为 c,| PF1| m,| PF2| n(mn),由于 PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若| PF1|10,即有 m10, n2 c,由椭圆的定义可得 m n2 a1,由双曲线的定义可得 m n2 a2,即有 a15 c, a25 c(c10,可
26、得 c ,即有 .25c2 125c2 11318则 e1e2的取值范围为 .故选 A.(13, )10已知椭圆 C: 1( ab0)的离心率为 .双曲线 x2 y21 的渐近线与椭圆x2a2 y2b2 32C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C的方程为( )A. 1 B. 1x28 y22 x212 y26C. 1 D. 1x216 y24 x220 y25答案 D解析 椭圆的离心率为 ,32 , a2 b.椭圆的方程为 x24 y24 b2.ca a2 b2a 32双曲线 x2 y21 的渐近线方程为 xy0,渐近线 xy0 与椭圆 x24 y24 b2在第一象
27、限的交点为 ,(255b, 255b)由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 b b4,255 255 b25, a24 b220.椭圆 C的方程为 1.故选 D.x220 y25二、填空题11若点 P在曲线 C1: 1 上,点 Q在曲线 C2:( x5) 2 y21 上,点 R在曲x216 y29线 C3:( x5) 2 y21 上,则| PQ| PR|的最大值是_答案 10解析 依题意得,点 F1(5,0), F2(5,0)分别为双曲线 C1的左、右焦点,因此有|PQ| PR|(| PF2|1)(| PF1|1)| PF2| PF1|224210,故|PQ| PR|的最大值是 1
28、0.12过双曲线 1( a0, b0)的左焦点 F( c,0)(c0),作圆 x2 y2 的切线,x2a2 y2b2 a24切点为 E,延长 FE交曲线右支于点 P,若 ( ),则双曲线的离心率为_OE 12OF OP 答案 102解析 圆 x2 y2 的半径为 ,由 ( )知, E是 FP的中点,设 F( c,0),a24 a2 OE 12OF OP 由于 O是 FF的中点,所以 OE PF,| OE| |PF| PF|2| OE| a.12由双曲线定义,| FP|3 a,因为 FP是圆的切线,切点为 E,所以 FP OE,从而19 FPF90.由勾股定理,得| FP|2| F P|2| F
29、F| 29a2 a24 c2e .10213(2018安徽江南十校联考)已知 l是双曲线 C: 1 的一条渐近线, P是 lx22 y24上的一点, F1, F2是 C的两个焦点,若 0,则 P到 x轴的距离为_PF1 PF2 答案 2解析 由题意取 F1( ,0), F2( ,0),不妨设 l的方程为 y x,则可设 P(x0,6 6 2x0),由 ( x0, x0)( x0, x0)3 x 60,得 x0 ,2 PF1 PF2 6 2 6 2 20 2故 P到 x轴的距离为 |x0| 2.214(2018贵州六校联考)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线” 已知
30、 F1, F2是一对相关曲线的焦点, P是它们在第一象限的交点,当 F1PF260时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是_答案 3解析 设椭圆的半长轴为 a1,椭圆的离心率为 e1,则 e1 , a1 .ca1 ce1设双曲线的实半轴为 a,双曲线的离心率为 e,e , a .ca ce|PF1| x,| PF2| y(xy0),则由余弦定理得 4c2 x2 y22 xycos60 x2 y2 xy,当点 P看作是椭圆上的点时,有 4c2( x y)23 xy4 a 3 xy,21当点 P看作是双曲线上的点时,有 4c2( x y)2 xy4 a2 xy,联立消去 xy,得 4c2 a 3 a2
31、,21即 4c2 23 2,(ce1) (ce)所以 23 24,(1e1) (1e)又因为 e,所以 e2 4,1e1 3e2整理得 e44 e230,解得 e23,所以 e ,3即双曲线的离心率为 .3B级三、解答题15已知点 M(2,0), N(2,0),动点 P满足条件| PM| PN|2 ,记动点 P的轨迹2为 W.(1)求 W的方程;20(2)若 A和 B是 W上的不同两点, O是坐标原点,求 的最小值OA OB 解 (1)由| PM| PN|2 知动点 P的轨迹是以 M, N为焦点的双曲线的右支,实半2轴长 a .2又焦距 2c4,所以虚半轴长 b .c2 a2 2所以 W的方程
32、为 1( x )x22 y22 2(2)设 A, B的坐标分别为( x1, y1),( x2, y2)当 AB x轴时, x1 x2, y1 y2,从而 x1x2 y1y2 x y 2.OA OB 21 21当 AB与 x轴不垂直时,设直线 AB的方程为 y kx m(k1),与 W的方程联立,消去 y得(1 k2)x22 kmx m220,则 x1 x2 , x1x2 ,2km1 k2 m2 2k2 1所以 x1x2 y1y2OA OB x1x2( kx1 m)(kx2 m)(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 m21 k2m2 2k2 1 2k2m21 k2 2 .2k2 2k2
33、 1 4k2 1又因为 x1x20,所以 k210.所以 2.OA OB 综上所述,当 AB x轴时, 取得最小值 2.OA OB 16已知双曲线 C: x2 y21 及直线 l: y kx1.(1)若 l与 C有两个不同的交点,求实数 k的取值范围;(2)若 l与 C交于 A, B两点, O是坐标原点,且 AOB的面积为 ,求实数 k的值2解 (1)双曲线 C与直线 l有两个不同的交点,则方程组Error!有两个不同的实数根,整理得(1 k2)x22 kx20,所以Error!解得 |x2|时,S OAB S OAD S OBD (|x1| x2|)12 |x1 x2|;12当 A, B在双曲线的两支上且 x1x2时,21S OAB S ODA S OBD (|x1| x2|)12 |x1 x2|.12所以 S OAB |x1 x2| ,12 2所以( x1 x2)2(2 )2,即 2 8,2 ( 2k1 k2) 81 k2解得 k0 或 k ,又因为 k ,62 2 2且 k1,所以当 k0 或 k 时, AOB的面积为 .62 2