1、175 直线、平面垂直的判定与性质知识梳理1直线与平面垂直判定定理与性质定理22平面与平面垂直判定定理与性质定理3直线和平面所成的角范围： .0， 24二面角范围0，35必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面诊断自测1概念思辨(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l
2、.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( )(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A2P73A 组 T1)若 m， n 表示两条不同的直线， 表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )Error! m n；Error! m n；Error! n .A1 B2 C3 D0答案 B解析 不正确，直线 n 与 不一定垂直，可能是平行或相交或在平面内均正确故选 B.(2)(必修 A2P67T2)在三棱锥 P ABC 中，点 P 在平面
3、ABC 中的射影为点 O，若 PA PB PC，则点 O 是 ABC 的_心；若 PA PB， PB PC， PC PA，则点 O 是 ABC 的_心答案 外 垂解析 如图 1，连接 OA， OB， OC， OP，在 Rt POA、Rt POB 和 Rt POC 中， PA PC PB，所以 OA OB OC，即 O 为 ABC 的外心4如图 2， PC PA， PB PC， PA PB P， PC平面 PAB， AB平面 PAB， PC AB，又 AB PO， PO PC P， AB平面 PGC，又 CG平面 PGC， AB CG，即 CG 为 ABC 边 AB 的高，同理可证 BD， AH
4、 分别为 ABC 边 AC， BC 上的高，即 O 为 ABC 的垂心3小题热身(1)(2017湖南六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( )A 且 m B 且 m C m n 且 n D m n 且 n 答案 C解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确故选 C.(2)(2018辽宁五校联考)假设平面 平面 EF， AB ， CD ，垂足分别为B， D，如果增加一个条件，就能推出 BD EF，现有下面四个条件： AC ； AC ； AC 与 BD 在 内的射影在同一条直线上； AC EF.其中能成为
5、增加条件的是_(把你认为正确的条件序号都填上)答案 解析 如果 AB 与 CD 在一个平面内，可以推出 EF 垂直于该平面，又 BD 在该平面内，所以 BD EF.故要得到 BD EF，只需 AB， CD 在一个平面内即可，只有能保证这一条件题型 1 直线与平面垂直的判定与性质角度 1 直线与平面垂直的判定定理(2016全国卷)如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， PA6. 典 例顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交AB 于点 G.5(1)证明： G 是 AB 的中点；(2)在图中作出点 E 在平面 PAC
6、 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的体积利用线面垂直判定定理进行证明解 (1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 AB PD.因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB DE.又 PD DE D，所以 AB平面 PED，故 AB PG.又由已知可得， PA PB，从而 G 是 AB 的中点(2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影理由如下：由已知可得 PB PA， PB PC，又 EF PB，所以 EF PA， EF PC，又PA PC P，因此 EF平面 PAC，
7、即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心，由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD CG.23由题设可得 PC平面 PAB， DE平面 PAB，所以 DE PC，因此 PE PG， DE PC.23 13由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2， PE2 .2在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF PF2，所以四面体 PDEF 的体积 V 222 .13 12 43角度 2 垂直关系中的探索性问题6如图所示，平面 ABCD平面 BCE，四边形 ABCD
8、为矩形， BC CE，点 F 为 CE 典 例的中点(1)证明： AE平面 BDF；(2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PM BE？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由从 BC CE 取 BE 的中点 H， CH BE 入手分析解 (1)证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，如右图四边形 ABCD 是矩形， O 为 AC 的中点，又 F 为 EC 的中点， OF 为 ACE 的中位线， OF AE，又 OF平面 BDF， AE平面BDF. AE平面 BDF.7(2)当 P 为 AE 中点时，有 PM BE.证明如下：取 BE
9、 中点 H，连接 DP， PH， CH. P 为 AE 的中点， H 为 BE 的中点， PH AB，又 AB CD， PH CD， P， H， C， D 四点共面平面 ABCD平面 BCE，平面 ABCD平面 BCE BC， CD平面 ABCD， CD BC. CD平面 BCE，又 BE平面 BCE， CD BE， BC CE， H 为 BE 的中点， CH BE，又 CD CH C， BE平面 DPHC，又 PM平面 DPHC， BE PM，即 PM BE.方法技巧1证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也
10、与这个平面垂直” (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直” (4)利用面面垂直的性质定理2线面垂直中的探索性问题探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在冲关针对训练(2018济南模拟)如图，正方形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC， EF AC， AB ， EF FA1.28(1)求证： CE平面 BDF；(2)求证： BE平面 DEF.证明 (1)设正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，连接 FO.由题知 EF OC1，因为 EF AC，所以四
11、边形 CEFO 为平行四边形，所以 CE OF.又 CE平面 BDF， OF平面 BDF，所以 CE平面 BDF.(2)因为平面 ABCD平面 ACEF，平面 ABCD平面 ACEF AC， FA AC， FA平面 ACEF，故 FA平面 ABCD.连接 EO，易知四边形 AOEF 为边长为 1 的正方形，所以 EO平面 ABCD，则 EO BD.所以 BDE 为等腰三角形， BD2 BO2 OC2，BE DE .BO2 EO2 2因为 BD2 BE2 DE2，所以 BE DE.同理在 BEF 中， BE EF，因为 DE EF E，所以 BE平面 DEF.题型 2 面面垂直的判定与性质(20
12、17北京高考)如图，在三棱锥 P ABC 中， 典 例PA AB， PA BC， AB BC， PA AB BC2， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点(1)求证： PA BD；(2)求证：平面 BDE平面 PAC；9(3)当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积首先分析已知中的垂直线段所在的平面，由于AB BC，取 AC 的中点是关键解 (1)证明：因为 PA AB， PA BC，所以 PA平面 ABC.又因为 BD平面 ABC，所以 PA BD.(2)证明：因为 AB BC， D 为 AC 中点，所以 BD AC.由(1)知， PA BD，又 PA AC A
13、，所以 BD平面 PAC.又 BD平面 BDE，所以平面 BDE平面 PAC.(3)因为 PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDE DE，所以 PA DE.因为 D 为 AC 的中点，所以 DE PA1， BD DC .12 2由(1)知， PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC.所以三棱锥 E BCD 的体积 V BDDCDE .16 13结论探究 在典例条件下，证明：平面 PBC平面 PAB.证明 由(1)知 PA BC，又 BC AB 且 PA AB A， BC平面 PAB，又 BC平面PBC，平面 PBC平面 PAB.方法技巧面面垂直的应用策略1证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的
14、定义；面面垂直的判定定理2已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直冲关针对训练(2015全国卷)如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若 ABC120， AE EC，三棱锥 E ACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积63解 (1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD.10因为 BE平面 ABCD，所以 AC BE，又 BE BD D，故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设
15、AB x，在菱形 ABCD 中，由 ABC120，可得 AG GC x， GB GD .32 x2因为 AE EC，所以在 Rt AEC 中，可得 EG x.32由 BE平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形，可得BE x.22由已知得，三棱锥 E ACD 的体积VE ACD ACGDBE x3 ，13 12 624 63故 x2，从而可得 AE EC ED .6所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 ，故三棱锥 E ACD 的侧面5积为 32 .51.(2017全国卷)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1
16、B A1E BDC A1E BC1 D A1E AC答案 C解析 解法一：如图， A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直，B，D 错误； A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1C BC1， A1E BC1，故 C 正确；(证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1平面 CEA1B1.又A1E平面 CEA1B1， A1E BC1) A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1垂直，故 A 错误故选 C.解法二：(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
17、1，则A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0)， D(0,0,0)， A1(1,0,1)， C1(0,1,1)，11E ， ， (0,1,1)， (1，1，0)， (1,0,1)，(0，12， 0) A1E ( 1， 12， 1) DC1 BD BC1 (1,1,0)， 0， 0， 0， 0， A1E BC1.AC A1E DC1 A1E BD A1E BC1 A1E AC 故选 C.2(2017河北唐山一模)如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G是 EF 的中点，现在沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C，
18、 D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( )A AG平面 EFH B AH平面 EFHC HF平面 AEF D HG平面 AEF答案 B解析 根据折叠前、后 AH HE， AH HF 不变， AH平面 EFH，B 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确； AG EF， EF GH， AG GH G， EF平面 HAG，又 EF平面 AEF，平面HAG AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确；已证平面 HAG平面 AEF，若证 HG平面 AEF，只需证 HG AG，已证 AH HG，故 HG AG 不成立，所以 H
19、G与平面 AEF 不垂直，D 不正确故选 B.3(2018西安模拟)如图，四棱锥 P ABCD 中，AB AC， AB PA， AB CD， AB2 CD， E， F， G， M， N 分别为 PB， AB， BC， PD， PC 的中点求证：(1) CE平面 PAD；12(2)平面 EFG平面 EMN.证明 (1)如图，连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AF AB.12又 CD AB，12所以 AF CD.又 AF CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形因此 CF AD.又 CF平面 PAD， AD平面 PAD.所以 CF平面 PAD.因为 E， F 分别为 PB， AB 的中
20、点，所以 EF PA.又 EF平面 PAD， PA平面 PAD，所以 EF平面 PAD.因为 CF EF F，故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD.(2)因为 E， F 分别为 PB， AB 的中点，所以 EF PA.又 AB PA，所以 AB EF.同理可证 AB FG.又 EF FG F， EF平面 EFG， FG平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M， N 分别为 PD， PC 的中点，所以 MN CD.又 AB CD，所以 MN AB，所以 MN平面 EFG.又 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.4(2017山东模拟)如图， AB
21、 是圆 O 的直径，点 C， D 是圆 O 上异于 A， B 的点，CD AB， F 为 PD 中点， PO 垂直于圆 O 所在的平面， ABC60.13(1)证明： PB平面 COF；(2)证明： AC PD.证明 如图所示， AB 是圆 O 的直径， ABC 是直角三角形，又 ABC60， BC AB.12又四边形 ABCD 是圆的内接四边形，四边形 ABCD 是等腰梯形，四边形ADCO， DOBC 都是以半径为边长的菱形(1)连接 BD 交 OC 于 H，则 H 是 BD 中点，连接 FH，因为 F 为 PD 中点， FH PB，且 PB平面 COF， FH平面 COF， PB平面 CO
22、F.(2)四边形 ADCO 是以半径为边长的菱形 AC DO， PO 垂直于圆 O 所在的平面， PO AC，且 DO PO O， AC平面 POD， PD平面 POD， AC PD.重点保分 两级优选练A 级一、选择题1设 l 为直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )14A若 l ， l ，则 B若 l ， l ，则 C若 l ， l ，则 D若 ， l ，则 l 答案 B解析 如图所示，在正方体 A1B1C1D1 ABCD 中，对于 A 项，设 l 为 AA1，平面 B1BCC1，平面DCC1D1为 ， .A1A平面 B1BCC1， A1A平面 DCC1D1，而平面 B1
23、BCC1平面 DCC1D1 C1C；对于 C 项，设 l 为 A1A，平面 ABCD 为 ，平面 DCC1D1为 .A1A平面 ABCD； A1A平面DCC1D1，而平面 ABCD平面 DCC1D1 DC；对于 D 项，设平面 A1ABB1为 ，平面 ABCD 为 ，直线 D1C1为 l，平面 A1ABB1平面 ABCD， D1C1平面 A1ABB1，而 D1C1平面 ABCD.故A，C，D 三项都是错误的而对于 B 项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知 B 项正确故选 B.2(2017山西临汾二模)已知点 A， B 在半径为 的球 O 表面上运动，且 AB2，过3AB 作相互垂直的平面 ，
24、 ，若平面 ， 截球 O 所得的截面分别为圆 M， N，则( )A MN 长度的最小值是 2B MN 的长度是定值 2C圆 M 面积的最小值是 2D圆 M、 N 的面积和是定值 8答案 B解析 如图所示，平面 ABC 为平面 ，平面 ABD 为平面 ，则 BD BC.BC2 BD2412， CD2 ，2 M， N 分别是 AC， AD 的中点， MN 的长度是定值 .故选 B.23(2017江西南昌摸底)如图，在四面体 ABCD 中，已知 AB AC， BD AC，那么点 D15在平面 ABC 内的射影 H 必在( )A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上D ABC 内部答案 A解析
25、 因为 AB AC， BD AC， AB BD B，所以 AC平面 ABD，又 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABD，所以点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在直线 AB 上故选 A.4(2018江西九江模拟)如图，在三棱锥 D ABC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BCDC平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDED平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE答案 C解析 因为 AB CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理， DE AC，由于DE
26、 BE E，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC平面ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故选 C.5(2018甘肃二诊)已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 ， AB4，若在棱 AB 上3存在点 P，使得 D1P PC，则 AD 的取值范围是( )A(0,1 B(0,2 C(1， D1,4)3答案 B解析 连接 DP，由 D1P PC， DD1 PC，且 D1P， DD1是平面 DD1P 内两条相交直线，得16PC平面 DD1P， PC DP，即点 P 在以 CD 为直径的圆上，又点 P 在 AB 上，则 AB 与圆有公共点，即
27、 0 AD CD2.故选 B.126(2018河北模拟)在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，BA AD， AD BC， AB BC2， PA3， PA底面 ABCD， E 是棱 PD 上异于 P， D 的动点设 m，则“0 m2”是“三棱锥 C ABE 的体积不小于 1”的( )PEEDA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 如图，过 E 点作 EH AD， H 为垂足，则 EH平面 ABCD. VC ABE VE ABC，三棱锥 C ABE 的体积为 EH.若三棱锥 C ABE 的体积不小于 1，则 EH ，又23 32PA3，
28、m1，PEED0 m1.故选 B.7如图，三棱锥 P ABC 的所有棱长都相等， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A BC平面 PDFB DF平面 PAEC平面 PDF平面 ABCD平面 PAE平面 ABC答案 C解析 BC DF， BC平面 PDF，A 正确17 BC PE， BC AE， BC平面 PAE.又 DF BC， DF平面 PAE，B 正确 BC平面 PAE， BC平面 ABC，平面 PAE平面 ABC，D 正确故选 C.8(2018湖北武汉月考)如图，在矩形 ABCD 中， AB ， BC1，将 ACD 沿 AC 折3起，使得
29、 D 折起后的位置为 D1，且 D1在平面 ABC 上的射影恰好落在 AB 上，在四面体D1 ABC 的四个面中，有 n 对平面相互垂直，则 n 等于( )A2 B3 C4 D5答案 B解析 设 D1在平面 ABC上的射影为 E，连接D1E，则 D1E平面 ABC， D1E平面 ABD1，平面 ABD1平面 ABC. D1E平面 ABC， BC平面 ABC， D1E BC，又 AB BC， D1E AB E， BC平面 ABD1.又 BC平面 BCD1，平面 BCD1平面 ABD1. BC平面 ABD1， AD1平面 ABD1， BC AD1，又 CD1 AD1， BC CD1 C， AD1平
30、面 BCD1，又 AD1平面 ACD1，平面 ACD1平面 BCD1.18共有 3 对平面互相垂直故选 B.9(2018静海月考)如图所示，三棱锥 P ABC 的底面在平面 内，且 AC PC，平面 PAC平面 PBC，点 P， A， B 是定点，则动点 C 的轨迹是( )A一条线段 B一条直线C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点答案 D解析 平面 PAC平面 PBC，而平面 PAC平面 PBC PC.又 AC平面 PAC，且 AC PC， AC平面 PBC，而 BC平面 PBC， AC BC，点 C 在以 AB 为直径的圆上，点 C 的轨迹是一个圆，但是要去掉 A 和 B 两点故选 D.10(
31、2018吉林期末)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是( )19A4 B3C2 D1答案 A解析 满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥 P ABCD 所示，不妨令 PA矩形 ABCD， PA AB， PA AD， PA CB， PA CD，故 PAB 和 PAD 都是直角三角形又矩形中 CB AB， CD AD.这样 CB 垂直于平面 PAB 内的两条相交直线 PA、 AB，CD 垂直于平面 PAD 内的两条相交直线 PA、 AD，由线面垂直的判定定理可得 CB平面 PAB， CD平面 PAD， CB PB，
32、CD PD，故PBC 和 PDC 都是直角三角形，故直角三角形有 PAB、 PAD、 PBC、 PDC 共 4 个故选 A.二、填空题11(2017开封二模)三棱锥 S ABC 中， SBA SCA90， ABC 是斜边 AB a的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90；直线 SB平面 ABC；平面 SBC平面 SAC；点 C 到平面 SAB 的距离是 a.12其中正确的是_20答案 解析 由题意知 AC平面 SBC，故 AC SB，故正确；再根据 SB AC， SB AB，可得SB平面 ABC，平面 SBC平面 SAC，故正确；取 AB 的中点 E，连接 C
33、E，可证得 CE平面 SAB，故 CE 的长度即为点 C 到平面 SAB 的距离，为 a，正确1212(2017苏州期末)如图，四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，则下列结论： AD平面 PBC；平面 PAC平面 PBD；平面 PAB平面 PAC；平面 PAD平面 PDC.其中正确的结论序号是_答案 解析 由底面为正方形，可得 AD BC，AD平面 PBC， BC平面 PBC，可得 AD平面 PBC；在正方形 ABCD 中， AC BD，PA底面 ABCD，可得 PA BD，PA AC A，可得 BD平面 PAC，BD平面 PBD，即有平面 PAC平面 P
34、BD； PA底面 ABCD，可得 PA AB， PA AC，可得 BAC 为二面角 B PA C 的平面角，显然 BAC45，故平面 PAB平面 PAC 不成立；在正方形 ABCD 中，可得 CD AD，PA底面 ABCD，可得 PA CD，PA AD A，可得 CD平面 PAD，CD平面 PCD，即有平面 PAD平面 PDC.综上可得，正确13(2017三元月考)如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将 ADB 沿 BD 折起，使 CD平面 ABD，构成三棱锥 A BCD.则在三棱锥A BCD 中，平面 BCD，平面 ADC，平面 ABC，平面
35、 ABD，互相垂直的有_21答案 平面 ABD平面 ACD、平面 ABD平面 BCD、平面 ABC平面 ACD解析 在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90， BD CD.由 CD平面 ABD， CD平面 BCD，所以平面 ABD平面 BCD，由 CD平面 ABD，则 CD AB，又 AD AB.故 AB平面 ADC，所以平面 ABC平面 ADC，平面 ABD平面 ADC.14(2018泰安模拟)如图，四边形 ABCD 中， AB AD CD1， BD ， BD CD.将四2边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A BCD，使平面 A BD平面 BC
36、D，则 BA C_， VA BCD_.答案 90 16解析 由题设知： BA D 为等腰直角三角形， CD平面 A BD，得 BA平面A CD， BA C90，VA BCD VC A BD .16B 级三、解答题15(2018临汾期末)在三棱柱 ABC A1B1C1，侧面 ABB1A1为矩形，AB2， AA12 ， D 是 AA1中点， BD 与 AB1交于点 O，且 OC平面 ABB1A1.222证明：平面 AB1C平面 BCD.证明 ABB1A1为矩形， AB2，AA12 ， D 是 AA1的中点，2 BAD90， ABB190，BB12 ， AD AA1 ，212 2tan ABD ，A
37、DAB 22tan AB1B ，ABBB1 22 ABD AB1B， AB1B BAB1 ABD BAB1 ， 2 AOB ，即 AB1 BD. 2 CO平面 ABB1A1， AB1平面 ABB1A1， AB1 CO，又 BD CO O， AB1平面 BCD. AB1平面 AB1C，平面 AB1C平面 BCD.16(2018黄冈调研)在三棱锥 P ABC 中， PAB 是等边三角形， PA AC， PB BC.(1)证明： AB PC；(2)若 PC2，且平面 PAC平面 PBC，求三棱锥 P ABC 的体积23解 (1)证明：在 Rt PAC 和 Rt PBC 中AC ， BC .PC2 P
38、A2 PC2 PB2 PA PB， AC BC.取 AB 中点 M，连接 PM， CM，则 AB PM， AB MC， AB平面 PMC，而 PC平面 PMC， AB PC.(2)在平面 PAC 内作 AD PC，垂足为 D，连接 BD.平面 PAC平面 PBC， AD平面 PBC，又 BD平面 PBC， AD BD，又 Rt PACRt PBC， AD BD， ABD 为等腰直角三角形设 AB PA PB a，则 AD a，22在 Rt PAC 中，由 PAAC PCAD 得 a 2 a， a .4 a222 2 S ABD ADBD 2 ，12 12 (22a) 12 VP ABC S A
39、BDPC 2 .13 13 12 1317(2018绵阳期末)如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D 是 AB 的中点， M 是 AA1上一点， AM tAA1.(1)求证： BC1平面 A1CD；(2)若 3AB2 AA1，当 t 为何值时， B1M平面 A1CD?24解 (1)证明：连接 AC1，交 A1C 于点 O，那么点 O 是 AC1的中点，连接 OD，由点 D 是AB 的中点，可得 BC1 OD， BC1平面 A1CD， OD平面 A1CD，可得 BC1平面 A1CD.(2)由 3AB2 AA1， D 为 AB 中点可得 ，ADAA1 13当 时，A1MA1B1 13可得
40、 Rt A1ADRt B1A1M， DA1A MB1A1， A1MB1 DA1A A1MB1 MB1A190， B1M A1D. D 是 AB 的中点， CD AB，又 CD AA1， AB AA1 A， CD平面 AA1B1B. B1M平面 AA1B1B， CD B1M. CD A1D D， B1M平面 A1CD，此时 ，3 AB2 AA1，A1MA1B1 13所以 A1M AA1，故 AM AA1，29 79即当 t 时， B1M平面 A1CD.7918(2018昌平区调研)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， M 是 DD1的中点(1)求证： BD1平面 AMC；(2)求证： A
41、C BD1；25(3)在线段 BB1上是否存在点 P，当 时，平面 A1PC1平面 AMC？若存在，求出BPBB1 的值并证明；若不存在，请说明理由解 (1)证明：在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，连接 BD 交 AC 于 N，连接 MN.因为 ABCD 为正方形，所以 N 为 BD 中点，在 DBD1中，因为 M 为 DD1中点，所以 BD1 MN.因为 MN平面 AMC， BD1平面 AMC，所以 BD1平面 AMC.(2)证明：因为 ABCD 为正方形，所以 AC BD.因为 DD1平面 ABCD，所以 DD1 AC.因为 DD1 BD D，所以 AC平面 BDD1.因为 BD1平面 BDD1，所以 AC BD1.(3)当 ，即点 P 为线段 BB1的中点时，平面 A1PC1平面 AMC.12因为 AA1 CC1，且 AA1 CC1，所以四边形 AA1C1C 是平行四边形，所以 AC A1C1.取 CC1的中点 Q，连接 MQ， QB.因为 M 为 DD1中点，所以 MQ AB，且 MQ AB，所以四边形 ABQM 是平行四边形所以 BQ AM.同理 BQ C1P.所以 AM C1P.因为 A1C1 C1P C1， AC AM A，所以平面 A1PC1平面 AMC.
