1、177 立体几何中的向量方法重点保分 两级优选练A 级一、选择题1已知点 A(2,5,1), B(2,2,4), C(1,4,1),则向量 与 的夹角为( )AB AC A30 B45 C60 D90答案 C解析 由已知得 (0,3,3), (1,1,0),AB AC cos , .AB AC AB AC |AB |AC | 3322 12向量 与 的夹角为 60.故选 C.AB AC 2(2018伊宁期末)三棱锥 A BCD 中,平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1, n2,若 n1, n2 ,则二面角 A BD C 的大小为( ) 3A. B. 3 23C. 或 D. 或 3
2、 23 6 3答案 C解析 二面角的范围是0,且 n1, n2 , 3二面角 A BD C 的大小为 或 .故选 C. 3 233(2017太原期中)已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,底面 ABCD 为正方形,AA12 AB, E 为 AA1的中点,则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为( )A. B. 1010 15C. D.31010 35答案 C2解析 如图,以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设 AA12 AB2,则 B(1,1,0), E(1,0,1), C(0,1,0), D1(0,0,2) (0,1,1), (0,1,2)BE CD1 cos , .故选
3、C.BE CD1 1 225 310104如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E, F 分别在 A1D, AC 上,且A1E A1D, AF AC,则( )23 13A EF 至多与 A1D, AC 之一垂直B EF A1D, EF ACC EF 与 BD1相交D EF 与 BD1异面答案 B3解析 以 D 点为坐标原点,以 DA, DC, DD1所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,如图所示设正方体棱长为 1,则 A1(1,0,1), D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), E , F , B(1,1,0),(13, 0, 13)
4、(23, 13, 0)D1(0,0,1), (1,0,1), (1,1,0), , (1,1,1),A1D AC EF (13, 13, 13) BD1 , 0,从而 EF BD1, EF A1D, EF AC.故选 B.EF 13BD1 A1D EF AC EF 5(2018河南模拟)如图所示,直三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为 3,底面边长A1C1 B1C11,且 A1C1B190, D 点在棱 AA1上且 AD2 DA1, P 点在棱 C1C 上,则 的最小值为( )PD PB1 A. B 52 14C. D14 52答案 B解析 建立如图所示的直角坐标系,4则 D(1,0,2),
5、 B1(0,1,3),设 P(0,0, z)(0 z3),则 (1,0,2 z), (0,1,3 z),PD PB1 00(2 z)(3 z) 2 ,PD PB1 (z 52) 14故当 z 时, 取得最小值为 .故选 B.52 PD PB1 146(2018沧州模拟)如图所示,在正方体 ABCD A B C D中,棱长为 1, E, F 分别是 BC, CD 上的点,且 BE CF a(00), (1,0, a)3 3 OF 设平面 EBD 的法向量为 n( x, y, z),则有Error! 即Error!13令 z1,则 n(2,0,1),由题意得 sin45|cos , n|OF |O
6、F n|OF |n| ,解得 a3 或 .|2 a|a2 15 22 13由 a0,得 a3,(1,0,3), (1, ,2),OF BE 3cos , ,OF BE 1 6108 54故异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦值为 .5416(2014全国卷)如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA平面ABCD, E 为 PD 的中点(1)证明: PB平面 AEC;(2)设二面角 D AE C 为 60, AP1, AD ,求三棱锥 E ACD 的体积3解 (1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点又 E
7、为 PD 的中点,所以 EO PB.又 EO平面 AEC, PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC.(2)因为 PA平面 ABCD, ABCD 为矩形,所以 AB, AD, AP 两两垂直14如图,以 A 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度,建立空间直角坐AB AP 标系 Axyz,则 D(0, ,0), E , .3 (0,32, 12) AE (0, 32, 12)设 B(m,0,0)(m0),则 C(m, ,0), ( m, ,0)3 AC 3设 n1( x, y, z)为平面 ACE 的法向量,则Error! 即Error!可取 n1 .(3m, 1, 3)又
8、n2(1,0,0)为平面 DAE 的法向量,由题设得|cos n1, n2| ,即 ,12 33 4m2 12解得 m .32因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E ACD 的高为 .12三棱锥 E ACD 的体积 V .13 12 3 32 12 3817(2017河北衡水中学调研)如图 1 所示,在直角梯形 ABCD 中,AD BC, BAD , AB BC1, AD2, E 是线段 AD 的中点, O 是 AC 与 BE 的交点将 2ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置,如图 2 所示(1)证明: CD平面 A1OC;(2)若平面 A1BE平面 BCDE,求直线 BD 与平面
9、A1BC 所成角的正弦值解 (1)证明:在题图 1 中,连接 CE,因为 AB BC1, AD2, E 是 AD 的中点, BAD ,所以四边形 ABCE 为正方形,四边形 BCDE 为平行四边形,所以 BE AC. 2在题图 2 中, BE OA1, BE OC,又 OA1 OC O,15从而 BE平面 A1OC.又 CD BE,所以 CD平面 A1OC.(2)由(1)知 BE OA1, BE OC,所以 A1OC 为二面角 A1 BE C 的平面角,又平面 A1BE平面 BCDE,所以 A1OC , 2所以 OB, OC, OA1两两垂直如图,以 O 为原点, OB, OC, OA1所在直
10、线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,则 B , E ,(22, 0, 0) ( 22, 0, 0)A1 , C ,(0, 0,22) (0, 22, 0)得 , ,BC ( 22, 22, 0) A1C (0, 22, 22)由 ( ,0,0),CD BE 2得 D .( 2,22, 0)所以 .BD ( 322, 22, 0)设平面 A1BC 的法向量为 n( x, y, z),直线 BD 与平面 A1BC 所成的角为 ,则Error! 得Error!取 x1,得 n(1,1,1)从而 sin |cos , n| ,BD 253 3015即直线 BD 与平面 A1BC 所
11、成角的正弦值为 .301518.九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,16将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图,在阳马 P ABCD 中,侧棱 PD底面ABCD,且 PD CD,过棱 PC 的中点 E,作 EF PB 交 PB 于点 F,连接 DE, DF, BD, BE.(1)证明: PB平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑?若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 ,求 的值 3 DCBC解 (1)证明:如图,以 D 为原点,射线 DA, DC, DP 分别为 x
12、, y, z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系设 PD DC1, BC ,则 D(0,0,0), P(0,0,1), B( ,1,0), C(0,1,0),( ,1,1),点 E 是 PC 的中点,PB 所以 E , ,(0,12, 12) DE (0, 12, 12)于是 0,即 PB DE.PB DE 又已知 EF PB,而 DE EF E,所以 PB平面 DEF.因 (0,1,1), 0,则 DE PC,所以 DE平面 PBC.PC DE PC 由 DE平面 PBC, PB平面 DEF,17可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB, DEF, EFB, DFB.(2)由 PD平面 ABCD,所以 (0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量;DP 由(1)知 PB平面 DEF,所以 ( ,1,1)是平面 DEF 的一个法向量BP 若平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 , 3则 cos ,解得 . 3 |BP DP BP |DP | | 1 2 2| 12 2所以 .DCBC 1 22故当平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 时, . 3 DCBC 22