2019版高考数学一轮复习 第7章 立体几何 7.7 立体几何中的向量方法课后作业 理.DOC

1、177 立体几何中的向量方法重点保分 两级优选练A 级一、选择题1已知点 A(2，5,1)， B(2，2,4)， C(1，4,1)，则向量 与 的夹角为( )AB AC A30 B45 C60 D90答案 C解析 由已知得 (0,3,3)， (1,1,0)，AB AC cos ， .AB AC AB AC |AB |AC | 3322 12向量 与 的夹角为 60.故选 C.AB AC 2(2018伊宁期末)三棱锥 A BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1， n2，若 n1， n2 ，则二面角 A BD C 的大小为( ) 3A. B. 3 23C. 或 D. 或 3

2、 23 6 3答案 C解析 二面角的范围是0，且 n1， n2 ， 3二面角 A BD C 的大小为 或 .故选 C. 3 233(2017太原期中)已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA12 AB， E 为 AA1的中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为( )A. B. 1010 15C. D.31010 35答案 C2解析 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设 AA12 AB2，则 B(1,1,0)， E(1,0,1)， C(0,1,0)， D1(0,0,2) (0，1,1)， (0，1,2)BE CD1 cos ， .故选

3、C.BE CD1 1 225 310104如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在 A1D， AC 上，且A1E A1D， AF AC，则( )23 13A EF 至多与 A1D， AC 之一垂直B EF A1D， EF ACC EF 与 BD1相交D EF 与 BD1异面答案 B3解析 以 D 点为坐标原点，以 DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体棱长为 1，则 A1(1,0,1)， D(0,0,0)， A(1,0,0)， C(0,1,0)， E ， F ， B(1,1,0)，(13， 0， 13)

4、(23， 13， 0)D1(0,0,1)， (1，0，1)， (1,1,0)， ， (1，1,1)，A1D AC EF (13， 13， 13) BD1 ， 0，从而 EF BD1， EF A1D， EF AC.故选 B.EF 13BD1 A1D EF AC EF 5(2018河南模拟)如图所示，直三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为 3，底面边长A1C1 B1C11，且 A1C1B190， D 点在棱 AA1上且 AD2 DA1， P 点在棱 C1C 上，则 的最小值为( )PD PB1 A. B 52 14C. D14 52答案 B解析 建立如图所示的直角坐标系，4则 D(1,0,2)，

5、 B1(0,1,3)，设 P(0,0， z)(0 z3)，则 (1,0,2 z)， (0,1,3 z)，PD PB1 00(2 z)(3 z) 2 ，PD PB1 (z 52) 14故当 z 时， 取得最小值为 .故选 B.52 PD PB1 146(2018沧州模拟)如图所示，在正方体 ABCD A B C D中，棱长为 1， E， F 分别是 BC， CD 上的点，且 BE CF a(00)， (1,0， a)3 3 OF 设平面 EBD 的法向量为 n( x， y， z)，则有Error! 即Error!13令 z1，则 n(2,0,1)，由题意得 sin45|cos ， n|OF |O

6、F n|OF |n| ，解得 a3 或 .|2 a|a2 15 22 13由 a0，得 a3，(1,0,3)， (1， ，2)，OF BE 3cos ， ，OF BE 1 6108 54故异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦值为 .5416(2014全国卷)如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面ABCD， E 为 PD 的中点(1)证明： PB平面 AEC；(2)设二面角 D AE C 为 60， AP1， AD ，求三棱锥 E ACD 的体积3解 (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点又 E

7、为 PD 的中点，所以 EO PB.又 EO平面 AEC， PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.(2)因为 PA平面 ABCD， ABCD 为矩形，所以 AB， AD， AP 两两垂直14如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，| |为单位长度，建立空间直角坐AB AP 标系 Axyz，则 D(0， ，0)， E ， .3 (0，32， 12) AE (0， 32， 12)设 B(m,0,0)(m0)，则 C(m， ，0)， ( m， ，0)3 AC 3设 n1( x， y， z)为平面 ACE 的法向量，则Error! 即Error!可取 n1 .(3m， 1， 3)又

8、n2(1,0,0)为平面 DAE 的法向量，由题设得|cos n1， n2| ，即 ，12 33 4m2 12解得 m .32因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 E ACD 的高为 .12三棱锥 E ACD 的体积 V .13 12 3 32 12 3817(2017河北衡水中学调研)如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，AD BC， BAD ， AB BC1， AD2， E 是线段 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点将 2ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置，如图 2 所示(1)证明： CD平面 A1OC；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求直线 BD 与平面

9、A1BC 所成角的正弦值解 (1)证明：在题图 1 中，连接 CE，因为 AB BC1， AD2， E 是 AD 的中点， BAD ，所以四边形 ABCE 为正方形，四边形 BCDE 为平行四边形，所以 BE AC. 2在题图 2 中， BE OA1， BE OC，又 OA1 OC O，15从而 BE平面 A1OC.又 CD BE，所以 CD平面 A1OC.(2)由(1)知 BE OA1， BE OC，所以 A1OC 为二面角 A1 BE C 的平面角，又平面 A1BE平面 BCDE，所以 A1OC ， 2所以 OB， OC， OA1两两垂直如图，以 O 为原点， OB， OC， OA1所在直

10、线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 B ， E ，(22， 0， 0) ( 22， 0， 0)A1 ， C ，(0， 0，22) (0， 22， 0)得 ， ，BC ( 22， 22， 0) A1C (0， 22， 22)由 ( ，0,0)，CD BE 2得 D .( 2，22， 0)所以 .BD ( 322， 22， 0)设平面 A1BC 的法向量为 n( x， y， z)，直线 BD 与平面 A1BC 所成的角为 ，则Error! 得Error!取 x1，得 n(1,1,1)从而 sin |cos ， n| ，BD 253 3015即直线 BD 与平面 A1BC 所

11、成角的正弦值为 .301518.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，16将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD底面ABCD，且 PD CD，过棱 PC 的中点 E，作 EF PB 交 PB 于点 F，连接 DE， DF， BD， BE.(1)证明： PB平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 ，求 的值 3 DCBC解 (1)证明：如图，以 D 为原点，射线 DA， DC， DP 分别为 x

12、， y， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系设 PD DC1， BC ，则 D(0,0,0)， P(0,0,1)， B( ，1,0)， C(0,1,0)，( ，1，1)，点 E 是 PC 的中点，PB 所以 E ， ，(0，12， 12) DE (0， 12， 12)于是 0，即 PB DE.PB DE 又已知 EF PB，而 DE EF E，所以 PB平面 DEF.因 (0,1，1)， 0，则 DE PC，所以 DE平面 PBC.PC DE PC 由 DE平面 PBC， PB平面 DEF，17可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB， DEF， EFB， DFB.(2)由 PD平面 ABCD，所以 (0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量；DP 由(1)知 PB平面 DEF，所以 ( ，1,1)是平面 DEF 的一个法向量BP 若平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 ， 3则 cos ，解得 . 3 |BP DP BP |DP | | 1 2 2| 12 2所以 .DCBC 1 22故当平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 时， . 3 DCBC 22