1、15.4 数列求和知识梳理1基本数列求和公式法(1)等差数列求和公式：Sn na1 d.na1 an2 nn 12(2)等比数列求和公式：SnError!2非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法常见的裂项公式： ；1nn k 1k(1n 1n k) ；12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1) ；1nn 1n 2 12 1nn 1 1n 1n 2 ( )1n n k 1k n k n3常用求和公式2(1)1234 n ；nn 12(2)1357(2 n1) n2；(3)122 23 2 n2 ；nn 12n 16
2、(4)132 33 3 n3 2.nn 12 诊断自测1概念辨析(1)已知等差数列 an的公差为 d，则有 .( )1anan 1 1d(1an 1an 1)(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21sin 22sin 23sin 288sin 28944.5.( )(3)求 Sn a2 a23 a3 nan时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得( )(4)若数列 a1， a2 a1， an an1 是( n1， nN *)首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列 an的通项公式是 an .( )3n 12答案 (1) (2) (3) (4)
3、2教材衍化(1)(必修 A5 P47T4)数列 an中， an ，若 an的前 n 项和为 ，则项数 n 为( )1nn 1 20172018A2014 B2015 C2016 D2017答案 D解析 an ， Sn1 ，又前 n 项和为 ，所以 n2017.故选 D.1n 1n 1 1n 1 nn 1 20172018(2)(必修 A5 P61T4)已知数列：1 ，2 ，3 ， ，则其前 n 项和关于 n 的12 14 18 (n 12n)表达式为_答案 1nn 12 12n解析 将通项式分组转化为等差与等比两数列分别求和，即 Sn(123 n) 1 .(12 122 12n) nn 12
4、12n3小题热身(1)数列 an的通项公式为 an ncos ，其前 n 项和为 Sn，则 S2018等于( )n2A1010 B2018 C505 D1010答案 A3解析 易知 a1cos 0， a22cos2， a30， a44，. 2所以数列 an的所有奇数项为 0，前 2016 项中所有偶数项(共 1008 项)依次为2,4，6,8，2014,2016.故 S20160(24)(68)(20142016)1008. a20170， a20182018cos 2018， S2018 S2016 a201810082018201821010.故选 A.(2)设 Sn是数列 an的前 n
5、项和，且 a11， an1 SnSn1 ，则 Sn_.答案 1n解析 an1 Sn1 Sn， Sn1 Sn Sn1 Sn，又由 a11，知Sn0， 1， 是等差数列，且公差为1，而1Sn 1Sn 1 1Sn 1， 1( n1)(1) n， Sn .1S1 1a1 1Sn 1n题型 1 错位相减法求和已知数列 an的前 n 项和 Sn3 n28 n， bn是等差数列，且 an bn bn1 . 典 例(1)求数列 bn的通项公式；(2)令 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.an 1n 1bn 2n利用 an Sn Sn1 (n2)、方程思想、错位相减法解 (1)由题意知，当 n2 时，
6、an Sn Sn1 6 n5.当 n1 时， a1 S111，所以 an6 n5.设数列 bn的公差为 d.由Error!即Error!可解得 b14， d3，所以 bn3 n1.(2)由(1)知 cn 3( n1)2 n1 .6n 6n 13n 3n又 Tn c1 c2 cn，得 Tn322 232 3( n1)2 n1 ，2Tn322 332 4( n1)2 n2 ，两式作差，得 Tn322 22 32 42 n1 ( n1)2 n2 33 n2n2 ，所以 Tn3 n2n2 .441 2n1 2 n 12n 2方法技巧4利用错位相减法的一般类型及思路1适用的数列类型： anbn，其中数列
7、 an是公差为 d 的等差数列， bn是公比为q1 的等比数列2思路：设 Sn a1b1 a2b2 anbn，(*)则 qSn a1b2 a2b3 an1 bn anbn1 ，(*)(*)(*)得：(1 q)Sn a1b1 d(b2 b3 bn) anbn1 ，就转化为根据公式可求的和提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 n1 项和当作 n 项和冲关针对训练已知首项都是 1 的两个数列 an， bn(bn0， nN *)满足anbn1 an1 bn2 bn1 bn0.(1)令 cn ，求数列
8、 cn的通项公式；anbn(2)若 bn3 n1 ，求数列 an的前 n 项和 Sn.解 (1)因为 anbn1 an1 bn2 bn1 bn0( bn0， nN *)，所以 2，即 cn1 cn2.an 1bn 1 anbn所以数列 cn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故 cn2 n1.(2)由 bn3 n1 知 an cnbn(2 n1)3 n1 ，于是数列 an的前 n 项和Sn13 033 153 2(2 n1)3 n1 ，3Sn13 133 2(2 n3)3 n1 (2 n1)3 n，相减得2 Sn12(3 13 23 n1 )(2 n1)3 n2(2 n2)3 n，所以 S
9、n( n1)3 n1.题型 2 裂项相消法求和Sn为数列 an的前 n 项和，已知 an0， a 2 an4 Sn3. 典 例 2n(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和1anan 1利用递推公式， an Sn Sn1 (n2)求通项，裂项相消求和解 (1)由 a 2 an4 Sn3，可知 a 2 an1 4 Sn1 3.2n 2n 1可得 a a 2( an1 an)4 an1 ，2n 1 2n5即 2(an1 an) a a ( an1 an)(an1 an)2n 1 2n由于 an0，所以 an1 an2.又由 a 2 a14 a13，解得 a11(舍去)
10、或 a13.21所以 an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2 n1.(2)由 an2 n1 可知bn .1anan 1 12n 12n 3 12( 12n 1 12n 3)设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则Tn b1 b2 bn Error!12Error! .n32n 3条件探究 将典例中的条件变为：已知等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1， S2， S4成等比数列求解仍为(1)求 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和1anan 1解 (1)因为 S1 a1， S22 a1 22 a12，212S44 a1 24 a11
11、2，432由题意得(2 a12) 2 a1(4a112)，解得 a11，所以 an2 n1.(2)由 an2 n1 可知bn .1anan 1 12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则Tn b1 b2 bn .12(1 13) (13 15) (15 17) ( 12n 1 12n 1) n2n 1结论探究 条件探究中的条件不变，求解(2)变为：令 bn(1) n1 ，求数4nanan 1列 bn的前 n 项和 Tn.解 bn(1) n1 (1) n1 (1) n1 .4nanan 1 4n2n 12n 1 ( 12n 1 12n 1)当 n
12、为偶数时，Tn 1 .(113) (13 15) ( 12n 3 12n 1) ( 12n 1 12n 1) 12n 1 2n2n 1当 n 为奇数时，Tn 1 .(113) (13 15) ( 12n 3 12n 1) ( 12n 1 12n 1) 12n 1 2n 22n 16所以 TnError! .(或 Tn2n 1 1n 12n 1 )方法探究几种常见的裂项相消及解题策略(1)常见的裂项方法(其中 n 为正整数)(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等冲关针对训
13、练已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a12，且满足 Sn an1 n1( nN *)12(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bnlog 3( an1)，设数列 的前 n 项和为 Tn，求证： Tn0(nN *)， a1a34，且 a31 是 a2和 a4的等差中项， 典 例 1若 bnlog 2an1 .(1)求数列 bn的通项公式；(2)若数列 cn满足 cn an1 ，求数列 cn的前 n 项和1b2n 1b2n 1分组求和，裂项相消法解 (1)设等比数列 an的公比为 q，且 q0，在等比数列 an中，由 an0， a1a34 得， a22，又 a31 是 a2和 a4的等差中
14、项，所以 2(a31) a2 a4，把代入得，2(2 q1)22 q2，解得 q2 或 q0(舍去)，所以an a2qn2 2 n1 ，则 bnlog 2an1 log 22n n.(2)由(1)得，cn an1 2 n 2 n ，1b2n 1b2n 1 12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)所以数列 cn的前 n 项和Sn22 22 n 2 n12(1 13) (13 15) ( 12n 1 12n 1) 21 2n1 2 12(1 12n 1)12 .n2n 18设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a28， S440.数列 bn的前 n 项和为 典 例 2Tn，且 T
15、n2 bn30， nN *.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)设 cnError!求数列 cn的前 n 项和 Pn.分组求和，分类讨论法解 (1)设等差数列 an的公差为 d，由题意，得Error!解得Error! an4 n. Tn2 bn30，当 n1 时， b13，当 n2 时， Tn1 2 bn1 30，得 bn2 bn1 (n2)，则数列 bn为等比数列， bn32 n1 .(2)cnError!当 n 为偶数时， Pn( a1 a3 an1 )( b2 b4 bn) 4 4n 4n222 n 1 n22.6(1 4n2)1 4当 n 为奇数时，n1 时， P1 c1 a1
16、4，解法一： n1 为偶数， Pn Pn1 cn2 (n1)1 ( n1) 224 n2 n n22 n1，解法二： Pn( a1 a3 an2 an)( b2 b4 bn1 ) 4 4nn 122 2n n22 n1.6(1 4n 12 )1 4 PnError!方法技巧分组转化法求和的常见类型1若 an bncn，且 bn， cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求 an的前 n项和如典例 1.2通项公式为 anError!的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和如典例 2.冲关针对训练1数列(1) nn的前 2018 项的和 S2018为( )A2018
17、B1009 C2018 D10099答案 D2已知 an是等比数列，前 n 项和为 Sn(nN *)，且 ， S663.1a1 1a2 2a3(1)求 an的通项公式；(2)若对任意的 nN *， bn是 log2an和 log2an1 的等差中项，求数列(1) nb 的前2n2n 项和解 (1)设数列 an的公比为 q.由已知，有 ，1a1 1a1q 2a1q2解得 q2 或 q1.又由 S6 63，知 q1，a11 q61 q所以 63，得 a11.a11 261 2所以 an2 n1 .(2)由题意，得 bn (log2anlog 2an1 )12 (log22n1 log 22n) n
18、 ，12 12即 bn的首项为 ，公差为 1 的等差数列12设数列 的前 n 项和为 Tn，则 1nb2nT2n( b b )( b b )( b b )21 2 23 24 22n 1 2n b1 b2 b3 b4 b2n1 b2n 2 n2.2nb1 b2n2题型 4 倒序相加法10设 f(x) ，若 S f f f ，则 S_. 典 例 4x4x 2 ( 12017) ( 22017) (20162017)利用函数性质 f(x) f(1 x)1 倒序相加求和答案 1008解析 f(x) ， f(1 x) .4x4x 2 41 x41 x 2 22 4x f(x) f(1 x) 1.4x4
19、x 2 22 4xS f f f ，(12017) ( 22017) (20162017)S f f f ，(20162017) (20152017) ( 12017)，得2S 2016.f(12017) f(20162017) f( 22017) f(20152017) f(20162017) f( 12017) S 1008.20162方法技巧如果一个数列 an，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法冲关针对训练已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象的对称中心为(1008,2)数列 an的前 n
20、项和为Sn，且满足 an f(n)， nN *，求 S2015.解 由条件得 f(21008 x) f(x)22，即 f(2016 x) f(x)4.于是有 a2016 n an4( nN *)又 S2015 a1 a2 a3 a2014 a2015，S2015 a2015 a2014 a2 a1.两式相加得2S2015( a1 a2015)( a2 a2014)( a2014 a2)( a2015 a1)2015( a1 a2015)20154.故 S2015201524030.1(2018江西九校联考)已知数列 5,6,1，5，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个
21、数列的前 16 项之和 S16等于( )A5 B6 C7 D16答案 C解析 根据题意这个数列的前 7 项分别为 5,6,1，5，6，1,5,6，发现从第 7 项11起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为 6，前 6 项和为 561(5)(6)(1)0.又因为 16264，所以这个数列的前 16 项之和 S162077.故选 C.2(2017湘潭三模)设 Tn为数列 的前 n 项和，若 mT101013 恒成立，则整2n 12n 数 m 的最小值为( )A1026 B1025 C1024 D1023答案 C解析 1 n，2n 12n (12) Tn n1 ，12n T10101311
22、 10131024 ，1210 1210又 mT101013，整数 m 的最小值为 1024.故选 C.3(2017全国卷)记 Sn为等比数列 an的前 n 项和已知 S22， S36.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1 ， Sn， Sn2 是否成等差数列解 (1)设 an的公比为 q.由题设可得Error!解得 q2， a12.故 an的通项公式为 an(2) n.(2)由(1)可得Sn (1) n .a11 qn1 q 23 2n 13由于 Sn2 Sn1 (1) n43 2n 3 2n 232 2 Sn，23 1n2n 13 故 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数
23、列4(2018河南质检)已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn(nN *)， bn是首项为 2的等比数列，且公比大于 0， b2 b312， b3 a42 a1， S1111 b4.(1)求 an和 bn的通项公式；(2)求数列 a2nb2n1 的前 n 项和( nN *)解 (1)设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q.由已知 b2 b312，得b1(q q2)12，而 b12，所以 q2 q60，解得 q2 或 q3，又因为 q0，所以 q2，所以 bn2 n.由 b3 a42 a1，可得 3d a18，由 S1111 b4，可得 a15 d16，12联立，解得 a1
24、1， d3，由此可得 an3 n2.所以数列 an的通项公式为 an3 n2，数列 bn的通项公式为 bn2 n.(2)设数列 a2nb2n1 的前 n 项和为 Tn，由 a2n6 n2， b2n1 24 n1 ，得a2nb2n1 (3 n1)4 n，故 Tn2454 284 3(3 n1)4 n，4Tn24 254 384 4(3 n4)4 n(3 n1)4 n1 ，上述两式相减，得3 Tn2434 234 334 n(3 n1)4 n1 4(3 n1)121 4n1 44n1 (3 n2)4 n1 8，得 Tn 4n1 .3n 23 83所以数列 a2nb2n1 的前 n 项和为 4n1
25、.3n 23 83重点保分 两级优选练A 级一、选择题1已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S210， S555，则 an100 an98 ( )A8 n6 B4 n1 C8 n3 D4 n3答案 A解析 设等差数列 an的公差为 d，则 Sn na1 d，由 S210， S555，可得nn 12Error!得Error!所以 an a1( n1) d4 n1，则 an100 an98 2 an1 8 n6.故选 A.2已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 1，则数列 an的公差是( )S33 S22A1 B2 C4 D6答案 B解析 由 1 得 a1 d 1，所以 d2
26、.故选S33 S22 a1 a2 a33 a1 a22 2a1 d2 d2B.3若两个等差数列 an和 bn的前 n 项和分别是 Sn， Tn，已知 ，则 ( )SnTn 7nn 3 a5b5A. B. C7 D.23 278 214答案 D13解析 .故选 D.a5b5 2a52b5 a1 a9b1 b99a1 a929b1 b92 S9T9 799 3 2144已知函数 f(n)Error!且 an f(n) f(n1)，则 a1 a2 a3 a100等于( )A0 B100 C100 D102答案 B解析 由题意，得a1 a2 a1001 22 22 23 23 24 24 25 299
27、 2100 2100 2101 2(12)(32)(99100)(101100)100.故选 B.5已知数列 an满足 an1 ，且 a1 ，则该数列的前 2018 项的和等于( )12 an a2n 12A1512 B1513 C1513.5 D2018答案 C解析 因为 a1 ，又 an1 ，12 12 an a2n所以 a21，从而 a3 ， a41，12即得 anError!故数列的前 2018 项的和 S20181009 1513.5.故选 C.(112)6在数列 an中，已知对任意 nN *， a1 a2 a3 an3 n1，则a a a a 等于( )21 2 23 2nA(3
28、n1) 2 B. (9n1)12C9 n1 D. (3n1)14答案 B解析 因为 a1 a2 an3 n1，所以 a1 a2 an1 3 n1 1( n2)则 n2时， an23 n1 .当 n1 时， a1312，适合上式，所以 an23 n1 (nN *)则数列 a 是首项2n为 4，公比为 9 的等比数列故选 B.7设直线 nx( n1) y (nN *)与两坐标轴围成的三角形面积为 Sn，则2S1 S2 S2017的值为( )A. B. C. D.20142015 20152016 20162017 20172018答案 D解析 直线与 x 轴交于 ，与 y 轴交于 ，(2n， 0)
29、 (0， 2n 1) Sn .12 2n 2n 1 1nn 1 1n 1n 114原式 1 .故选 D.(112) (12 13) ( 12017 12018) 12018 201720188已知 an为等比数列， Sn是它的前 n 项和若 a3a5 a1，且 a4与 a7的等差中项为14，则 S5等于( )98A35 B33 C31 D29答案 C解析 设等比数列 an的公比是 q，所以 a3a5 a q6 a1，得 a1q6 ，即 a7 .又2114 14 14a4 a72 ，解得 a42，所以 q3 ，所以 q ， a116，故 S5 98 a7a4 18 12 a11 q51 q31.
30、 故选 C.16(1 132)1 129已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则下列说法中一定成立的是( )A若 a30，则 a20170，则 a20180，则 S20170 D若 a40，则 S20180答案 C解析 等比数列 an的公比 q0.对于 A，若 a30，则 a1q20，所以 a10，所以a2017 a1q20160，所以 A 不成立；对于 B，若 a40，则 a1q30，所以 a1q0，所以a2018 a1q20170，所以 B 不成立；对于 C，若 a30，则 a1 0，所以当 q1 时，a3q2S20170，当 q1 时， S2017 0(1 q 与 1 q2017同号
31、)，所以 C 一定成立，易a11 q20171 q知 D 不一定成立故选 C.10(2017江西九校联考)已知数列 an是等比数列，数列 bn是等差数列，若a1a6a113 ， b1 b6 b117，则 tan 的值是( )3b3 b91 a4a8A1 B. C D22 22 3答案 D解析 an是等比数列， bn是等差数列，且a1a6a113 ， b1 b6 b117， a ( )3,3b6 7， a6 ， b6 ，tan3 36 3 373tan tan tan tan tan .故选b3 b91 a4a8 2b61 a26 2731 32 ( 73) ( 2 3) 3 3D.二、填空题1
32、511 Sn111111 _.答案 10n 1 9n 108112数列 an满足： a1 ，且 an1 (nN *)，则43 4n 1an3an n _.1a1 2a2 3a3 2018a2018答案 2017 23 1342018解析 由题意可知 1 ，又 1 ，所以数列n 1an 1 34 14 nan n 1an 1 14(nan 1) 1a1 14是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 1 ，nan 1 14 14 nan 14n所以 n n ，1a1 2a2 3a3 nan14(1 14n)1 14 13 13 14n则 2018 2017 .1a1 2a2 3a3 2018a20
33、18 13 13 142018 23 134201813设 f(x) ，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得12x 2f(5) f(4) f(0) f(5) f(6)的值为_答案 3 2解析 6(5)1， f(5)， f(4)， f(5)， f(6)共有 11112 项由 f(5)， f(6)； f(4)， f(5)； f(0)， f(1)共有 6 对，且该数列为等差数列16又 f(0) f(1) ，11 2 12 2 11 2 121 2 2 121 2 12 22 f(5) f(4) f(6)6 3 .22 214已知数列 an的各项均为正整数，其前 n 项和为 Sn，若
34、 an1 Error!且 S310，则S2016_.答案 6720解析 当 a1为奇数时， a2 ，此时若 a2为奇数，则 a3 a1 12 a2 12 a1 12 12， S3 a1 10，解得 a15，此时数列 an为a1 34 a1 12 a1 34 7a1 545,3,2,5,3,2，.当 a1为奇数时， a2 ，此时若 a2为偶数，则a1 12a33 a21 1 ，3a1 12 3a1 12 S3 a1 3 a1110，解得 a13，此时数列 an为a1 12 3a1 123,2,5,3,2,5，.当 a1为偶数时， a23 a11，此时 a2为奇数，则 a3 a2 12 ， S3
35、a13 a11 a1110 ，解得 a12，此时数列 an为3a1 1 12 3a12 3a12 1122,5,3,2,5,3，.上述三种情况中，数列 an均为周期数列67232016， S2016672 S36720.B 级三、解答题15已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且满足 Sn2 an n4.(1)证明： Sn n2为等比数列；(2)求数列 Sn的前 n 项和 Tn.解 (1)证明：由题意知 Sn2( Sn Sn1 ) n4( n2)，即 Sn2 Sn1 n4，所以 Sn n22 Sn1 ( n1)2，又易知 a13，所以 S1124，所以 Sn n2是首项为 4，公比为 2 的等
36、比数列(2)由(1)知 Sn n22 n1 ，所以 Sn2 n1 n2，于是 Tn(2 22 32 n1 )(12 n)2 n 2 n41 2n1 2 nn 12.2n 3 n2 3n 8216已知各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，满足a 2 Sn n4， a21， a3， a7恰为等比数列 bn的前 3 项2n 117(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)若 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.log2bnbn 1anan 1解 (1)因为 a 2 Sn n4，所以 a 2 Sn1 n14( n2)，两式相减得2n 1 2na a 2 an1，所以 a a 2 an
37、1( an1) 2，2n 1 2n 2n 1 2n所以 an1 an1.又 a ( a21) a7，所以( a21) 2( a21)( a25)，解得 a23，又 a 2 a114，23 2所以 a12，所以 an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以 an n1.故b12， b24， b38，所以 bn2 n.(2)由(1)得， cn ，n2n 1n 1n 2故 Tn c1 c2 cn Error! Error! .(12 24 n2n) 134设 Fn ，则 Fn ，作差得 Fn 12 24 n2n 12 122 223 n2n 1 12 12 122 12n，n2n 1所以 Fn2
38、 .n 22n设Gn ，所以123 134 1n 1n 2 12 13 13 14 1n 1 1n 2 12 1n 2Tn2 .n 22n (12 1n 2) 32 n 22n 1n 217(2017山东高考)已知 an是各项均为正数的等比数列，且 a1 a26， a1a2 a3.(1)求数列 an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n1 bnbn1 ，求数列 的bnan前 n 项和 Tn.解 (1)设 an的公比为 q，由题意知 a1(1 q)6， a q a1q2，21又 an0，由以上两式联立方程组解得 a12， q2，所以 an2 n.(2)由
39、题意知S2n1 (2 n1) bn1 ，2n 1b1 b2n 12又 S2n1 bnbn1 ， bn1 0，所以 bn2 n1.令 cn ，则 cn .bnan 2n 12n因此 Tn c1 c2 cn18 ，32 522 723 2n 12n 1 2n 12n又 Tn ，12 322 523 724 2n 12n 2n 12n 1两式相减得Tn ，12 32 (12 122 12n 1) 2n 12n 1所以 Tn5 .2n 52n18在等比数列 an中， a10， nN *，且 a3 a28，又 a1， a5的等比中项为 16.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 4an，数
40、列 bn的前 n 项和为 Sn，是否存在正整数 k，使得 k 对任意 nN *恒成立，若存在，求出正整数 k 的最小值；若不存在，1S1 1S2 1S3 1Sn请说明理由解 (1)设数列 an的公比为 q，由题意可得 a316，a3 a28，则 a28， q2， a14，所以 an2 n1 .(2)bnlog 42n1 ，n 12Sn b1 b2 bn .nn 34 ，1Sn 4nn 3 43(1n 1n 3)所以 1S1 1S2 1S3 1Sn43(11 14 12 15 13 16 1n 1n 3)43(1 12 13 1n 1 1n 2 1n 3) 43 116 43 ( 1n 1 1n 2 1n 3) .229 43 ( 1n 1 1n 2 1n 3)当 n1 时， 12 ；1S1 229当 n2 时， 3.1S1 1S2 1Sn 229 43( 1n 1 1n 2 1n 3)229故存在 k3 时，对任意的 nN *都有 3.1S1 1S2 1S3 1Sn
