1、153 等比数列及其前 n 项和基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018邢台摸底)已知数列 an为等比数列， a51， a981，则 a7( )A9 或9 B9C27 或27 D27答案 B解析 依题意得 a a5a981，又注意到 q20(其中 q 为公比)，因此 a5， a7的符27a7a5号相同，故 a79.故选 B.2(2018安徽安庆模拟)数列 an满足： an1 a n1( nN *， R 且 0)，若数列 an1是等比数列，则 的值等于( )A1 B1 C. D212答案 D解析 由 an1 a n1，得 an1 1 a n2 .由于数列 an1是等比数(an2 )列，所以 1
2、，得 2.故选 D.23中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了( )A192 里 B96 里 C48 里 D24 里答案 B解析 设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q ，依题意有 378，解得12a1(1 126)1 12a1192，则 a2192 96，即第二天走了 96 里故选 B.124(2018浙江温州十校联考)设等比数列 an的前 n 项和为
3、Sn，若Sm1 5， Sm11， Sm1 21，则 m( )A3 B4 C5 D6答案 C解析 由已知得， Sm Sm1 am16， Sm1 Sm am1 32，故公比 q 2.am 1am2又 Sm 11，故 a11.又 am a1qm1 16，故(1)(2) m1 16，求a1 amq1 q得 m5.故选 C.5(2017福建漳州八校联考)等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S32， S618，则等于( )S10S5A3 B5 C31 D33答案 D解析 设等比数列 an的公比为 q，则由已知得 q1. S32， S618， ，得 q38，1 q31 q6 218 q2. 1 q53
4、3.故选 D.S10S5 1 q101 q56(2017安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列 an中， a2， a42， a5成等差数列， a12， Sn是数列 an的前 n 项的和，则 S10 S4( )A1008 B2016 C2032 D4032答案 B解析 由题意知 2(a42) a2 a5，即 2(2q32)2 q2 q4 q(2q32)，得 q2，所以 an2 n， S10 2 1122046， S4 2 5230，所以2 1 2101 2 2 1 241 2S10 S42016.故选 B.7(2018上海黄浦模拟)已知 an是首项为 1 的等比数列，若 Sn是数列 an的前
5、 n 项和，且 28S3 S6，则数列 的前 4 项和为( )1anA. 或 4 B. 或 4 C. D.158 4027 4027 158答案 C解析 设数列 an的公比为 q.当 q1 时，由 a11，得 28S328384， S66，两者不相等，因此不合题意当 q1 时，由 28S3 S6及首项为 1，得 ，解得 q3.28 1 q31 q 1 q61 q所以数列 an的通项公式为 an3 n1 .所以数列 的前 4 项和为 1 .1an 13 19 127 40278(2018衡水模拟)已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和， a1 ，9 S3 S6，设120Tn a1a2a3an，
6、则使 Tn取最小值时 n 的值为( )A3 B4 C5 D6答案 C解析 设等比数列 an的公比为 q，由 9S3 S6知， q1，故 ，解得9 1 q31 q 1 q61 q3q2，又 a1 ，120所以 an a1qn1 .2n 120因为 Tn a1a2a3an，故当 Tn取最小值时 an1，且 an1 1，即Error! 得 n5.故选 C.9(2018河南洛阳模拟)若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p0， q0)的两个不同的零点，且 a， b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q 的值等于( )A6 B7 C8 D9答案 D解析 a，
7、b 是函数 f(x) x2 px 十 q(p0， q0)的两个不同的零点， a b p， ab q. p0， q0， a0， b0.又 a， b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，Error! 或Error!解得Error! 解得Error! p a b5， q144. p q9.故选 D.10(2017广东清远一中一模)已知正项等比数列 an满足： a3 a22 a1，若存在两项am， an，使得 4 a1，则 的最小值为( )aman1m 4nA. B. C. D不存在32 53 256答案 A解析 正项等比数列 an满足： a3 a22 a1， a1q2 a1
8、q2 a1，即 q2 q2，解得 q1(舍)或 q2，存在两项 am， an，使得 4 a1，aman aman16 a ，21( a12m1 )(a12n1 )16 a ，21 a 2m n2 16 a ， m n6，21 21 1m 4n (1m 4n)16 m n 16(5 nm 4mn) 16(5 2nm4mn) (当且仅当 n2 m 时取等)，32 的最小值是 .故选 A.1m 4n 324二、填空题11(2014天津高考)设 an是首项为 a1，公差为1 的等差数列， Sn为其前 n 项和若 S1， S2， S4成等比数列，则 a1的值为_答案 12解析 S1 a1， S22 a1
9、1， S44 a16.故(2 a11) 2 a1(4a16)，解得 a1 .1212(2014广东高考)若等比数列 an的各项均为正数，且 a10a11 a9a122e 5，则 ln a1ln a2ln a20_.答案 50解析 因为等比数列 an中， a10a11 a9a12，所以由 a10a11 a9a122e 5，可解得a10a11e 5.所以 ln a1ln a2ln a20ln ( a1a2a20)ln ( a10a11)1010ln ( a10a11)10ln e 550.13(2017广东潮州二模)已知 Sn为数列 an的前 n 项和， an23 n1 (nN *)，若bn ，则
10、 b1 b2 bn_.an 1SnSn 1答案 12 13n 1 1解析 由 an23 n1 可知数列 an是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，所以 Sn 3 n1，2 1 3n1 3则 bn ，则an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1b1 b2 bn .(1S1 1S2) (1S2 1S3) (1Sn 1Sn 1) 1S1 1Sn 1 12 13n 1 114一正数等比数列前 11 项的几何平均数为 32，从这 11 项中抽去一项后所余下的 10项的几何平均数为 32，那么抽去的这一项是第_项答案 6解析 由于数列的前 11 项的几何平均数为 32，所以该数
11、列的前 11 项之积为 32112 55.当抽去一项后所剩下的 10 项之积为 32102 50，抽去的一项为 2552502 5.又因 a1a11 a2a10 a3a9 a4a8 a5a7 a ，26 a1a2a11 a .故有 a 2 55，即 a62 5.116 116抽出的应是第 6 项三、解答题15(2017海淀区模拟)已知 an是等差数列，满足 a12， a414，数列 bn满足b11， b46，且 an bn是等比数列(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)若 nN *，都有 bn bk成立，求正整数 k 的值5解 (1)设 an的公差为 d，则 d 4，a4 a13 an2
12、( n1)44 n2，故 an的通项公式为 an4 n2( nN *)设 cn an bn，则 cn为等比数列c1 a1 b1211， c4 a4 b41468，设 cn的公比为 q，则 q3 8，故 q2.c4c1则 cn2 n1 ，即 an bn2 n1 . bn4 n22 n1 (nN *)故 bn的通项公式为 bn4 n22 n1 (nN *)(2)由题意， bk应为数列 bn的最大项由 bn1 bn4( n1)22 n4 n22 n1 42 n1 (nN *)当 n3 时， bn1 bn0， bn bn1 ，即 b1 b2 b3；当 n3 时， bn1 bn0，即 b3 b4；当 n
13、3 时， bn1 bn0， bn bn1 ，即 b4 b5 b6.综上所述，数列 bn中的最大项为 b3和 b4.故存在 k3 或 4，使 nN *，都有 bn bk成立16(2015广东高考)设数列 an的前 n 项和为 Sn， nN *.已知 a11， a2 ， a3 ，32 54且当 n2 时，4 Sn2 5 Sn8 Sn1 Sn1 .(1)求 a4的值；(2)证明： 为等比数列；an 112an(3)求数列 an的通项公式解 (1)4 Sn2 5 Sn8 Sn1 Sn1 ， n2 时，4 S45 S28 S3 S1，4( a1 a2 a3 a4)5( a1 a2)8( a1 a2 a3
14、) a1，4 5 8Error! 1 Error!1，解得 a4 .(132 54 a4) (1 32) 32 54 78(2)证明： n2 时，4 Sn2 5 Sn8 Sn1 Sn1 ，4( Sn2 Sn1 )2( Sn1 Sn)2 ， Sn 1 Sn 12 Sn Sn 1 ( Sn2 Sn1 ) (Sn1 Sn)12 ，12 Sn 1 Sn 12 Sn Sn 1 an2 an1 .12 12(an 1 12an)6又 a3 a2 ，12 12(a2 12a1) 是首项为 1，公比为 的等比数列an 112an 12(3)由(2)知 是首项为 1，公比为 的等比数列， an1 an n1 ，an 112an 12 12 (12)两边同乘以 2n1 ，得 an1 2n1 an2n4.又 a222 a1214， an2n是首项为 2，公差为 4 的等差数列， an2n24( n1)2(2 n1)， an .2 2n 12n 2n 12n 1
