1、152 等差数列及其前 n 项和知识梳理1等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示数学语言表示为 an1 an d(nN *)， d 为常数(2)等差中项：数列 a， A， b 成等差数列的充要条件是 A ，其中 A 叫做 a， b 的a b2等差中项2等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an a1( n1) d，可推广为 an am( n m)d.(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn
2、 na1 d.na1 an2 nn 123等差数列的相关性质已知 an为等差数列， d 为公差， Sn为该数列的前 n 项和(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1 an a2 an1 a3 an2 ak an k1 .2(2)等差数列 an中，当 m n p q 时， am an ap aq(m， n， p， qN *)特别地，若 m n2 p，则 2ap am an(m， n， pN *)(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak， ak m， ak2 m，仍是等差数列，公差为 md(k， mN *)(4)Sn， S2n Sn， S3n S2n，也成等差数列，公
3、差为 n2d.(5) 也成等差数列，其首项与 an首项相同，公差是 an的公差的 .Snn 124等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系an a1( n1) d 可化为 an dn a1 d 的形式当 d0 时， an是关于 n 的一次函数；当 d0 时，数列为递增数列；当 d0， d0，则 Sn存在最小值诊断自测1概念思辨(1)已知数列 an的通项公式是 an pn q(其中 p， q 为常数)，则数列 an一定是等差数列( )(2)数列 an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( )(4)数列 an为
4、等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 an an2 .( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A5P38例 1(1)已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第 100 项为_答案 487解析 由条件易知该等差数列的首项为 a18，公差 d5，得 an8( n1)55 n13，故 a100487.(2)(必修 A5P68A 组 T8)在等差数列 an中，若a3 a4 a5 a6 a7450，则 a2 a8_.答案 180解析 由等差数列的性质，得a3 a4 a5 a6 a75 a5450， a590， a2 a82 a5180.3小题热身(1)(2016全
5、国卷)已知等差数列 an前 9 项的和为 27， a108，则 a100( )A100 B99 C98 D97答案 C解析 设 an的公差为 d，由等差数列前 n 项和公式及通项公式，得Error!解得Error!an a1( n1) d n2， a100100298.故选 C.(2)(2017福建宁德一模)若数3列 an为等差数列， Sn为其前 n 项和，且 a23 a46，则 S9等于( )A54 B50 C27 D25答案 C解析 数列 an为等差数列，设公差为 d，则 a4 a22 d， a23( a22 d)6，2 a26 d60. a23 d3，即 a53，那么 S9 9 a527
6、.故选a1 a992C.题型 1 等差数列基本量的运算(2017广东惠州调研)设 an是首项为 ，公差为 d(d0)的等差数列， 典 例 1 12Sn为其前 n 项和，若 S1， S2， S4成等比数列，则 d( )A1 B C. D.12 18 12方程思想方法答案 A解析 Sn na1 d，因为 S1， S2， S4成等比数列，所以 S1S4 S ，nn 12 2即 a1(4a16 d)(2 a1 d)2，因为 a1 ，12所以 (26 d)(1 d)2，12即 d2 d0，解得 d0 或 d1.又因为 d0，所以 d1.故选 A.(2017碑林区期末)设 an是递增等差数列，前三项的和为
7、 12，前三项的 典 例 2积为 48，则它的首项 a1_.方程思想，注意设中间项答案 2解析 由题可知 3a212，(a2 d)a2(a2 d)48，将代入得(4 d)(4 d)12，解得 d2 或 d2(舍)， a1 a2 d422.方法技巧1等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想见典例 1.4(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法2等差数列设项技巧若奇数个
8、数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为 a d， a， a d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为 a d， a d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元见典例 2.冲关针对训练1(2018福建质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日” 其大意为：“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝第一天派出 64 人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升，共发出大米 40392
9、 升，问修筑堤坝多少天 ”在这个问题中，前 5 天应发大米( )A894 升 B1170 升 C1275 升 D1467 升答案 B解析 每天派出的人数构成首项为 64，公差为 7 的等差数列，则前 5 天的总人数为564 7390，所以前 5 天应发大米 39031170 升故选 B.5422(2015北京高考)设 an是等差数列下列结论中正确的是( )A若 a1 a20，则 a2 a30B若 a1 a3 a1a3D若 a10答案 C解析 因为 an为等差数列，所以 2a2 a1 a3.当 a2 a10 时，得公差 d0， a30， a1 a32 ，2 a22 ，a1a3 a1a3即 a2
10、.故选 C.a1a3题型 2 等差数列的判断与证明(2018长春质检)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a12，且满足 典 例an1 Sn2 n1 (nN *)证明：数列 为等差数列Sn2n利用 an1 Sn1 Sn整理变形证明 由条件可知， Sn1 Sn Sn2 n1 ，5即 Sn1 2 Sn2 n1 ，整理得 1，Sn 12n 1 Sn2n所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列Sn2n条件探究 将典例条件“ an1 Sn2 n1 (nN *)”变为“2 an1 anan1 1( n2)”其他不变，证明数列 是等差数列，并求 an通项公式1an 1解 当 n2 时， an2
11、，1an 1 1an 1 1an 1 1 12 1an 1 1 1an 1 1 11 1an 1 1an 1 1 an 1an 1 1 1(常数)1an 1 1 an 1 1an 1 1又 1.1a1 1数列 是以首项为 1，公差为 1 的等差数列1an 1 1( n1)1，1an 1 an .n 1n方法技巧判定数列 an是等差数列的常用方法1定义法：对任意 nN *， an1 an是同一个常数见典例2等差中项法：对任意 n2， nN *，满足 2an an1 an1 .3通项公式法：数列的通项公式 an是 n 的一次函数4前 n 项和公式法：数列的前 n 项和公式 Sn是 n 的二次函数，
12、且常数项为 0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断见冲关针对训练冲关针对训练(2014全国卷)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， an0， anan1 S n1，其中 为常数(1)证明： an2 an ；(2)是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明理由解 (1)证明：由题设 anan1 S n1，知 an1 an2 S n1 1.两式相减得， an1 (an2 an) a n1 .由于 an1 0，所以 an2 an .(2)存在由 a11， a1a2 a 11，可得 a2 1，由(1)知， a3 1.令 2a2 a1 a3，解得 4.6故 an2 an4，
13、由此可得， a2n1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n1 1( n1)44 n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n3( n1)44 n1.所以 an2 n1， an1 an2.因此存在 4，使得 an为等差数列.题型 3 等差数列前 n 项和及性质的应用角度 1 等差数列的前 n 项和(2018太原模拟)一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的 典 例和与奇数项的和的比为 3227，求该数列的公差 d.利用 S 偶 S 奇 nd(项数为 2n)求解解 设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇 ，偶数项的和为 S 偶 ，等差数列的公差为
14、 d.由已知条件，得Error!解得Error!又 S 偶 S 奇 6 d，所以 d 5.192 1626角度 2 等差数列前 n 项和的最值问题(2017北京海淀模拟)等差数列 an中，设 Sn为其前 n 项和，且 典 例a10， S3 S11，则当 n 为多少时， Sn最大？二次函数法求最大值解 由 S3 S11，得 3a1 d11 a1 d，则 d a1.322 11102 213从而 Sn n2 n (n7) 2 a1.d2 (a1 d2) a113 4913又 a10，所以 0， a2016 a20170， a2016a20170，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大正整数 n 是(
15、 )A2016 B2017 C4032 D4033答案 C解析 因为 a10， a2016 a20170， a2016a20170，所以 d0， a20160， a20170，所以S4032 0， S4033 4033 a20170，4032a1 a40322 4032a2016 a20172 4033a1 a40332所以使前 n 项和 Sn0 成立的最大正整数 n 是 4032.故选 C.8(2017湖南长沙四县联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷( u)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得
16、出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中 115.1 寸表示 115 寸 1 分(1 寸10 分)46 4611已知易经中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，夏至晷影长为 14.8 寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A72.4 寸 B81.4 寸 C82.0 寸 D91.6 寸答案 C解析 设易经中记录的冬至、小寒、大寒、立春、夏至的晷影长依次为a1， a2， a13，由题意知它们构成等差数列，设公差为 d，由 a1130.0， a1314.8，得130.012 d14.8，解得 d9.6. a6130.09.6582.0.易经中所记录的惊蛰的晷影长是 82.0 寸故选 C.
17、9(2017安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列 an是首项为 a，公差为 1 的等差数列，数列 bn满足 bn .若对任意的 nN *，都有 bn b8成立，则实数 a 的取1 anan值范围是( )A(8，7) B8，7)C(8，7 D8，7答案 A解析 因为 an是首项为 a，公差为 1 的等差数列，所以 an n a1，因为 bn，又对任意的 nN *，都有 bn b8成立，所以 1 1 ，即 对任意的1 anan 1an 1a8 1an 1a8nN *恒成立，因为数列 an是公差为 1 的等差数列，所以 an是单调递增的数列，所以Error!即Error!解得8 a7.故选 A.
18、10(2018云南二检)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S1122， a412，如果当 n m 时， Sn最小，那么 m 的值为( )A10 B9 C5 D4答案 C解析 设等差数列 an的公差为 d.由已知得 22，所以 11a622，解得11a1 a112a62，所以 d 7，所以 an a4( n4) d7 n40，所以数列 an是单调递增数a6 a42列，又因为 a550，所以当 n5 时， Sn取得最小值，故选 C.二、填空题11(2014北京高考)若等差数列 an满足 a7 a8 a90， a7 a100，即 a80.又 a8 a9 a7 a100，则公差 d ，显然不
19、成立，所以 m0)为增函数，所以 2n 1521 159，所以 9，故实8x 8n 81数 的最大值为 9.三、解答题15(2017中卫一模)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 A， B， C成等差数列(1)若 a1， b ，求 sinC；3(2)若 a， b， c 成等差数列，试判断 ABC 的形状解 (1)由 A B C，2 B A C，得 B .由 ，得 ，得 3 asinA bsinB 1sinA 332sinA ，又 0 A B， A ，则 C .12 6 3 6 2sin C1.(2)由 2b a c，得 4b2 a22 ac c2，又 b2 a
20、2 c2 ac，得 4a24 c24 ac a22 ac c2，得 3(a c)20， a c， A C，又 A C ， A C B ，23 3 ABC 是等边三角形16(2018郑州模拟)数列 an满足 a1 ， an1 (nN *)12 12 an(1)求证： 为等差数列，并求出 an的通项公式；1an 1(2)设 bn 1，数列 bn的前 n 项和为 Bn，对任意 n2 都有 B3n Bn 成立，求正1an m20整数 m 的最大值解 (1)因为 an1 ，12 an所以 1 ，1an 1 1 112 an 1 2 anan 1 1an 1即 1，1an 1 1 1an 1所以 是首项为2，公差为1 的等差数列，所以 2( n1)(1)1an 1 1an 114( n1)，所以 an .nn 1(2)bn 1 ，n 1n 1n令 Cn B3n Bn ，1n 1 1n 2 13n所以 Cn1 Cn 1n 2 1n 3 13n 1 1n 1 13n 1n 1 13n 2 13n 313n 1 0，13n 2 23n 3 13n 1 23n 3 23n 3 Cn1 Cn0，Cn为单调递增数列，又 n2，( B3n Bn)min B6 B2 ，13 14 15 16 1920 ， m19.又 mN *，所以 m 的最大值为 18.m201920
