1、13.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式知识梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C( )：cos( )cos cos sin sin .(2)S( )：sin( )sin cos cos sin .(3)T( )：tan( ) .tan tan1tan tan ( ， ， 2 k ， k Z)2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2 ：sin2 2sin cos .(2)C2 ：cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 .(3)T2 ：tan2 2tan1 tan2.( 4 k ， 且 k 2， k Z)3公式的常用变形(1)tan tan tan( )(1t
2、an tan )(2)cos2 ，sin 2 .1 cos22 1 cos22(3)1sin2 (sin cos )2，2sin cos sin .2 ( 4)(4)asin bcos sin( )，其中a2 b2cos ，sin ，tan (a0)aa2 b2 ba2 b2 ba特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解对角变换时：可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；注意倍角的相对性；注意拆角、拼角技巧，例如，2 ( )( )， ( ) (
3、) ， ( 2 ) 2 2( )， ( )( )，154530， 4 2等( 4 )(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4xcos 4x(sin 2xcos 2x)22sin 2xcos2x1 sin22x.12诊断自测1概念思辨(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的( )(2)存在实数 ， ，使等式 sin( )sin sin 成立( )(3)在锐角 ABC 中，sin AsinB 和 cosAcosB 大小关系不确定( )(4)公式 tan( ) 可以变形为
4、tan tan tan( )tan tan1 tan tan(1tan tan )，且对任意角 ， 都成立( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A4P131T5)sin20cos10cos160sin10( )A B. C D.32 32 12 12答案 D解析 原式sin20cos10cos20sin10sin(2010)sin30 .故12选 D.(2)(必修 A4P146A 组 T3)已知 tan ，tan ，则 tan( )( 6) 12 ( 6) 13_.答案 13解析 ，( 6) ( 6)tan( ) 1.tan( 6) tan( 6)1 tan( 6)
5、tan( 6)12 131 163小题热身(1) 的值为( )sin7 cos15sin8cos7 sin15sin8A2 B2 C2 D.3 312答案 B解析 原式sin15 8 cos15sin8cos15 8 sin15sin8 tan15sin15cos8cos15cos8tan(4530)tan45 tan301 tan45tan30 2 .故选 B.1 331 33 3 13 1 3(2)若 sin( )sin cos( )cos ，且 是第二象限角，则45tan 等于( )( 4 )A7 B7 C. D17 17答案 C解析 sin( )sin cos( )cos ，45cos
6、 .45又 是第二象限角，sin ，则 tan .35 34tan .故选 C.( 4 )tan 4 tan1 tan 4tan1 341 34 17题型 1 求值问题 4已知 cos ，若 0，sin 0)，125 2425由 sin2 cos 2 1，解得 cos sin cos sin 2 4sin cos ，125 4825 75即有 sin ，cos ，则 tsin 2 ；35 45 925(2)若 t1，且 ab1，即有 4cos sin sin 2 1，即有 4cos sin 1sin 2 cos 2 ，由 为锐角，可得 cos (0,1)，即有 tan ，sincos 148则
7、 tan2 ，2tan1 tan2121 116 815tan .(2 4) tan2 11 tan21 8151 815 237方法技巧三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算进行化简冲关针对训练(2017南通模拟)已知向量 m ， n ，函数 f(x) mn.(sinx2， 1) (1， 3cosx2)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 f ，求 f 的值( 23) 23 (2 3)解 (1) f(x)sin cos 2sin ，x2 3 x2 (x2 3) f(x)的最小正周期 T 4.212(2)
8、f 2sin ，sin ，( 23) 2 23 2 13cos 12sin 2 ， 2 79 f 2sin 2cos .(2 3) ( 2) 1491(2016全国卷)若 cos ，则 sin2 ( )( 4 ) 35A. B. C D725 15 15 725答案 D解析 解法一：cos (cos sin )( 4 ) 229 cos sin 1sin2 ，sin2 .故选 D.35 325 1825 725解法二：sin2 cos 2cos 2 1 1 .故选 D.( 2 2 ) ( 4 ) 1825 7252(2014全国卷)设 ， ，且 tan ，则( )(0， 2) (0， 2) 1
9、 sincosA3 B3 2 2C2 D2 2 2答案 C解析 解法一：由 tan 得 ，即1 sincos sincos 1 sincossin cos cos sin cos ，所以 sin( )cos ，又 cos sin ，( 2 )所以 sin( )sin ，又因为 ， ，所以( 2 ) (0， 2) (0， 2) 0，又tan tan1 tan tan12 171 1217 13 (0，)，00，2tan1 tan22131 (13)2 3400，设 x1a 得 a0， 0)的最大值为 2，将 y f(x)的图象( xA2)的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍后便得到函数 y g(x)的图象，若函数 y g(x)的32最小正周期为 .当 x 时，求函数 f(x)的值域0， 2解 (1) asinB acosB c，3 3sin AsinB sinAcosB sinC.3 3 C( A B)，sin AsinB sinAcosB sin(A B)3 3 (sinAcosBcos AsinB)3即 sinAsinB cosAsinB.317sin B0，tan A ，01 时，当且仅当 sin 1 时， F(x)取得最小值，最小值为 14 ，由(2x 6)已知得 14 ，解得 ，这与 1 矛盾32 58综上所述， .12
