1、133 三角函数的图象与性质知识梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x， x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)， ，(，0)，( 2， 1)，(2 ，0)(32， 1)余弦函数 ycos x， x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)， ，(，1)，( 2， 0)，(2 ，1)(32， 0)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质23诊断自测1概念思辨(1)ytan x 在整个定义域上是增函数( )(2)函数 f(x)sin(2 x)与 f(x)sin2 x 的单调增区间都是(kZ)( )k 4， k 4(3)由 sin sin 知， 是正弦函数 ysin x
2、(xR)的一个周期( )( 6 23) 6 23(4)若非零实数 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(k 是非零整数)也是函数 f(x)的周期( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A4P46T2)函数 f(x)(1 tanx)cosx 的最小正周期、最大值为( )3A2，2 B. ， C，2 D. ，32 3 2 3答案 A解析 f(x)(1 tanx)cosx cosx2cos ，则 T2.最大3cosx 3sinxcosx (x 3)值为 2.故选 A.(2)(必修 A4P40T4)已知函数 f(x)sin (xR)，下列结论错误的是( )(2x 2)A函数
3、f(x)是偶函数B函数 f(x)的最小正周期为 C函数 f(x)在区间 上是增函数0， 2D函数 f(x)的图象关于直线 x 对称 4答案 D解析 f(x)sin cos2 x，此函数为最小正周期为 的偶函数，所以(2x 2)A，B 正确由函数 ycos x 的单调性知 C 正确函数图象的对称轴方程为 x (kZ)，k2显然，无论 k 取任何整数， x ，所以 D 错误故选 D. 43小题热身4(1)函数 f(x)sin 在区间 上的最小值为( )(2x 4) 0， 2A1 B C. D022 22答案 B解析 由已知 x ，得 2x ，所以 sin ，0， 2 4 4， 34 (2x 4)
4、22， 1故函数 f(x)sin 在区间 上的最小值为 .故选 B.(2x 4) 0， 2 22(2)函数 ytan 的单调递增区间是_，最小正周期是_(x2 3)答案 (kZ) 2(2k 53， 2k 3)解析 由 k ，由正弦曲线得 2 k1，即 a2，则当 cosx1 时， ymax a a 1 a 0(舍去)a2 58 12 125综合上述，存在 a 符合题设32方法技巧1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解见典例 1.2三角函数值域的不同求法(1)形如 y asinx bcosx k 的三角函数化为 y Asin
5、(x ) k 的形式，再求值域(最值)(2)形如 y asin2x bsinx k 的三角函数，可先设 sinx t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)见典例 2.(3)形如 y asinxcosx b(sinxcosx) c 的三角函数，可先设 tsin xcosx，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)冲关针对训练1(2017郑州模拟)已知函数 f(x)sin ，其中 x ，若 f(x)的值域(x 6) 3， a是 ，则实数 a 的取值范围是_12， 1答案 3， 解析 由 x ，知 x . 3， a 6 6， a 66 x 时， f(x)的值域为 ， 6 6， 2 12， 1由函数的
6、图象知 a ，所以 a. 2 6 76 32已知 3sin2 2sin 2 2sin ，求 ysin 2 sin 2 的取值范围解 3sin 2 2sin 2 2sin ，sin 2 sin2 sin ，320sin 2 1，Error!解得 0sin ，23 ysin 2 sin 2 sin2 sin (sin 1) 2 ，12 12 120sin ，sin 0 时， ymin0；sin 时， ymax ，23 23 490sin 2 sin 2 .49题型 2 三角函数的单调性(2017长沙一模)函数 ysin ， x2，2的单调递增区间是( ) 典 例 1 ( 3 12x)A. B. 3
7、， 53 2 ， 3C. D. 和53， 2 2 ， 3 53， 2 本题用子集法答案 D解析 依题意得 ysin ，当 2k x 2 k (kZ)，即(12x 3) 2 12 3 324k x4 k (kZ)时，函数 ysin 是单调递增函数又53 113 (12x 3)x2，2，因此函数 ysin ， x2，2的单调递增区间是(12x 3)和 .选 D. 2 ， 3 53， 2 已知 0，函数 f(x)sin 在 上单调递减，则实数 的 典 例 2 ( x 4) ( 2， )取值范围是( )A. B. C. D(0,212， 54 12， 34 (0， 12子集反推法答案 A7解析 由 0
8、， 20， 20， 典 例 1 0,00， | |0， 0)若 f(x)在区间 上具有单调性，且 f f f ，则 f(x)的 6， 2 ( 2) (23) ( 6)最小正周期为_答案 解析 记 f(x)的最小正周期为 T.由题意知 ，T2 2 6 3又 f f f ，且 .( 2) (23) ( 6) 23 2 6可作出示意图如图所示， x1 ， x2 ，( 2 6) 12 3 ( 2 23) 12 712 x2 x1 ， T.T4 712 3 44(2017赣榆区期中)已知函数 f(x) Asin(x ) 的图象在 y 轴上的截距为 1，在相邻两个最值点(A0， 0， (0， 2)和( x
9、0，2)上( x00)，函数 f(x)分别取最大值和最小值(x032， 2)(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 f(x) 在区间 内有两个不同的零点，求 k 的取值范围；k 12 0， 32(3)求函数 f(x)在区间 上的对称轴方程134， 23413解 (1) A2， x0 T3 ，T2 (x0 32) 32 23 f(x)2sin ，(23x )代入(0,1)点，2sin 1， ， ， f(x)2sin .(0， 2) 6 (23x 6)(2)x x 1 0，且 ，则 00， | |0)在区间 a， b上是增函数，且 f(a) M， f(b) M，则函数 g(x) Mcos(x )
10、在 a， b上( )A是增函数 B是减函数C可以取得最大值 M D可以取得最小值 M答案 C解析 T ， g(x) Mcos(x ) Msin Msin ，2 ( x 2) (x 2 ) g(x)的图象是由 f(x)的图象向左平移 得到的2 (即 T4)由 b a ，可知， g(x)的图象由 f(x)的图象向左平移 得到的T2 b a2得到 g(x)图象如图所示选 C.10(2018新疆质检)已知函数 f(x)|sin x|cosx，给出下列五个结论： f ；(20183 ) 34若| f(x1)| f(x2)|，则 x1 x2 k( kZ)； f(x)在区间 上单调递增； 4， 4函数 f(
11、x)的周期为 ； f(x)的图象关于点 成中心对称( 2， 0)17其中正确的结论是( )A B C D答案 A解析 f cos ，正确；(20183 ) |sin20183 | 20183 32 ( 12) 34若| f(x1)| f(x2)|，则 ，当 x10， x2 时也成立，不正确；|12sin2x1| |12sin2x2| 2当 x 时， 4， 4f(x)|sin x|cosxError! f(x)在 上不是单调函数，不正确； 4， 4 f(x) f(x)，函数 f(x)的周期不是 ，不正确； f(x)|sin x|cosxError! kZ，结合图象可知 f(x)的图象关于点 成中
12、心对称，正确故( 2， 0)选 A.二、填空题11设函数 f(x)sin( x )(00,00,00， ( 2， 2)象关于直线 x 对称，则在下面四个结论中：12图象关于点 对称；( 4， 0)图象关于点 对称；( 3， 0)在 上是增函数；0， 6在 上是增函数 6， 0所有正确结论的编号为_答案 解析 ysin( x )的最小正周期为 ， 2.又其图象关于直线 x2对称，得 k( kZ)令 k0，得 . ysin .当 x 时，12 6 2 3 (2x 3) 3f 0，函数图象关于点 对称所以正确解不等式 2 k2 x ( 3) ( 3， 0) 2 32 k，得 k x k( kZ)，所
13、以正确 2 512 12三、解答题15已知函数 f(x)2sin x1.(1)设 为大于 0 的常数，若 f(x )在区间 上单调递增，求实数 的取 2， 23值范围；解1916(2017洛阳校级月考)已知函数 f (x)sin 2x acosx a， a R.(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值；(2)如果对于区间 上的任意一个 x，都有 f(x)1 成立，求 a 的取值范围0， 2解 (1)当 a1 时， f(x)cos 2xcos x2 2 ，(cosx12) 94cos x1,1，当 cosx ，即 x2 k (kZ)时，12 3f(x)max .94(2)依题意 sin2x acosx a1，即 sin2x a(cosx1)1 对任意 x 恒成立0， 220当 x 时，0cos x1，0， 2则 1cos x12， a 对任意 x 恒成立cos2xcosx 1 0， 2令 tcos x1，则 1 t2， a t 2 对任意 1 t2 恒成立，于是 a min.t 12t t2 2t 1t 1t (t 1t 2)又 t 20，当且仅当 t1，即 x 时取等号，1t 2 a0.
