1、129 函数模型及其应用知识梳理1七类常见函数模型22指数、对数、幂函数模型的性质3解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：3特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键(3)易
2、忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性诊断自测1概念思辨(1)在(0，)上，随着 x 的增大， y ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y x ( 0)的增长速度( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题( )(3)当 a1 时，不存在实数 x0，使 .( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化 (1)(必修 A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比 199
3、5 年翻两番的年份大约是(lg 20.3010，lg 30.4771，lg 1092.0374，lg 0.092.9543)( )A2015 年 B2011 年 C2010 年 D2008 年答案 B解析 设 1995 年总值为 a，经过 x 年翻两番，则 a(19%) x4 a. x 16.故2lg 2lg 1.09选 B.(2)(必修 A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126y 1.51 4.041 7 12 18.047 8 .5 1
4、A y2 x2 B y (x21)12C ylog 2x D ylog x12答案 B解析 由题意得，表中数据 y 随 x 的变化趋势，函数在(0，)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大越来越快A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函数，排除 A，C，D，B 中函数 y (x21)符合题意故选 B.123小题热身(1) (2018湖北八校联考)某人根据经验绘制了 2018 年春节前后，从 1 月 25 日至 2月 11 日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 1 月 30 日大约卖出了西红柿 _千克答
5、案 1909解析 前 10 天满足一次函数关系，设为 y kx b，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得Error!解得 k ， b ，所以 y x ，则当 x6 时， y .209 709 209 709 1909(2)(2017朝阳区模拟)某商场 2017 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： f(x) pqx(q0， q1)； f(x)log px q(p0， p1)； f(x) x2 px q.能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足 f(1)10， f(3)2，则 f(x)_
6、.答案 x28 x175解析 ()因为 f(x) pqx， f(x)log qx q 是单调函数， f(x) x2 px q 中，f( x)2 x p，令 f( x)0，得 x ， f(x)出现一个递增区间和一个递减区间，所以p2模拟函数应选 f(x) x2 px q.() f(1)10， f(3)2，Error!解得 p8， q17， f(x) x28 x17，故答案为； x28 x17.题型 1 二次函数及分段函数模型 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术 典 例攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月
7、处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 yError!且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿(1)当 x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之解 (1)当 x200,300时，设该项目获利为 S，则 S200 x x2400 x80000 (x400) 2，(12x2 200x 80000) 12 12所以当 x200,300时， S0，因此 x 1，故选 D.1 p1
8、q3(2015四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 ye kx b(e2.718为自然对数的底数， k， b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时答案 24解析 依题意有 192e b,48e 22k be 22keb，所以 e22k ，所以 e11k48eb 48192 14或 (舍去)，于是该食品在 33 的保鲜时间是 e33k b(e 11k)3eb 319224(小12 12 (12)时)124(2017江西九江七校联考)某店销售进价为 2 元/件的产品
9、A，该店产品 A 每日的销售量 y(单位：千件)与销售价格 x(单位：元/件)满足关系式 y 4( x6) 2，其中10x 220，函数 f(x)单调递增；在103 (2， 103)上， f( x)0.1)(116) (116) (116)(2)由 t0.1 0.25 ，得 t0.6.(116) 14故至少需经过 0.6 小时学生才能回到教室三、解答题1815(2017济宁期末)已知某商品的进货单价为 1 元/件，商户甲往年以单价 2 元/件销售该商品时，年销量为 1 万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益据估算，若今年的实际销售单价为 x 元/件(1 x2)，则新增的年销量 P4(2 x
10、)2(万件)(1)写出今年商户甲的收益 f(x)(单位：万元)与 x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由解 (1)由题意可得： f(x)14(2 x)2(x1)，1 x2.(2)甲往年以单价 2 元/件销售该商品时，年销量为 1 万件，可得收益为 1 万元f( x)8( x2)( x1)14(2 x)212 x240 x33(2 x3)(6 x11)，可得当 x 时，函数 f(x)单调递增；1，32)当 x 时，函数 f(x)单调递减；(32， 116)当 x 时，函数 f(x)单调递增(116， 2 x 时
11、，函数 f(x)取得极大值， f 1；又 f(2)1.32 (32)当 x 或 x2 时，函数 f(x)取得最大值 1(万元)32因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益16(2017北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万元，且乙厂在 2 月份的利润是 8 万元若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份 x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型： f(x) a1x24 x6， g(x) a23x b2(a1， a2， b2R)(1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式；(2)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数
12、 f(x)与 g(x)的草图，并根据草图比较今年 110 月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况解 (1)依题意：由 f(1)6，解得 a14，所以 f(x)4 x24 x6.由Error!得Error!解得 a2 ， b25，13所以 g(x) 3x53 x1 5.13(2)由(1)知甲厂在今年 5 月份的利润为 f(5)86 万元，乙厂在今年 5 月份的利润为g(5)86 万元，故有 f(5) g(5)，即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等(3)作函数图象如下：19从图中可以看出今年 110 月份甲、乙两个工厂的利润：当 x1 或 x5 时，有 f(x) g(x)；当 x2,3,4 时，有 f(x)g(x)；当 x6,7,8,9,10 时，有 f(x)g(x)
