1、1课时作业(四十九) 第 1 课时 直线与圆锥曲线的位置关系时间 / 45 分钟 分值 / 100 分基础热身1.2018大庆高三上学期期中 斜率为 的直线与双曲线 - =1(a0,b0)恒有两个公共22222点,则双曲线离心率的取值范围是 ( )A. 2,+ )B. (2,+ )C. (1, )3D. ( ,+ )32.若直线 l:mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点( m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点有2924( )A. 0 个B. 至多 1 个C. 1 个D. 2 个3.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点(点 A 在第一
2、象限),若 =3,则直线 l 的斜率为 ( )A. 2 B. 12C. D. 32 324.2017锦州一检 设抛物线 x2=2y 的焦点为 F,经过点 P(1,3)的直线 l 与抛物线相交于A,B 两点,且点 P 恰为 AB 的中点,则 | |+| |= . 5.已知抛物线 y2=4 x 的准线与双曲线 - =1(a0,b0)相交于 A,B 两点,双曲线的一条渐32222近线方程是 y= x,点 F 是抛物线的焦点,且 FAB 是正三角形,则双曲线的标准方程是 .2能力提升6.2018江西北阳四校模拟 已知 A,B 为抛物线 y2=4x 上异于原点的两个点, O 为坐标原点,直线 AB 的斜
3、率为 2,则 ABO 的重心的纵坐标为( )A. 2B. 43C. 23D. 17.2017广东华南师大附中三模 已知点 M(-1,0)和 N(1,0),若某直线上存在点 P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线” .现有下列直线:x- 2y+6=0;x-y= 0; 2x-y+1=0;x+y- 3=0.其中是“椭型直线”的是 ( )A. B. C. D. 8.2017江西六校联考 已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F,直线 y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q 两点,则 + = ( )1| 1|A. B. 112C. 2 D. 49.2017贵阳一模 过点 M ,- 作圆 x2
4、+y2=1 的切线 l,l 与 x 轴的交点为抛物线22 22E:y2=2px(p0)的焦点, l 与抛物线 E 交于 A,B 两点,则 AB 中点到抛物线 E 的准线的距离为( )A. B. 3522 23C. D. 4722 210.已知椭圆 E: + =1(ab0)内有一点 M(2,1),过 M 的两条直线 l1,l2分别与椭圆 E 交于2222A,C 和 B,D 两点,且满足 = , = (其中 0,且 1),若 变化时, AB 的斜率总为 - ,则椭圆 E 的离心率为( )12A. B. 12 5-12C. D. 22 3211.2017海南中学、文昌中学联考 已知双曲线 C 的中心
5、在原点且对称轴为坐标轴, C 的一条渐近线与焦点为 F 的抛物线 y2=8x 交于点 P,且 |PF|=4,则双曲线的离心率为 . 12.2017武汉二调 已知直线 MN 过椭圆 +y2=1 的左焦点 F,与椭圆交于 M,N 两点 .直线22PQ 过原点 O 与 MN 平行,且 PQ 与椭圆交于 P,Q 两点,则 = . |2|13.(15 分)2017江西重点中学二联 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P , ,离心率是 .312 32(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)直线 l 过点 E(-1,0)且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 |EA|=2|EB|,求直线 l
6、 的方程 .414.(15 分)2017银川二模 已知点 A,B 分别为椭圆 E: + =1(ab0)的左、右顶点,点2222P(0,-2),直线 BP 交 E 于点 Q, = ,且 ABP 是等腰直角三角形 .32(1)求椭圆 E 的方程;(2)设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M,N 两点,当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时,求直线 l 的斜率的取值范围 .难点突破515.(10 分)2017合肥二检 如图 K49-1,已知抛物线 E:y2=2px(p0)与圆 O:x2+y2=8 相交于 A,B 两点,且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上的动点 P(x0,y0)作圆
7、 O 的切线交抛物线 E 于C,D 两点,分别以 C,D 为切点作抛物线 E 的切线 l1,l2,l1与 l2相交于点 M.(1)求抛物线 E 的方程;(2)求点 M 到直线 CD 距离的最大值 .图 K49-1课时作业(四十九)第 1 课时 直线与圆锥曲线的位置关系1. D 解析 由题意可知,双曲线的其中一条渐近线斜率大于 ,即 ,所以 e= 2 2 1+()2,故选 D.32. D 解析 由题设可得 2,即 m2+n20,则 2x-2423y+1=0 是“椭型直线”;7对于 ,把 y=3-x 代入 + =1,整理得 7x2-24x+24=0,= (-24)2-4724 0,x 1+x2=
8、,x1x2=4.8+422 + = + = = .1| 1| 11+2 12+28+422 +44+2(8+42)2 +4129. D 解析 过点 M 作圆 x2+y2=1 的切线 l,由点 M 在圆上,可得切线 l 的斜率为 1,所(22,- 22)以切线方程为 y+ =x- ,即 x-y- =0,切线 l 与 x 轴的交点坐标为( ,0),可得抛物线方程22 22 2 2为 y2=4 x,由 可得 x2-6 x+2=0,设 l 与抛物线 E 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),可得2 2=42,=- 2, 2x1+x2=6 ,则 AB 中点到抛物线 E 的准线的距离为 3 + =4
9、.2 2 2 210. D 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由 = 可得(2-x1,1-y1)= (x3-2,y3-1),所以 1+3=2+2,1+3=1+,同理可得 2+4=2+2,2+4=1+,则 1+2+(3+4)=4(1+),1+2+(3+4)=2(1+),将点 A,B 的坐标代入椭圆方程作差可得: 8=- ,1-21-2 221+21+2即 - =- a2(y1+y2)=2b2(x1+x2),12 22 1+21+2同理可得 a2(y3+y4)=2b2(x3+x4),两式相加可得 a2(y1+y2)+(y3+y4)=2b2(x1+x2
10、)+(x3+x4),又 2(y1+y2)+ (y3+y4)=1(x1+x2)+ (x3+x4),据此可得 = e= .22 221 3211. 或 解析 由抛物线 y2=8x 上的点 P,且 |PF|=4,可得 P(2,4).双曲线的焦点在552x 轴时,一条渐近线为 bx+ay=0,可得 2b-4a=0,即 b2=4a2,可得 e= ;双曲线的焦点在 y 轴时,5一条渐近线为 ax+by=0,可得 4b-2a=0,即 4b2=a2,可得 e= .所求双曲线的离心率为 或 .52 5 5212. 2 解析 由题意得椭圆 +y2=1 的左焦点 F(-1,0),222当直线 MN 的斜率不存在时,
11、则 |MN|= = ,则 |PQ|=2b=2,22 2则 = =2 ;|2| 42 2当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的斜率为 k,则 MN 的方程为 y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2),整理得(2 k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,=(+1),22+2=1,由韦达定理可知 x1+x2=- ,x1x2= ,4222+122-222+19|MN|= = ,1+2 (1+2)2-41222(2+1)22+1则直线 PQ 的方程为 y=kx,设 P(x3,y3),Q(x4,y4),则 解得 x2= ,y2= ,=,22+2=1, 21+22 221+22则 |OP
12、|2=x2+y2= + = = ,21+22221+222+221+222(1+2)1+22则 |PQ|=2|OP|,则 |PQ|2=4|OP|2= ,8(1+2)1+22 =2 .|2| 213. 解:(1)设椭圆 C 的方程为 + =1(ab0),2222由已知可得 解得 a2=4,b2=1,= 32,32+142=1,2=2+2,故椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.24(2)(i)若直线 l 的斜率不存在,则过点 E(-1,0)的直线 l 的方程为 x=-1,不妨设 A 在 x 轴上方, B 在 x 轴下方,此时 A ,B ,显然 |EA|=2|EB|不成立 .(-1,32) (-1,
13、- 32)(ii)若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y=k(x+1),10则 整理得(4 k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0,24+2=1,=(+1),有 = (8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+160.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=- ,x1x2= ,8242+142-442+1因为 |EA|=2|EB|,所以 =-2 ,则 x1+2x2=-3 , 联立,解得 k= ,156所以直线 l 的方程为 x+6y+ =0 或 x-6y+ =0.15 15 15 1514. 解:(1)由 ABP 是等腰直角三角形知 a=2,B(2,
14、0),设 Q(x0,y0),由 = ,得 x0= ,y0=- ,将 代入椭圆方程 + =1,解得 b2=1,32 65 45 (65,-45) 2422 椭圆方程为 +y2=1.24(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx-2,设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立 整理得(1 +4k2)x2-16kx+12=0,=-2,24+2=1,由直线 l 与 E 有两个不同的交点,得 0,即( -16k)2-412(1+4k2)0,解得 k2 .34由韦达定理可知 x1+x2= ,x1x2= ,161+42121+42又坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外,则 0,即11
15、x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=(1+k2) -2k +40,121+42161+42解得 k24.综合 可知 k24, k2 或 -2k- ,34 32 32 直线 l 的斜率的取值范围为 .(-2,- 32) ( 32,2)15. 解:(1)由 xA=2 得 =4,故 2pxA=4,p=1. 2于是,抛物线 E 的方程为 y2=2x.(2)设 C ,D ,切线 l1:y-y1=k ,(212,1) (222,2) (-212)将 l1的方程代入 y2=2x,得 ky2-2y+2y1-k =0,由 = 0 解得 k=
16、,2111l 1的方程为 y= x+ ,同理可得 l2的方程为 y= x+ .11121222联立 解得=11+12,=12+22, =122 ,=1+22 .易得 CD 的方程为 x0x+y0y=8,其中 x0,y0满足 + =8,x02,2 ,2020 2联立 得 x0y2+2y0y-16=0,则2=2,0+0=8 1+2=-200,12=-160, 12M (x,y)满足 即点 M .=-80,=-00, (-80,-00)点 M 到直线 CD:x0x+y0y=8 的距离 d= = = = ,|-8-200-8|20+20200+16228-200 +162280-0+1622易知 d 随着 x0的增大而减小,故当且仅当 x0=2 时, dmax= = .1822922
