1、1第二节 等差数列及其前 n 项和考纲传真 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系(对应学生用书第 69 页)基础知识填充1等差数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就为等差数列，这个常数为等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示数学语言表达式： an1 an d(nN ， d 为常数)，或 an an1 d(n2， d 为常数)(2)如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a， A， b 成等
2、差数列，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项，即 A .a b22等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an a1( n1) D通项公式的推广： an am( n m)d(m， nN )，(2)等差数列的前 n 项和公式Sn na1 d(其中 nN ， a1为首项， d 为公差， an为第 n 项)n a1 an2 n n 123等差数列的有关性质已知数列 an是等差数列， Sn是 an的前 n 项和(1)若 m n p q(m， n， p， qN )，则有 am an ap aq.(2)等差数列 an的单调性：当 d0 时，
3、an是递增数列；当 d0 时， an是递减数列；当 d0 时， an是常数列(3)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak2 m，( k， mN )是公差为 md 的等差数列(4)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m，也是等差数列4等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn n2 n.d2 (a1 d2)数列 an是等差数列 Sn An2 Bn(A， B 为常数)知识拓展21等差数列前 n 项和的最值在等差数列 an中，若 a10， d0，则 Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a10， d0，则 Sn有最小值，即所有负项之和最小2两个等差数列 an， bn的前 n
4、 项和分别为 Sn， Tn，则有 .anbn S2n 1T2n 13等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则数列 也是等差数列Snn基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 an an2 .( )(3)等差数列 an的单调性是由公差 d 决定的( )(4)数列 an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )答案 (1) (2) (3) (4)2等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S3
5、6， a30，则公差 d 等于( )A1 B1 C2 D2D 依题意得 S33 a26，即 a22，故 d a3 a22，故选 D3(2015全国卷)设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a1 a3 a53，则 S5( )A5 B7 C9 D11A a1 a3 a53 a33 a31， S5 5 a35.5 a1 a524(2016全国卷)已知等差数列 an前 9 项的和为 27， a108，则 a100( )A100 B99 C98 D97C 法一： an是等差数列，设其公差为 d， S9 (a1 a9)9 a527， a53.92又 a108，Error!Error! a100 a1
6、99 d199198.故选 C法二： an是等差数列， S9 (a1 a9)9 a527， a53.923在等差数列 an中， a5， a10， a15， a100成等差数列，且公差 d a10 a5835.故 a100 a5(201)598.故选 C5(教材改编)在 100 以内的正整数中有_个能被 6 整除的数.【导学号：00090161】16 由题意知，能被 6 整除的数构成一个等差数列 an，则 a16， d6，得 an6( n1)66 n.由 an6 n100，即 n16 16 ，46 23则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数(对应学生用书第 70 页)等差数列的基本运算
7、(1)(2018郑州模拟)已知 an是公差为 1 的等差数列， Sn为 an的前 n 项和，若S84 S4，则 a10( )A B 172 192C10 D12(2)(2018昆明模拟)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S1122， a412，若 am30，则 m( )【导学号：00090162】A9 B10 C11 D15(1)B (2)B (1)公差为 1， S88 a1 18 a128， S44 a16.8 8 12 S84 S4，8 a1284(4 a16)，解得 a1 ，12 a10 a19 d 9 .12 192(2)设等差数列 an的公差为 d，依题意Error!解得Er
8、ror! am a1( m1) d7 m4030， m10.规律方法 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量a1， an， d， n， Sn，知三求二，体现了方程思想的应用2数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列4的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法变式训练 1 (1)(2018娄底模拟)已知数列 an是首项为 1，公差为 d(dN *)的等差数列，若 81 是该数列中的一项，则公差不可能是( )A2 B3 C4 D5(2)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和， a128， S99，则 S16_.(1)B (
9、2)72 (1)数列 an是首项为 1，公差为 d(dN *)的等差数列， an1( n1) d，81 是该数列中的一项，811( n1) d， n 1，80d d， nN *， d 是 80 的因数，故 d 不可能是 3.故选 B(2)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由已知，得Error!解得Error! S16163 (1)72.16152等差数列的判定与证明已知数列 an中， a1 ， an2 (n2， nN *)，数列 bn满足35 1an 1bn (nN *)1an 1(1)求证：数列 bn是等差数列(2)求数列 an中的通项公式 an.解 (1)证明：因为 an2 (n
10、2， nN *)，1an 1bn .1an 1所以 n2 时， bn bn1 1an 1 1an 1 1 1. 5 分1(2 1an 1) 1 1an 1 1 an 1an 1 1 1an 1 1又 b1 ，1a1 1 52所以数列 bn是以 为首项，1 为公差的等差数列. 7 分525(2)由(1)知， bn n ， 9 分72则 an1 1 . 12 分1bn 22n 7规律方法 1.等差数列的四种判断方法：(1)定义法： an1 an d(d 是常数) an是等差数列 (解答题)(2)等差中项法：2 an1 an an2 (nN *)an是等差数列 (解答题)(3)通项公式： an pn
11、 q(p， q 为常数) an是等差数列 (小题)(4)前 n 项和公式： Sn An2 Bn(A， B 为常数) an是等差数列 (小题)2用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an1 an d 和 an an1 d，但它们的意义不同，后者必须加上“ n2” ，否则 n1 时， a0无定义变式训练 2 (1)若 an是公差为 1 的等差数列，则 a2n1 2 a2n是( )A公差为 3 的等差数列B公差为 4 的等差数列C公差为 6 的等差数列D公差为 9 的等差数列(2)在数列 an中，若 a11， a2 ， (nN *)，则该数列的通项为( )12 2an 1 1an 1an 2A an
12、 B an1n 2n 1C an D an2n 2 3n(1)B (2)A (1) an n a11 a2n1 2 n a12， a2n2 n a11 a2n1 2 a2n4 n2 a13因此数列 a2n1 2 an是公差为 4 的等差数列，故选 B(2)由已知式 可得 ，知 是首项为 1，2an 1 1an 1an 2 1an 1 1an 1an 2 1an 1 1an 1a1公差为 211 的等差数列，所以 n，即 an .1a2 1a1 1an 1n等差数列的性质及应用(1)(2017江西红色七校联考)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 2a75 a9，则 S9的值为( )A27
13、 B36 C45 D54(2)(2018洛阳统考)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S39， S636，则6a7 a8 a9等于( )A63 B45 C36 D27(3)已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a12 014， 6，则 S2 S2 0142 014 S2 0082 008017_.(1)C (2)B (3)4 034 (1)由 2a75 a9得 a5 a95 a9，所以 a55，所以 S99 a545.9 a1 a92(2)由 an是等差数列，得 S3， S6 S3， S9 S6为等差数列即 2(S6 S3) S3( S9 S6)，得到 S9 S62 S63 S
14、345，即 a7 a8 a945，故选 B(3)由等差数列的性质可得 也为等差数列Snn设其公差为 D 则 6 d6， d1.S2 0142 014 S2 0082 008故 2 016 d2 0142 0162，S2 0172 017 S11 S2 01722 0174 034.规律方法 应用等差数列的性质应注意两点(1)在等差数列 an中，若 m n p q2 k(m、 n、 p、 q、 kN *)，则am an ap aq2 ak是常用的性质(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口变式训练 3 (1)在等差数列 a
15、n中， a3 a927 a6， Sn表示数列 an的前 n 项和，则S11( )A18 B99 C198 D297(2)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S510， S1030，则 S15( )A60 B70 C90 D40(3)(2018佛山模拟)在等差数列 an中，若 a3 a4 a5 a6 a725，则a2 a8_. 【导学号：00090163】(1)B (2)A (3)10 (1)由 a3 a927 a6得 2a627 a6，所以 a69所以 S11 11 a699.11 a1 a1127(2)因为数列 an为等差数列，所以 S5， S10 S5， S15 S10也成等差数列
16、，设 S15 x，则10,20， x30 成等差数列，所以 22010( x30)，所以 x60，即 S1560.(3)因为 an是等差数列，所以a3 a7 a4 a6 a2 a82 a5， a3 a4 a5 a6 a75 a525，即 a55， a2 a82 a510.等差数列的前 n 项和及其最值(1)设数列 an的通项公式为 an2 n10( nN *)，则|a1| a2| a15|_.(2)等差数列 an中，设 Sn为其前 n 项和，且 a10， S3 S11，则当 n 为多少时， Sn取得最大值(1)130 由 an2 n10( nN *)知 an是以8 为首项，2 为公差的等差数列
17、，又由an2 n100 得 n5， n5 时， an0，当 n5 时，an0，| a1| a2| a15| S152 S5130.(2)法一：由 S3 S11，可得 3a1 d11 a1 d， 4 分322 11102即 d a1. 7 分213从而 Sn n2 n (n7) 2 a1，d2 (a1 d2) a113 4913因为 a10，所以 0， S3 S11可知 d0， a80， d0 时，满足Error!的项数 m 使得 Sn取得最小值为 Sm.变式训练 4 (1)(2018孝义模拟)在等差数列 an中，a1 a3 a5105， a2 a4 a699，以 Sn表示 an的前 n 项和，
18、则使 Sn达到最大值的 n是( )A21 B20 C19 D18(2)已知等差数列 an的前三项和为3，前三项的积为 8.求等差数列 an的通项公式；若 a2， a3， a1成等比数列，求数列| an|的前 n 项和 Tn.【导学号：00090164】B (1)因为 a1 a3 a53 a3105， a2 a4 a63 a499，所以 a335， a433，所以d2， a139.由 an a1( n1) d392( n1)412 n0，解得 n ，所以当412n20 时 Sn达到最大值，故选 B(2)设等差数列 an的公差为 d，则 a2 a1 d， a3 a12 D由题意得Error!解得E
19、rror! 或Error!所以由等差数列通项公式可得an23( n1)3 n5 或 an43( n1)3 n7.故 an3 n5 或 an3 n7.当 an3 n5 时， a2， a3， a1分别为1，4,2，不成等比数列；当 an3 n7 时， a2， a3， a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故| an|3 n7|Error!记数列3 n7的前 n 项和为 Sn，则 Sn n2 nn 4 3n 7 2 32 112当 n2 时， Tn| a1| a2| an|( a1 a2 an) n2 n32 112当 n3 时， Tn| a1| a2| a3| an|( a1 a2)( a3 a4 an) Sn2 S2 n2 n1032 112综上知： TnError!
