1、1单元评估检测(八) 第 8 章 平面解析几何(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知两条直线 y ax2 和 3x( a2) y10 互相平行，则 a 等于( )A1 或3 B1 或 3C1 或 3 D1 或3答案 A2若直线 l1： x2 y m0( m0)与直线 l2： x ny30 之间的距离是 ，则 m n( )5A0 B1 C1 D2答案 A3直线 y2 x 为双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线，则双曲线 C 的离心率x2a2 y2b2是( )【导学号：79140
2、430】A. B. C. D.332 5 52答案 C4直线 x2 y5 0 被圆 x2 y22 x4 y0 截得的弦长为( )5A1 B2 C4 D4 6答案 C5当 a 为任意实数时，直线( a1) x y a10 恒过定点 C，则以 C 为圆心，半径为的圆的方程为( )5A x2 y22 x4 y0 B x2 y22 x4 y0C x2 y22 x4 y0 D x2 y22 x4 y0答案 C6设 F 为抛物线 C： y23 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A， B 两点，则|AB|( )A. B6 303C12 D7 3答案 C27(2018黄山模拟)已知双曲线
3、x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P 为双曲线右支y23上一点，则 1 2的最小值为( )PA PF A2 B 8116C1 D0答案 A8椭圆 1 的焦点为 F1， F2，椭圆上的点 P 满足 F1PF260，则 F1PF2的面积x2100 y264是( )A. B. C. D.6433 9133 1633 643答案 A9(2017南昌模拟)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，准线方程为 x1，直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点若线段 AB 的中点为(2,1)，则直线 l 的方程为( )A y2 x3 B y2 x5C y x3 D y x1答案 A10设双曲线 1(
4、 a0， b0)，离心率 e ，右焦点 F(c,0)方程x2a2 y2b2 2ax2 bx c0 的两个实数根分别为 x1， x2，则点 P(x1， x2)与圆 x2 y28 的位置关系是( )A点 P 在圆外 B点 P 在圆上C点 P 在圆内 D不确定答案 C11抛物线 y28 x 的焦点 F 与双曲线 1( a0， b0)的右焦点重合，又 P 为两曲x2a2 y2b2线的一个公共点，且| PF|5，则双曲线的实轴长为( )A1 B2 C. 3 D617答案 B12已知双曲线 1， aR， F1， F2分别为双曲线的左、右焦点， O 为坐标原点，点x2a2 y2b2P 为双曲线上一点，满足|
5、 OP|3 a，且| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等比数列，则此双曲线的离心率为( )3A. B. C. D.213 73 273 733答案 A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)13已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(2,2)， B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为_答案 2 x3 y180 或 2x y2014已知双曲线 S 与椭圆 1 的焦点相同，如果 y x 是双曲线 S 的一条渐近线，x29 y234 34那么双曲线 S 的方程为_. 【导学号：79140431】答案 1y29 x21615已知直线 y x
6、 a 与圆 C： x2 y24 x4 y40 相交于 A， B 两点，且 ABC 的面积 S2，则实数 a_.答案 2 或216已知 P 是双曲线 1( a0， b0)上的点， F1， F2是其焦点，双曲线的离心率是x2a2 y2b2，且 1 20，若 PF1F2的面积为 9，则 a b 的值为_54 PF PF 答案 7三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知圆 C： x2( y1) 25，直线 l： mx y1 m0.(1)求证：对 mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；(2)设直线 l 与圆 C
7、交于 A， B 两点，若| AB| ，求直线 l 的倾斜角. 17【导学号：79140432】解 (1)将已知直线 l 化为 y1 m(x1)，直线 l 恒过定点 P(1,1)因为 1 ，12 (1 1)2 5所以点 P(1,1)在已知圆 C 内，从而直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点(2) 或 . 3 2318(本小题满分 12 分)(2017太原模拟)圆 M 和圆 P： x2 y22 x100 相内切，且2过定点 Q( ，0)24(1)求动圆圆心 M 的轨迹方程；(2)斜率为 的直线 l 与动圆圆心 M 的轨迹交于 A， B 两点，且线段 AB 的垂直平分3线经过点 ，求直线 l 的方
8、程(0， 12)解 (1) y21.x23(2)y x .35219(本小题满分 12 分)(2018郑州模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)，焦点为 F，过点G(p,0)作直线 l 交抛物线 C 于 A， M 两点，设 A(x1， y1)， M(x2， y2)(1)若 y1y28，求抛物线 C 的方程；(2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B，直线 BG 交抛物线 C于另一点 N.求证：直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值解 (1)设直线 AM 的方程为 x my p，代入 y22 px 得 y22 mpy2 p20，则 y1y22 p28，得
9、 p2.所以抛物线 C 的方程为 y24 x.(2)设 B(x3， y3)， N(x4， y4)由(1)可知 y1y22 p2，y3y42 p2， y1y3 p2.又直线 AB 的斜率kAB ，y3 y1x3 x1 y3 y1y232p y212p 2py1 y3直线 MN 的斜率kMN ，y4 y2x4 x2 y4 y2y242p y22p 2py2 y4所以 kABkMN y2 y4y1 y3 2p2y1 2p2y3y1 y3 2. 2p2y1y3(y1 y3)y1 y3故直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且过
10、点 .x2a2 y2b2 22 (12， 144)(1)求椭圆 C 的标准方程；5(2)设 F 是椭圆 C 的左焦点，过点 P(2,0)的直线交椭圆于 A， B 两点，求 ABF 面积的最大值. 【导学号：79140433】解 (1) y21 (2)x22 2421(本小题满分 12 分)如图 81，设椭圆 y21( a1)x2a2图 81(1)求直线 y kx1 被椭圆截得的线段长(用 a， k 表示)；(2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围解 (1)设直线 y kx1 被椭圆截得的线段为 AM，由Error!得(1 a2k2)x22 a2
11、kx0，故 x10， x2 .2a2k1 a2k2因此| AM| |x1 x2| .1 k22a2|k|1 a2k2 1 k2(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P， Q，满足| AP| AQ|.记直线 AP， AQ 的斜率分别为 k1， k2，且 k1， k20， k1 k2.由(1)知，| AP| ，2a2|k1|1 k211 a2k21|AQ| ，2a2|k2|1 k21 a2k2故 ，2a2|k1|1 k211 a2k21 2a2|k2|1 k21 a2k2所以( k k )1 k k a2(2 a2)k k 0.21 2 21 2 2
12、12由于 k1 k2， k1， k20，得 1 k k a2(2 a2)k k 0，21 2 212因此 1 a2(a22) (1k21 1)(1k2 1)因为式关于 k1， k2的方程有解的充要条件是 1 a2(a22)1，所以 a .26因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件是 1 a ，2由 e 得，所求离心率的取值范围是 0 e .ca a2 1a 2222(本小题满分 12 分)如图 82 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)的离x2a2 y2b2心率是 ，抛物线 E： x22 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点32图 82(1)
13、求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.求证：点 M 在定直线上；直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S1， PDM 的面积为 S2，求 的最大值及S1S2取得最大值时点 P 的坐标解 (1)由题意 F 点的坐标为 ，所以 b ，又 e ，(0，12) 12 ca 32所以 ，易得 a24 b21，于是椭圆 C 的方程为 x24 y21.a2 b2a2 34(2)设 P(2t,2t2)(t0)，则直线 l
14、 的斜率 kl2 t，直线 l 的方程为：y2 t22 t(x2 t)，即 y2 tx2 t2，将其与 x24 y21 联立得，(16t21) x232 t3x16 t410，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ，32t316t2 1y1 y22 t(x1 x2)4 t2 . 4t216t2 1所以 D ，所以 kOD ，可得直线 OD 的方程为： y ，(16t316t2 1， 2t216t2 1) 18t x8t由题意， xM2 t，所以 yM ，所以点 M 在定直线 y 上2t8t 14 14由图可知，| OG|2 t2，| FG|2 t2 ，127所以 S1 2t，12 (2t2 12)S DOG 2t2 .12 16t316t2 1显然， DPM 与 DGO 相似，所以S2 2t2 12 16t316t2 1 (2t2 142t2 )2 2t .12所以 S1S2 (4t2 14)(8t2 2)(16t2 1)(8t2 1)2 .(8t2 2) (16t2 1)2 2 1(8t2 1)2 94当且仅当 8t2216 t21，即 t 时，取等号所以 的最大值为 ，取得最大值24 S1S2 94时点 P 的坐标为 .(22， 14)
