1、1课时作业(四十九) 第 3课时 定点定值探索性问题时间 / 45分钟 分值 / 72分基础热身1.(12分)2017长春二模 已知抛物线 C:y2=2px(p0)与直线 x- y+4=0相切 .2(1)求该抛物线的方程 .(2)在 x轴正半轴上,是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线 l与抛物线 C交于 A,B两点,使得 + 为定值?如果存在 ,求出点 M坐标;如果不存在 ,请说明理由 .1|21|222.(12分)已知点 A,B分别是椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点, F为左焦点,点 P是椭圆2222上异于 A,B的任意一点,直线 AP与过点 B且垂直于 x轴的直线 l交于点
2、M,直线 MN BP于点 N.(1)求证:直线 AP与直线 BP的斜率之积为定值;(2)若直线 MN过焦点 F, = ( R),求实数 的值 . 能力提升3.(12分)已知椭圆 C的左、右焦点分别为( - ,0),( ,0),且经过点 .3 3 (3,12)(1)求椭圆 C的方程 .(2)直线 y=kx(kR, k0)与椭圆 C相交于 A,B两点, D点为椭圆 C上的动点,且 |AD|=|BD|,请问 ABD的面积是否存在最小值?若存在,求出此时直线 AB的方程;若不存在,说明理由 .34.(12分)如图 K49-3,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 .以椭圆的左顶点 T为圆心22
3、22 32作圆 T:(x+2)2+y2=r2(r0),设圆 T与椭圆 C交于点 M与点 N.(1)求椭圆 C的方程 .(2)设点 P是椭圆 C上异于 M,N的任意一点,且直线 MP,NP分别与 x轴交于点 R,S,O为坐标原点,求证: |OR|OS|为定值 .图 K49-35.(12分)2017北京房山区一模 已知椭圆 C:x2+4y2=4.(1)求椭圆 C的离心率;4(2)椭圆 C的长轴的两个端点分别为 A,B,点 P在直线 x=1上运动,直线 PA,PB分别与椭圆 C相交于 M,N两个不同的点,求证:直线 MN与 x轴的交点为定点 .难点突破6.(12分)2017广州一模 已知椭圆 C:
4、+ =1(ab0)的离心率为 ,且过点 A(2,1).2222 32(1)求椭圆 C的方程 .(2)若 P,Q是椭圆 C上的两个动点,且使 PAQ的角平分线总垂直于 x轴,则直线 PQ的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由 .56第 3课时 定点定值探索性问题1. 解:(1)联立方程 有 y2-2 py+8p=0,由直线与抛物线相切 ,得 = 8p2-32p=0,即- 2+4=0,2=2, 2p=4,所以 y2=8x.(2)假设存在满足条件的点 M(m,0)(m0),则直线 l:x=ty+m.联立 得 y2-8ty-8m=0,=+,2=8, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
5、则有 y1+y2=8t,y1y2=-8m,|AM|2=(x1-m)2+ =(t2+1) ,|BM|2=(x2-m)2+ =(t2+1) ,21 21 22 22所以 + = + = = ,1|21|21(2+1)211(2+1)2212+1(21+222122) 12+1(42+42)当 m=4时, + 为定值 ,所以 M(4,0).1|21|22. 解:(1)证明:设 P(x0,y0)(x0 a),由已知得 A(-a,0),B(a,0), k APkBP= = .00+00-2020-2 点 P在椭圆上, + =1.202202由 得 kAPkBP= = =- (定值) .2020-2-22
6、(20-2)20-2 22 直线 AP与直线 BP的斜率之积为定值 - .22(2)设直线 AP与 BP的斜率分别为 k1,k2,由已知得 F(-c,0),直线 AP的方程为 y=k1(x+a),直线 l:x=a,则 M(a,2ak1).MN BP,k MNk2=-1.7由(1)知 k1k2=- ,故 kMN= k1,2222又 F,N,M三点共线, k MF=kMN,即 = k1,得 2b2=a(a+c).21+22b 2=a2-c2, 2(a2-c2)=a2+ac,即 2c2+ac-a2=0,即 2 + -1=0,得 = 或 =-1(舍去) .()2 12 a= 2c.由 = ,得( a-
7、c,0)= (a+c,0), 将 a=2c代入,得( c,0)= (3c,0),故 = .133. 解:(1)设椭圆 C的方程为 + =1(ab0),由题意, a= 2,b=1,2222 = 3,32+142=1,2=2+2, 椭圆 C的方程为 +y2=1.24(2)D 在线段 AB的垂直平分线上, OD :y=- x,1由 可得(1 +4k2)x2=4,设 A(x1,y1),则 B(-x1,-y1),|AB|=2|OA|=2 =4 ,=,24+2=1, 21+212+142+1同理可得 |OD|=2 ,2+12+4则 S ABD= 2|OA|OD|=12 4(1+2)(1+42)(2+4)8
8、由于 ,(1+42)(2+4)5(1+2)2所以 S ABD ,当且仅当 1+4k2=k2+4(k0), 85即 k=1时取等号,所以 ABD的面积的最小值为 ,此时直线 AB的方程为 y=x.854. 解:(1)根据题意可得 a=2,e= = , 32所以 c= ,b= =1,3 2-2故椭圆 C的方程为 +y2=1.24(2)证明:设点 P(x0,y0),M(x1,y1),则 N(x1,-y1),则直线 MP的方程为 y-y0= (x-x0),0-10-1令 y=0,得 xR= ,同理 xS= ,10-010-110+010+1故 xRxS= = .10-010-110+010+12120
9、-202120-21又因为点 M与点 P在椭圆上,故 =4(1- ), =4(1- ),20 20 21 21代入可得 xRxS= = =4.4(1-21)20-4(1-20)2120-214(20-21)20-21所以 |OR|OS|=|xR|xS|=4为定值 .5. 解:(1)椭圆 C: +y2=1中, a2=4,b2=1,24c2=a2-b2=3,a= 2,b=1,c= ,39 椭圆 C的离心率 e= = . 32(2)证明: 点 P在直线 x=1上, 可设 P(1,m) m0, m .32不妨设 A(-2,0),则 kAP= = ,1-(-2)3 直线 AP的方程为 y= (x+2),
10、代入 x2+4y2=4,3得(4 m2+9)x2+16m2x+4(4m2-9)=0.- 2+xM=- ,则 xM= +2= .16242+9-16242+9-82+1842+9同理求得 xN= ,yN=-m .82-242+1 (82-242+1-2)kMN= = ,3(-82+1842+9 +2)+(82-242+1-2)-82+1842+9 -82-242+1 -23+42直线 MN的方程为 y- = x- .3(-82+1842+9 +2)-23+42-82+1842+9整理得 y= (x-4).-23+42当 x=4时, y=0, 直线 MN与 x轴的交点为定点 Q(4,0).6. 解
11、:(1) 因为椭圆 C的离心率为 ,且过点 A(2,1),32所以 + =1, = .4212 32又因为 a2=b2+c2,10解得 a2=8,b2=2,所以椭圆 C的方程为 + =1.2822(2)方法一:因为 PAQ的角平分线总垂直于 x轴,所以 PA与 AQ所在直线关于直线 x=2对称 .设直线 PA的斜率为 k,则直线 AQ的斜率为 -k.所以直线 PA的方程为 y-1=k(x-2),直线 AQ的方程为 y-1=-k(x-2).设点 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),由 消去 y,得(1 +4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0.-1=(-2),28+22=1
12、,因为点 A(2,1)在椭圆 C上,所以 x=2是方程 的一个根,则 2xP= ,162-16-41+42所以 xP= .82-8-21+42同理 xQ= ,82+8-21+42所以 xP-xQ=- .161+42又 yP-yQ=k(xP+xQ-4)=- ,81+42所以直线 PQ的斜率为 kPQ= = ,-12所以直线 PQ的斜率为定值,该值为 .12方法二:设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线 PA的斜率 kPA= ,直线 QA的斜率 kQA= .1-11-22-12-211因为 PAQ的角平分线总垂直于 x轴,所以 PA与 AQ所在直线关于直线 x=2对称 .所以 kPA=-
13、kQA,即 + =0.1-11-22-12-2因为点 P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆 C上,所以 + =1,218212+ =1.228222由 得( -4)+4( -1)=0,得 =- ,21 211-11-21+24(1+1)同理由 得 =- ,2-12-22+24(2+1)由 得 + =0,1+24(1+1)2+24(2+1)化简得 x1y2+x2y1+(x1+x2)+2(y1+y2)+4=0,由 得 x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0,- 得 x1+x2=-2(y1+y2).- 得 + =0,得 =- = .21-22821-2221-21-21+2
14、4(1+2)12所以直线 PQ的斜率为 kPQ= = 为定值 .1-21-212方法三:设直线 PQ的方程为 y=kx+b,点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1=kx1+b,y2=kx2+b,直线 PA的斜率 kPA= ,直线 QA的斜率 kQA= .1-11-22-12-2因为 PAQ的角平分线总垂直于 x轴,所以 PA与 AQ所在直线关于直线 x=2对称 .12所以 kPA=-kQA,即 =- ,1-11-22-12-2化简得 x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.把 y1=kx1+b,y2=kx2+b代入上式,并化简得2kx1x2+(b-1-2k)(x1+x2)-4b+4=0.由 消去 y,得(4 k2+1)x2+8kbx+4b2-8=0,=+,28+22=1,则 x1+x2=- ,x1x2= ,842+142-842+1代入 得 - -4b+4=0,2(42-8)42+18(-1-2)42+1整理得(2 k-1)(b+2k-1)=0,所以 k= 或 b=1-2k.12若 b=1-2k,可得方程 的一个根为 2,不合题意 .若 k= ,符合题意 .12所以直线 PQ的斜率为定值,该值为 .12
