1、1二 三角函数与解三角形中的高考热点问题(对应学生用书第 67 页)命题解读 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1 题(全国卷 T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用三角函数的图像与性质要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为 y Asin(x )的形式，然后利用整体
2、代换的方法求解(2017浙江高考)已知函数 f(x)sin 2xcos 2x2 sin xcos x(xR)3(1)求 f 的值；(23)(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间解 (1)由 sin ，cos ，23 32 23 12得 f 2 ，(23) (32)2 ( 12)2 3 32 ( 12)所以 f 2.(23)(2)由 cos 2xcos 2xsin 2x 与 sin 2x2sin xcos x 得 f(x)cos 2x sin 32x2sin ，(2x 6)所以 f(x)的最小正周期是 .由正弦函数的性质得 2 k2 x 2 k， kZ， 2 6 32解得 k x k， k
3、Z， 6 23所以 f(x)的单调递增区间是 (kZ) 6 k ， 23 k 规律方法 求函数的单调区间，应先通过三角恒等变换把函数化为 y Asin x 的形式，再把“ x ”视为一个整体，结合函数 ysin x 的单调性找到“ x ”对应的条件，通过解不等式可得单调区间.2跟踪训练 (2018北京海淀区期末练习)已知函数 f(x)sin 2 xcos cos 2 xsin . 5 5(1)求函数 f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数 f(x)在 上的最大值. 0， 2【导学号：79140141】解 (1) f(x)sin 2 xcos cos 2 xsin sin ， 5 5 (
4、2x 5)所以 f(x)的最小正周期 T ，22因为 ysin x 的对称轴方程为 x k ， kZ， 2令 2x k， kZ， 5 2得 x k， kZ，720 12f(x)的对称轴方程为 x k， kZ.720 12(2)因为 x ，所以 2x0，0， 2所以 2x ， 5 5， 45所以当 2x ，即 x 时， f(x)在 上的最大值为 1. 5 2 720 0， 2解三角形(答题模板)从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值(本小题满分 12 分)(2017全国卷) ABC 的内角
5、A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 .a23sin A(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C1， a3，求 ABC 的周长规范解答 (1)由题设得 acsin B ，即 csin B . 2 分12 a23sin A 12 a3sin A由正弦定理得 sin Csin B .12 sin A3sin A3故 sin Bsin C . 5 分23(2)由题设及(1)得 cos Bcos Csin Bsin C ，12即 cos(B C) .12所以 B C ，故 A . 7 分23 3由题设得 bcsin A ， a3，12 a23si
6、n A所以 bc8.9 分由余弦定理得 b2 c2 bc9，即( b c)23 bc9.由 bc8，得 b c . 11 分33故 ABC 的周长为 3 . 12 分33阅卷者说易错点 防范措施三角形面积公式的选取，若选用 SABC bcsin A，就不能达到消元的目12的，致使解题受阻.认真分析已知与所求的差异，必须消去 a2与 sin A 才能求出 sin B sin C 的值因此选用公式 S ABC acsin B 或 S ABC absin 12 12C规律方法 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角” ，要抓住能用
7、某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到.跟踪训练 (2018福州质检)已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且ctan C (acos B bcos A)3(1)求角 C；(2)若 c2 ，求 ABC 面积的最大值. 3【导学号：79140142】解 (1) ctan C (acos B bcos A)，3sin Ctan C (sin Acos Bsin Bcos A)，3sin Ctan C sin(A B) sin C，3
8、30 C，sin C0，4tan C ， C60.3(2) c2 ， C60，3由余弦定理 c2 a2 b22 abcos C，得 12 a2 b2 ab2 ab ab， ab12，当且仅当 a b2 时，等号成立3 S ABC absin C3 .12 3 ABC 面积的最大值为 3 .3三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化(2018石家庄一模)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 .s
9、in Csin A sin B a ba c(1)求角 B 的大小；(2)点 D 满足 2 ，且线段 AD3，求 2a c 的最大值BD BC 解 (1) ，sin Csin A sin B a ba c由正弦定理可得 ，ca b a ba c c(a c)( a b)(a b)，即 a2 c2 b2 ac.又 a2 c2 b22 accos B，cos B .12 B(0，)， B . 3(2)法一：在 ABD 中，由余弦定理知，c2(2 a)222 accos 3 2， 3(2 a c)2932 ac.2 ac ，(2a c2 )2 5(2 a c)29 (2a c)2，34(2a c)2
10、36，即当且仅当 2a c 时，等号成立，即 a ， c3 时，2 a c 的最大值为 6.32法二：由正弦定理知 2 ，2asin BAD csin ADB 3sin 3 32 a2 sin BAD， c2 sin ADB，3 32 a c2 sin BAD2 sin ADB3 32 (sin BADsin ADB)32 3sin BAD sin(23 BAD)2 3(32sin BAD 32cos BAD)6 (32sin BAD 12cos BAD)6sin .( BAD 6) BAD ， BAD ，(0，23) 6 ( 6， 56)即当且仅当 BAD ，即 BAD 时，2 a c 的最
11、大值为 6. 6 2 3规律方法 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理.2.解三角形常与三角变换交汇在一起 以解三角形的某一结论作为条件 ，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化.跟踪训练 (2018济南一模)已知函数 f(x)2 sin xcos xcos(2 x)3(1)求 f(x)的单调增区间；(2)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 f(C)1， c ， a b23，求 ABC 的面积3解 (1) f(x) sin 2xcos 2 x2sin ，3 (2x 6)令 2 k2 x 2 k， kZ， 2 6 2解得 k x k， kZ， 3 66 f(x)的单调递增区间为 (kZ) 3 k ， 6 k (2) f(C)2sin 1，(2C 6)2 C 2 k， kZ 或 2C 2 k， kZ. 6 6 6 56 C(0，)， C . 3 c2 a2 b22 abcos ，即 a2 b2 ab3， 3又 a b2 ，解得 ab3，3 S ABC absin C .12 334
