1、1第七节 函数的图像考纲传真 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质(对应学生用书第 21 页)基础知识填充1利用描点法作函数的图像方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线2利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换 y f(x)的图像 y f(x)的图像； 关 于 x轴 对 称 y f(x)的图像 y f( x)的图像； 关 于 y轴 对 称 y f(x)的图像 y f( x)的图像； 关 于 原 点 对 称 y ax(a0 且 a1)的图像 ylog ax(a0 且 a1)的图像 关 于 直
2、 线 y x对 称 (3)伸缩变换 y f(x)的图像y f(ax)的图像； y f(x)的图像y af(x)的图像 a 1， 纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 a倍 ， 横 坐 标 不 变 0 a 1， 纵 坐 标 缩 短 为 原 来 的 a， 横 坐 标 不 变(4)翻转变换2 y f(x)的图像 y| f(x)|的图像； x轴 下 方 部 分 翻 折 到 上 方 x轴 及 上 方 部 分 不 变 y f(x)的图像 y f(|x|)的图像 y轴 右 侧 部 分 翻 折 到 左 侧 原 y轴 左 侧 部 分 去 掉 ， 右 侧 不 变知识拓展1一个函数图像的对称关系(1)函数 f(x)满
3、足关系 f(a x) f(b x)，则 f(x)的图像关于直线 x 对称；a b2(2)函数 f(x)满足关系 f(a x) f(b x)，则 f(x)的图像关于点 对称(a b2 ， 0)2两个函数图像的对称关系(1)函数 y f(x)与 y f(2a x)的图像关于直线 x a 对称(2)函数 y f(x)与 y2 b f(2a x)的图像关于点( a， b)中心对称基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y f(1 x)的图像，可由 y f( x)的图像向左平移 1 个单位得到( )(2)函数 y f(x)的图像关于 y 轴对称即函数 y
4、f(x)与 y f( x)的图像关于 y 轴对称( )(3)当 x(0，)时，函数 y f(|x|)的图像与 y| f(x)|的图像相同( )(4)若函数 y f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，则函数 f(x)的图像关于直线 x1 对称( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)甲、乙二人同时从 A 地赶往 B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达 B 地已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度现将两人离开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数关系用图像表示，则如图 271 的四个函数图像中，甲、乙的图像
5、应该是( ) 图 271A甲是图，乙是图 B甲是图，乙是图C甲是图，乙是图 D甲是图，乙是图B 设甲骑车速度为 V 甲骑 ，甲跑步速度为 V 甲跑 ，乙骑车速度为 V 乙骑 ，乙跑步速度为 V乙跑 ，依题意 V 甲骑 V 乙骑 V 乙跑 V 甲跑 ，故选 B3函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度，所得图像与曲线 ye x关于 y 轴对称，则 f(x)( )3Ae x1 Be x1Ce x1 De x1D 依题意，与曲线 ye x关于 y 轴对称的曲线是 ye x，于是 f(x)相当于 ye x向左平移 1 个单位的结果， f(x)e ( x1) e x1 .4(2017全国卷)函数 y
6、 的部分图像大致为( ) sin 2x1 cos x【导学号：00090038】C 令 f(x) ，sin 2x1 cos x f(1) 0， f() 0，sin 21 cos 1 sin 21 cos 排除选项 A，D由 1cos x0 得 x2 k( kZ)，故函数 f(x)的定义域关于原点对称又 f( x) f(x)，sin 2x1 cos x sin 2x1 cos x f(x)为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项 B故选 C5若关于 x 的方程| x| a x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_(0，) 在同一个坐标系中画出函数 y| x|与 y a x 的图像，如图所示由图像
7、知当 a0 时，方程| x| a x 只有一个解(对应学生用书第 22 页)4作函数的图像作出下列函数的图像：(1)y |x|；(2) y|log 2(x1)|；(12)(3)y ；(4) y x22| x|1.2x 1x 1解 (1)先作出 y x的图像，保留 y x图像中 x0 的部分，再作出 y x的(12) (12) (12)图像中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y |x|的图像，如图实线部分.(12)3 分 (2)将函数 ylog 2x 的图像向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y|log 2(x1)|的图像，如图. 6 分(3) y2
8、 ，故函数图像可由 y 图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位1x 1 1x得到，如图. 9 分 (4) yError!且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图像，再根据对称性作出(，0)上的图像，得图像如图. 12 分规律方法 画函数图像的一般方法(1)直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响变式训练 1 分别画出下列函数的图像：(1)y|lg x|；(2) ysin| x|.5
9、解 (1) y|lg x|Error!函数 y|lg x|的图像，如图.(2)当 x0 时， ysin| x|与 ysin x 的图像完全相同，又 ysin| x|为偶函数，图像关于 y 轴对称，其图像如图.识图与辨图(1)(2017全国卷)函数 y1 x 的部分图像大致为( )sin xx2(2)已知定义在区间0,2上的函数 y f(x)的图像如图 272 所示，则 y f(2 x)的图像为( )【导学号：00090039】图 2726(1)D (2)B (1)当 x时， 0,1 x， y1 x ，故排sin xx2 sin xx2除选项 B当 0 x 时， y1 x 0，故排除选项 A，C
10、 2 sin xx2故选 D(2)法一：由 y f(x)的图像知，f(x)Error!当 x0,2时，2 x0,2，所以 f(2 x)Error!故 y f(2 x)Error!图像应为 B法二：当 x0 时， f(2 x) f(2)1；当 x1 时， f(2 x) f(1)1.观察各选项，可知应选 B法三：先作 y f(x)的图像关于 y 轴的对称图形(作图过程略)，得到 y f( x)的图像，再把所得图像向右平移两个单位，得到 y f(2 x)的图像，再把所得图像关于 x 轴对称得到 y f(2 x)的图像，可知应选 B规律方法 函数图像的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图
11、像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像变式训练 2 (1)已知函数 f(x)的图像如图 273 所示，则 f(x)的解析式可以是( )7图 273A f(x)ln|x|xB f(x)exxC f(x) 11x2D f(x) x1x(2)(2017河南驻马店二模)函数 y asin bx(b0 且 b1)的图像如图 274 所示，那么函数 ylog b(x a)的图像可能是( )图 274(1)A (2)C (1)由函数图像
12、可知，函数 f(x)为奇函数，应排除 B，C若函数为 f(x) x ，则 x时， f(x)，排除 D，故选 A1x(2)由题图可得 a1，且最小正周期 T ，所以 b2，则 ylog b(x a)是增函2b数，排除 A 和 B；当 x2 时， ylog b(2 a)0，排除 D，故选 C函数图像的应用 角度 1 研究函数的性质8已知函数 f(x) x|x|2 x，则下列结论正确的是( )A f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C f(x)是奇函数，递减区间是(1,1)D f(x)是奇函数，递增区间是(，0)C 将函数 f(x) x|x|2 x 去掉绝对值
13、得 f(x)Error!画出函数 f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数 f(x)的图像关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减 角度 2 确定函数零点的个数已知 f(x)Error!则函数 y2 f2(x)3 f(x)1 的零点个数是_5 方程 2f2(x)3 f(x)10 的解为 f(x) 或 1.作出 y f(x)的图像，12由图像知零点的个数为 5. 角度 3 求参数的值或取值范围已知函数 f(x)| x2|1， g(x) kx，若方程 f(x) g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围为( )A B(0，12) (12， 1)C(1,2) D(2，
14、)B 先作出函数 f(x)| x2|1 的图像，如图所示，当直线 g(x) kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x) kx 过 A 点时斜率为 ，故 f(x) g(x)有两个不相等的实根时，12k 的取值范围为 (12， 1)9 角度 4 求不等式的解集函数 f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图像如图 275 所示，那么不等式 0 的解集为_f xcos x【导学号：00090040】图 275 在 上， ycos x0，在 上， ycos x0.( 2， 1) (1， 2) (0， 2) ( 2， 4)由 f(x)的图像知在 上 0，(1， 2) f xcos x
15、因为 f(x)为偶函数， ycos x 也是偶函数，所以 y 为偶函数，f xcos x所以 0 的解集为 .f xcos x ( 2， 1) (1， 2)规律方法 函数图像应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：根据已知或作出的函数图像，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值从图像的对称性，分析函数的奇偶性从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性从图像与 x 轴的交点情况，分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解
