2019届高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程、函数的应用学案 理 北师大版.DOC

1、12.8 函数与方程最新考纲 考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点(1)函数零点的定义函数 y f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图像与 x 轴有交点 函数 y f(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数 y f(x)在闭区间 a，

2、 b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)f(b)0)的图像与零点的关系 0 0 0)的图像与 x 轴的交点 (x1,0)，( x2,0) (x1,0) 无交点零点个数 2 1 0知识拓展2有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点( )(2)函数 y f(x)在区间( a， b)内

3、有零点(函数图像连续不断)，则 f(a)f(b)023且函数 f(x)的图像连续不断， f(x)为增函数， f(x)的零点在区间(2,3)内3函数 f(x)e x3 x 的零点个数是 答案 1解析 由已知得 f( x)e x30，所以 f(x)在 R 上是增加的，又 f(1) 30，因此函数 f(x)有且只有一个零点4函数 f(x)12 x的零点个数为 (12)答案 1解析 作函数 y1 2和 y2 x的图像如图所示，(12)3由图像知函数 f(x)有 1 个零点题组三 易错自纠5已知函数 f(x) x (x0)， g(x) xe x， h(x) xln x 的零点分别为 x1， x2， x3

4、，x则( )A x11 时，由 f(x)1log 2x0，解得 x ，又因为 x1，所以此时方程无解综上函数12f(x)只有 1 个零点7函数 f(x) ax12 a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 答案 (13， 1)解析 函数 f(x)的图像为直线，由题意可得f(1) f(1)0， f(1)f(2)0，f(b)( b c)(b a)0，由函数零点存在性定理可知，在区间( a， b)，( b， c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间( a， b)，( b， c)内，故选 A.3设函数 y1 x3与 y2

5、 x2 的图像的交点为( x0， y0)，若 x0( n， n1)， nN，则 x0所(12)在的区间是 答案 (1,2)解析 令 f(x) x3 x2 ，则 f(x0)0，易知 f(x)为增函数，且 f(1)0，(12) x0所在的区间是(1,2)思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法题型二 函数零点个数的判断典例 (1)函数 f(x)Error!的零点个数是 答案 2解析 当 x0 时，令 x220，解得 x (正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；25当 x0 时， f( x)2 0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上是增函数1x又因为 f

6、(2)2ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2.(2)函数 f(x)4cos 2 cos 2sin x|ln( x1)|的零点个数为 x ( 2 x)答案 2解析 f(x)2(1cos x)sin x2sin x|ln( x1)|sin 2 x|ln( x1)|， x1，函数 f(x)的零点个数即为函数 y1sin 2x(x1)与 y2|ln( x1)|( x1)的图像的交点个数分别作出两个函数的图像，如图，可知有两个交点，则 f(x)有两个零点思维升华 函数零点个数的判断方法(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个

7、数；(3)利用函数图像的交点个数判断跟踪训练 (1)已知函数 f(x)Error!则函数 g(x) f(1 x)1 的零点个数为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 g(x) f(1 x)1Error!Error!易知当 x1 时，函数 g(x)有 1 个零点；当 x0，即 a210 a90，解得 a9.又由图像得 a0，09.引申探究本例中，若 f(x) a 恰有四个互异的实数根，则 a 的取值范围是 答案 (0，94)解析 作出 y1| x23 x|， y2 a 的图像如图所示当 x 时， y1 ；当 x0 或 x3 时， y10，32 94由图像易知，当 y1| x23 x|和 y2

8、 a 的图像有四个交点时，01 时，有交点，即函数 g(x) f(x) x m 有零点命题点 3 根据零点的范围求参数典例 若函数 f(x)( m2) x2 mx(2 m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是 答案 (14， 12)解析 依题意，结合函数 f(x)的图像分析可知 m 需满足Error!即Error!解得 0)，22x 12x 1则 a t2 1t 1 (t 2t 1 1)2 ，其中 t11，t 12t 110由基本不等式，得( t1) 2 ，2t 1 2当且仅当 t 1 时取等号，故 a22 .2 2答案 (1)(1,0) (2)(，22 2

9、1已知函数 f(x) log 2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )6xA(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)答案 C解析 因为 f(1)6log 2160， f(2)3log 2220， f(4) log 24 0C f(x0)0 时， x f(x) m，即11x m，解得 m2，即实数 m 的取值范围是(，12，)故选 D.1x5(2017山东)已知当 x0,1时，函数 y( mx1) 2的图像与 y m 的图像有且只x有一个交点，则正实数 m 的取值范围是( )A(0,12 ，) B(0,13，)3C(0， 2 ，) D(0， 3，)2 3 2答案 B解析 在同

10、一直角坐标系中，分别作出函数 f(x)( mx1) 2 m2 2与 g(x) m 的(x1m) x大致图像分两种情形：(1)当 0 m1 时， 1，如图，当 x0,1时， f(x)与 g(x)的图像有一个交点，符合题1m意(2)当 m1 时，0 1，如图，要使 f(x)与 g(x)的图像在0,1上只有一个交点，只需1mg(1) f(1)，即 1 m( m1) 2，解得 m3 或 m0(舍去)综上所述， m(0,13，)故选 B.6已知 f(x)Error!则函数 g(x) f(x)e x的零点个数为 答案 2解析 函数 g(x) f(x)e x的零点个数即为函数 y f(x)与 ye x的图像

11、的交点个数作出函数图像可知有 2 个交点，即函数 g(x) f(x)e x有 2 个零点7若函数 f(x) x2 ax b 的两个零点是2 和 3，则不等式 af(2 x)0 的解集是 答案 Error!12解析 f(x) x2 ax b 的两个零点是2,3.2,3 是方程 x2 ax b0 的两根，由根与系数的关系知Error!Error! f(x) x2 x6.不等式 af(2 x)0，即(4 x22 x6)02 x2 x3a)，函数 g(x) f(x) b 有两个零点，即函数y f(x)的图像与直线 y b 有两个交点，结合图像(图略)可得 ah(a)，即 aa2，解得 a1，故 a(，

12、0)(1，)9定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时， f(x)2 015xlog 2 015x，则在 R 上，函数f(x)零点的个数为 答案 3解析 因为函数 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0)0，当 x0 时， f(x)2 015xlog 2 015x 在区间 内存在一个零点，又(0，12 015)f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数 f(x)在 R 上的零点个数为 3.10在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y2 a 与函数 y| x a|1 的图像只有一个交点，则 a 的值为 答案 12解析 函

13、数 y| x a|1 的图像如图所示，因为直线 y2 a 与函数 y| x a|1 的图像只有一个交点，故 2a1，解得 a .1211设函数 f(x) (x0)|11x|13(1)作出函数 f(x)的图像；(2)当 01，设函数 f(x) ax x4 的零点为 m，函数 g(x)log ax x4 的零点为 n，则 的最小值为 1m 1n答案 1解析 设 F(x) ax， G(x)log ax， h(x)4 x，则 h(x)与 F(x)， G(x)的交点 A， B 横坐标分别为 m， n(m0， n0)因为 F(x)与 G(x)关于直线 y x 对称，所以 A， B 两点关于直线 y x 对

14、称又因为 y x 和 h(x)4 x 交点的横坐标为 2，所以 m n4.又 m0， n0，所以 1m 1n (1m 1n) m n4 1.14(2 nm mn) 14(2 2 nmmn)当且仅当 ，即 m n2 时等号成立nm mn所以 的最小值为 1.1m 1n1516已知函数 f(x) x22 x， g(x)Error!(1)求 g(f(1)的值；(2)若方程 g(f(x) a0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围解 (1)利用解析式直接求解得g(f(1) g(3)312.(2)令 f(x) t，则原方程化为 g(t) a，易知方程 f(x) t 在(，1)上有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数 y g(t)(t1)与 y a 的图像有 2 个不同的交点，作出函数y g(t)(t1)的图像如图，由图像可知，当 1 a 时，函数 y g(t)(t1)与 y a 有 2 个不54同的交点，即所求 a 的取值范围是 .1，54)