1、13.2 导数的应用最新考纲 考情考向分析1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1函数的单调性如果在某个区间内，函数 y
2、 f(x)的导数 f( x)0，则在这个区间上，函数 y f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数 y f(x)的导数 f( x)0(f( x)0.( )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f( x)0，则 f(x)在此区间内没有单调性( )(3)函数的极大值不一定比极小值大( )(4)对可导函数 f(x)， f( x0)0 是 x0点为极值点的充要条件( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( )题组二 教材改编2如图是函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图像，则下面判断正确的是( )A在区间(2,1)上 f(x)是增加的B在区间(1,3)上 f(x
3、)是减少的C在区间(4,5)上 f(x)是增加的D当 x2 时， f(x)取到极小值答案 C解析 在(4,5)上 f( x)0 恒成立， f(x)是增加的3设函数 f(x) ln x，则( )2xA x 为 f(x)的极大值点123B x 为 f(x)的极小值点12C x2 为 f(x)的极大值点D x2 为 f(x)的极小值点答案 D解析 f( x) (x0)，2x2 1x x 2x2当 02 时， f( x)0， x2 为 f(x)的极小值点4函数 f(x) x36 x2的递减区间为_答案 (0,4)解析 f( x)3 x212 x3 x(x4)，由 f( x)0；0， 6)当 x 时，
4、y1.不等式的解集为(1，)8设 aR，若函数 ye x ax 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围是_答案 (，1)解析 ye x ax， ye x a.函数 ye x ax 有大于零的极值点，方程 ye x a0 有大于零的解，当 x0 时，e x0，即 8x 0，解得 x ，1x2 12函数 y4 x2 的递增区间为 .故选 B.1x (12， )2已知函数 f(x) xln x，则 f(x)( )A在(0，)上是增加的B在(0，)上是减少的5C在 上是增加的(0，1e)D在 上是减少的(0，1e)答案 D解析 因为函数 f(x) xln x 的定义域为(0，)，所以 f( x)ln
5、 x1( x0)，当 f( x)0 时，解得 x ，1e即函数的递增区间为 ；(1e， )当 f( x)0，则其在区间(，)上的解集为 ，( ， 2) (0， 2)即 f(x)的递增区间为 和 .( ， 2) (0， 2)思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数 f(x)的定义域(2)求 f( x)(3)解不等式 f( x)0，解集在定义域内的部分为递增区间(4)解不等式 f( x)0)，讨论函数 y f(x)的单调区间解 f( x) a1 a.exex 1 1ex 1当 a1 时， f( x)0，得(1 a)(ex1)1，即 ex1 ，解得 xln ，11 a a1 a由 f( x)0
6、)试讨论 f(x)的单调性解 由题意得 f( x)e xax2(2 a2) x(a0)，令 f( x)0，解得 x10， x2 .2 2aa当 01 时， f(x)的递增区间为 和(0，)，递减区间为 .( ，2 2aa ) (2 2aa ， 0)题型三 函数单调性的应用问题命题点 1 比较大小或解不等式典例 (1)(2017南昌模拟)已知定义在 上的函数 f(x)的导函数为 f( x)，且对于(0， 2)任意的 x ，都有 f( x)sin x f B f f(1)3 ( 4) 2 ( 3) ( 3)C. f g ，( 4) ( 3)即 ，f( 4)22f( 3)32 f f .3 ( 4)
7、 2 ( 3)(2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(2)0，当 x0 时，有 0 的解集是_答案 (，2)(0,2)解析 当 x0 时， 0，此时 x2f(x)0.又 f(x)为奇函数， h(x) x2f(x)也为奇函数故 x2f(x)0 的解集为(，2)(0,2)命题点 2 根据函数单调性求参数典例 (2018石家庄质检)已知函数 f(x)ln x， g(x) ax22 x(a0)12(1)若函数 h(x) f(x) g(x)存在递减区间，求 a 的取值范围；(2)若函数 h(x) f(x) g(x)在1,4上是减少的，求 a 的取值范围8解 (1) h(x)ln x ax22
8、x， x(0，)，12所以 h( x) ax2，由于 h(x)在(0，)上存在递减区间，1x所以当 x(0，)时， ax2 有解1x2 2x设 G(x) ，所以只要 aG(x)min即可1x2 2x而 G(x) 21，所以 G(x)min1.(1x 1)所以 a1.又因为 a0，所以 a 的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为 h(x)在1,4上是减少的，所以当 x1,4时， h( x) ax20 恒成立，1x即 a 恒成立1x2 2x由(1)知 G(x) ，1x2 2x所以 a G(x)max，而 G(x) 21，(1x 1)因为 x1,4，所以 ，1x 14， 1所以 G(x)max (
9、此时 x4)，716所以 a ，又因为 a0，716所以 a 的取值范围是 (0，)716， 0)引申探究1本例(2)中，若函数 h(x) f(x) g(x)在1,4上是增加的，求 a 的取值范围解 因为 h(x)在1,4上是增加的，所以当 x1,4时， h( x)0 恒成立，所以当 x1,4时， a 恒成立，1x2 2x又当 x1,4时， min1(此时 x1)，(1x2 2x)9所以 a1，即 a 的取值范围是(，12本例(2)中，若 h(x)在1,4上存在递减区间，求 a 的取值范围解 h(x)在1,4上存在递减区间，则 h( x) 有解，1x2 2x又当 x1,4时， min1，(1x
10、2 2x)所以 a1，又因为 a0，所以 a 的取值范围是(1,0)(0，)思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理： y f(x)在( a， b)上单调，则区间( a， b)是相应单调区间的子集(2)f(x)是增加的的充要条件是对任意的 x( a， b)都有 f( x)0 且在( a， b)内的任一非空子区间上， f( x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练 已知函数 f(x) 2 x2ln x 在区间1,2上为单调函数，求 a 的取值范围3xa解 f( x) 4 x ，若函数 f(x
11、)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上， f( x)3a 1x4 x 0 或 f( x) 4 x 0，3a 1x 3a 1x即 4 x 0 或 4 x 0 在1,2上恒成立，3a 1x 3a 1x即 4 x 或 4 x .3a 1x 3a 1x令 h(x)4 x ，因为函数 h(x)在1,2上是增加的，1x所以 h(2)或 h(1)，即 或 3，3a 3a 3a 152 3a解得 a0，得 01.4 分当 a0 时，令 g( x)0，得 x1 或 x ，6 分12a若 ，12a 12由 g( x)0，得 x1 或 01，即 00，得 x 或 0 时，函数 g(x)在 上是增加的，12 (0，
12、 12a)11在 上是减少的，在(1，)上是增加的12 分(12a， 1)1函数 f(x) x22ln x 的递减区间是( )A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)答案 A解析 f( x)2 x (x0)，2x 2x 1x 1x当 x(0,1)时， f( x)0， f(x)是增加的2(2018济南调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f( x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( )A f(b)f(c)f(d)B f(b)f(a)f(e)C f(c)f(b)f(a)D f(c)f(e)f(d)答案 C解析 由题意得，当 x(， c)时， f( x)0，所以函数 f(
13、x)在(， c)上是增加的，因为 af(b)f(a)，故选 C.3已知 m 是实数，函数 f(x) x2(x m)，若 f(1)1，则函数 f(x)的递增区间是( )A. B.(43， 0) (0， 43)C. ，(0，) D. (0，)( ， 43) ( ， 43)答案 C解析 f( x)3 x22 mx， f(1)32 m1，解得 m2，由 f( x)123 x24 x0，解得 x0，即 f(x)的递增区间是 ，(0，)，故选 C.43 ( ， 43)4已知函数 f(x) x3 ax4，则“ a0”是“ f(x)在 R 上是增加的”( )12A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D
14、既不充分又不必要条件答案 A解析 f( x) x2 a，当 a0 时， f( x)0 恒成立，32故“ a0”是“ f(x)在 R 上是增加的”充分不必要条件5若函数 f(x) kxln x 在区间(1，)上是增加的，则 k 的取值范围是( )A(，2 B(，1C2，) D1，)答案 D解析 因为 f(x) kxln x，所以 f( x) k .1x因为 f(x)在区间(1，)上增加的，所以当 x1 时， f( x) k 0 恒成立，即 k1x在区间(1，)上恒成立因为 x1，所以 00， f(x)在(，1)上是增加的又 f(3) f(1)，且11解析 设 F(x) f(x) x，12 F(
15、x) f( x) ，12 f( x)1，即不等式的解集为 x|x19已知 g(x) x22 aln x 在1,2上是减少的，则实数 a 的取值范围为_2x答案 ( ， 72解析 g( x) 2 x ，2x2 2ax由已知得 g( x)0 在1,2上恒成立，可得 a x2在1,2上恒成立1x又当 x1,2时， min 4 .(1x x2) 12 72 a .7210设函数 f( x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数， f(1)0，当 x0 时， xf( x) f(x)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是_答案 (，1)(0,1)解析 因为 f(x)(xR)为奇函数， f(1)0，所
16、以 f(1) f(1)0.14当 x0 时，令 g(x) ，fxx则 g(x)为偶函数， g(1) g(1)0.则当 x0 时， g( x) fxx 0，xf x fxx2故 g(x)在(0，)上是减少的，在(，0)上是增加的所以在(0，)上，当 0 x1 时，由 g(x) g(1)0，得 0，所以 f(x)0；在(，0)上，当 x1 时，由 g(x) g(1)0，得fxx0，所以 f(x)0.fxx综上知，使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)11(2018大理质检)已知函数 f(x) (k 为常数)，曲线 y f(x)在点(1， f(1)ln x kex处的切线与 x
17、 轴平行(1)求实数 k 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解 (1) f( x) (x0)1x ln x kex又由题知 f(1) 0，所以 k1.1 ke(2)f( x) (x0)1x ln x 1ex设 h(x) ln x1( x0)，1x则 h( x) 0，1x2 1x所以 h(x)在(0，)上是减少的由 h(1)0 知，当 0 x1 时， h(x)0，所以 f( x)0；当 x1 时， h(x)0，所以 f( x)0.综上， f(x)的递增区间是(0,1)，递减区间是(1，)1512(2018 届信阳高级中学考试)已知函数 f(x) 1( bR，e 为自然对数的底数)在点bex(
18、0， f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数 F(x) f(x) ax(aR)的单调性解 因为 f(0) b1，所以过点(0， b1)，(2，2)的直线的斜率为k ，b 1 20 2 b 12而 f( x) ，由导数的几何意义可知，bexf(0) b ，b 12所以 b1，所以 f(x) 1.1ex则 F(x) ax 1， F( x) a ，1ex 1ex当 a0 时， F( x)0 时，由 F( x)0，得 xln a.故当 a0 时，函数 F(x)在 R 上是减少的；当 a0 时，函数 F(x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的13(2017承德调研)已知 f(x)是
19、可导的函数，且 f( x)e2 017f(0)B f(1)ef(0)， f(2 017)e2 017f(0)C f(1)ef(0)， f(2 017)0，解得 a ，29 19所以 a 的取值范围是 .(19， )15已知函数 f(x) x24 x3ln x 在区间 t， t1上不单调，则 t 的取值范围是12_答案 (0,1)(2,3)解析 由题意知 f( x) x43x ，x 1x 3x由 f( x)0，得函数 f(x)的两个极值点为 1 和 3，则只要这两个极值点有一个在区间( t， t1)内，函数 f(x)在区间 t， t1上就不单调，由 t0 时， f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，)；当 a0，即 m .373 m9.373即实数 m 的取值范围是 .(373， 9)
