1、19.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲 考情考向分析1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系dr相离(2)代数法： Error! 判 别 式 b2 4ac2圆与圆的位置关系设圆 O
2、1：( x a1)2( y b1)2 r (r10)，21圆 O2：( x a2)2( y b2)2 r (r20).2方法位置关系几何法：圆心距 d 与r1， r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况相离 dr1 r2 无解外切 d r1 r2 一组实数解相交 |r1 r2|2，点 A(3,5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直3 12 5 22 13线与圆相切，即切线方程为 x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5 k(x3)，即 kx y53 k0.又圆心为(1,2)，半径 r2，而圆心到切线的距离d 2，|3 2k|k2 1即|32 k|2 ， k ，k2 1512故
3、所求切线方程为 5x12 y450 或 x30.4题型一 直线与圆的位置关系1已知点 M(a， b)在圆 O： x2 y21 外，则直线 ax by1 与圆 O 的位置关系是( )A相切 B相交C相离 D不确定答案 B解析 因为 M(a， b)在圆 O： x2 y21 外，所以 a2 b21，而圆心 O 到直线 ax by1 的距离d r，r2a2 b2r2r m l， l 与圆相离故选 C.6(2018洛阳二模)已知圆 C 的方程为 x2 y21，直线 l 的方程为 x y2，过圆 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45的直线交 l 于点 A，则| PA|的最小值为( )A. B112C
4、. 1 D22 2答案 D解析 方法一 由题意可知，直线 PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线 PA 与 y 轴平行或重合，设 P(cos ，sin )，则 A(cos ，2cos )，| PA|2cos sin | ，|2 2sin( 4)| PA|的最小值为 2 ，故选 D.2方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线 x y2 的距离 d ，圆 C 上一点到直线22 2x y2 的距离的最小值为 1.由题意可得| PA|min ( 1)2 ，故选 D.2 2 2 27(2018 届南昌摸底)已知动直线 l 与圆 O： x2 y24 相交于 A， B 两点，且满足| AB|2，点 C 为直线
5、l 上一点，且满足 ，若 M 是线段 AB 的中点，则 的值为( )CB 52CA OC OM A3 B2 312C2 D3答案 A解析 动直线 l 与圆 O： x2 y24 相交于 A， B 两点，且满足| AB|2，则 OAB 为等边三角形，于是可设动直线 l 的方程为 y (x2)，根据题意可得 B(2,0)， A(1， )， M3 3是线段 AB 的中点， M ，设 C(x， y)，(32， 32) ，(2 x， y) (1 x， y)，CB 52CA 52 3Error! 解得Error! C ，(13， 533) 3，故选 A.OC OM ( 13， 533) ( 32， 32)
6、12 528(2016全国)已知直线 l： x y60 与圆 x2 y212 交于 A， B 两点，过 A， B 分3别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点，则| CD| .答案 4解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得 y23 y60，3解得 x13， y1 ； x20， y22 ，3 3 A(3， )， B(0,2 )3 3过 A， B 作 l 的垂线方程分别为y (x3)， y2 x，令 y0，则 xC2， xD2，| CD|2(2)4.3 3 3 39过点 P(1， )作圆 x2 y21 的两条切线，切点分别为 A， B，则 .3 PA PB 答案
7、 3213解析 由题意，得圆心为 O(0,0)，半径为 1.如图所示， P(1， )， PB x 轴，| PA| PB| .3 3 POA 为直角三角形，其中| OA|1，| AP| ，3则| OP|2， OPA30， APB60. | | |cos APB cos 60 .PA PB PA PB 3 3 3210在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y28 x150，若直线 y kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 答案 43解析 圆 C 的标准方程为( x4) 2 y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到 kx
8、y20 的距离应不大于 2，即 2，整理得 3k24 k0，解得 0 k .|4k 2|k2 1 43故 k 的最大值是 .4311已知圆 C： x2 y22 x4 y10， O 为坐标原点，动点 P 在圆 C 外，过 P 作圆 C 的切线，设切点为 M.(1)若点 P 运动到(1,3)处，求此时切线 l 的方程；(2)求满足条件| PM| PO|的点 P 的轨迹方程解 把圆 C 的方程化为标准方程为( x1) 2( y2) 24，圆心为 C(1,2)，半径 r2.(1)当 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x1，C 到 l 的距离 d2 r，满足条件当 l 的斜率存在时，设斜率为 k，
9、得 l 的方程为 y3 k(x1)，即 kx y3 k0，则 2，解得 k .| k 2 3 k|1 k2 34 l 的方程为 y3 (x1)，3414即 3x4 y150.综上，满足条件的切线 l 的方程为 x1 或 3x4 y150.(2)设 P(x， y)，则| PM|2| PC|2| MC|2( x1) 2( y2) 24，|PO|2 x2 y2，| PM| PO|，( x1) 2( y2) 24 x2 y2，整理，得 2x4 y10，点 P 的轨迹方程为 2x4 y10.12已知直线 l：4 x3 y100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l的右上
10、方(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A， B 两点( A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分 ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)设圆心 C(a,0) ，(a52)则 2，解得 a0 或 a5(舍)|4a 10|5所以圆 C 的方程为 x2 y24.(2)当直线 AB x 轴时， x 轴平分 ANB.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y k(x1)， N(t,0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得( k21) x22 k2x k240，所以
11、x1 x2 ， x1x2 .2k2k2 1 k2 4k2 1若 x 轴平分 ANB，则 kAN kBN，即 0，y1x1 t y2x2 t则 0，kx1 1x1 t kx2 1x2 t即 2x1x2( t1)( x1 x2)2 t0，亦即 2 t0，解得 t4，2k2 4k2 1 2k2t 1k2 1所以当点 N 坐标为(4,0)时，能使得 ANM BNM 总成立13(2017安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y2 x4，15设圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l 上若圆 C 上存在点 M，使| MA|2| MO|，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范
12、围是( )A. B0,10，125C. D.1，125 (0， 125)答案 A解析 因为圆心在直线 y2 x4 上，所以圆 C 的方程为( x a)2 y2( a2) 21.设点 M(x， y)，因为| MA|2| MO|，所以 2 ，x2 y 32 x2 y2化简得 x2 y22 y30，即 x2( y1) 24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意，点 M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21| CD|21，即 1 3.a2 2a 32由 1，得 5a212 a80，a2 2a 32解得 aR；由 3，得 5a212 a0，a2 2a
13、32解得 0 a .125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 .故选 A.0，12514(2017郑州一模)若 O： x2 y25 与 O1：( x m)2 y220( mR)相交于 A， B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长是 答案 4解析 O1与 O 在 A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心， O1A OA.又| OA| ，| O1A|2 ，| OO1|5.5 5又 A， B 关于 OO1所在直线对称， AB 长为 Rt OAO1斜边上的高的 2 倍，16| AB|2 4.525515(2017石家庄一模)若 a， b 是正数，直线 2ax
14、 by20 被圆 x2 y24 截得的弦长为 2 ，则 t a 取得最大值时 a 的值为( )3 1 2b2A. B. C. D.12 32 34 34答案 D解析 由已知可得圆心(0,0)到直线 2ax by20 的距离 d ，24a2 b2则直线被圆截得的弦长为 2 2 ，4 44a2 b2 3化简得 4a2 b24. t a (2 a)1 2b2122 2 1 2b2 (2 a)2( )2142 2 1 2b2 (8a22 b21) ，142 942当且仅当Error!时等号成立，即 t 取最大值，此时 a (舍负值)故选 D.3416(2017日照一模)曲线 y 的一条切线 l 与直线
15、 y x， y 轴围成的三角形记为x2 4xOAB，则 OAB 外接圆面积的最小值为( )A8 B8(3 )2 2C16( 1) D16(2 )2 2答案 C解析 y ，设直线 l 与曲线的切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的方程为 y x2 4x2 x20 4x0(x x0)，即 y x .不妨设直线 l 与直线 y x 的交点为 A，与 y 轴的交点x20 4x20 x20 4x20 8x0为 B，可求得 A(2x0,2x0)， B .(0，8x0)| AB|24 x 28 x 3220 (2x08x0) 20 64x2032( 1)，当且仅当 x 2 时取等号2 20 217由正弦定理可得 OAB 的外接圆的半径 R |AB|，则 OAB 外接圆的面积12 |AB|sin 45 22S R2 | AB|216( 1).故选 C.12 2
